物理學(xué)最難的方程之一納維-斯托克斯方程，解答獎(jiǎng)金高達(dá)100萬(wàn)美金

物理學(xué)界最難的方程，描繪的竟是看似簡(jiǎn)單的日?，F(xiàn)象。這個(gè)賞金高達(dá)百萬(wàn)美元的納維-斯托克斯方程中，隱藏著哪些關(guān)于流體的奧秘？

物理學(xué)中包含了大量公式，它們描繪著物理學(xué)的種種現(xiàn)象，從宏觀時(shí)空的延展到微觀光子的碰撞。在所有這些公式中，有一組公式在數(shù)學(xué)上也極具挑戰(zhàn)性，甚至被美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所選作七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)難題”之一，與龐加萊猜想、P=NP？等數(shù)學(xué)界的頂級(jí)難題并列，解決該問(wèn)題的獎(jiǎng)金高達(dá)100萬(wàn)美元。而這個(gè)物理界最難的公式，就是用于描述流體運(yùn)動(dòng)的納維-斯托克斯方程。

最近，一項(xiàng)關(guān)于納維-斯托克斯方程的最新研究得以發(fā)表。某種程度上，新的研究成果說(shuō)明攻克這項(xiàng)千禧年大獎(jiǎng)難題比預(yù)想的還要困難。為什么用數(shù)學(xué)理論闡明這組方程是如此困難，甚至相比之下，用于描述奇特黑洞的愛因斯坦場(chǎng)方程都顯得更容易一些？

湍流，就是答案。這是一種再常見不過(guò)的現(xiàn)象。無(wú)論是在3萬(wàn)英尺高空飛行時(shí)顛簸的氣流，還是家里浴缸出水口形成的漩渦，本質(zhì)都是湍流。然而，熟悉的湍流卻是物理世界中最難以理解的部分之一。

一條平穩(wěn)流動(dòng)的河流，是一個(gè)典型的無(wú)湍流體系，河流的每一部分以相同的速度運(yùn)動(dòng)。湍流則打破了這一規(guī)律，使得水流不同部分的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速率都不相同。物理學(xué)家將湍流的形成描述為：首先，平穩(wěn)流動(dòng)中出現(xiàn)一個(gè)渦流，這個(gè)渦流中會(huì)形成更多小渦流，小渦流進(jìn)一步分化，使得流體被分解成許多離散的部分，在各自運(yùn)動(dòng)方向上與其他部分相作用。

科學(xué)家們希望理解的是，平流如何一步步瓦解成為湍流、已產(chǎn)生湍流的體系之后的形狀是怎樣演變的。但千禧年大獎(jiǎng)懸賞的是更為簡(jiǎn)潔的問(wèn)題：證明方程的解總是存在。換句話說(shuō)，這組方程能否描述任何流體，在任何起始條件下，未來(lái)任一時(shí)間點(diǎn)的情況。

“第一步就是要盡力證明這些方程可以產(chǎn)生一些解，”來(lái)自普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家CharlieFefferman說(shuō)道，“盡管這并不能讓我們真正理解流體的行為，但不這樣做，就完全無(wú)法入手這個(gè)難題?！?/p>

如何證明那些解存在呢？首先可以考慮方程在什么條件下會(huì)“無(wú)解”。納維-斯托克斯方程組涉及流速、壓力等物理量的變化。數(shù)學(xué)家們關(guān)心的這樣的情況：你在運(yùn)算這組方程，經(jīng)過(guò)有限的時(shí)間，系統(tǒng)中出現(xiàn)一個(gè)以無(wú)限速度運(yùn)動(dòng)的粒子。那樣就會(huì)很麻煩：對(duì)于一個(gè)無(wú)限大的量，我們無(wú)法計(jì)算出它的變化。數(shù)學(xué)家們把這種情況稱為“發(fā)散”（blowup）。在“發(fā)散”的情況下，方程失效，解也就不復(fù)存在。

納維-斯托克斯方程

證明“發(fā)散”的情況不會(huì)發(fā)生（或者說(shuō)方程解總是存在），等同于證明流體中任何粒子的最大運(yùn)動(dòng)速率，被限制在某一有限的數(shù)值之下。相關(guān)物理量中，最重要的量是流體中的動(dòng)能。

當(dāng)我們用納維-斯托克斯方程對(duì)流體建模，流體會(huì)具有一定初始能量。但是在湍流中，這些能量會(huì)聚集起來(lái)。原本均勻分散在流體中的動(dòng)能，可能會(huì)聚集在任意小的渦流中，那些渦流中的粒子在理論上可以被加速到無(wú)限大的速度。

“當(dāng)我的研究進(jìn)入越來(lái)越小的尺度，動(dòng)能對(duì)于方程解的控制作用則越來(lái)越弱。解可以是任意的，但我不知道如何去限制它?！?普林斯頓大學(xué)的VladVicol說(shuō)到，他和Tristan Buckmaster合作完成了有關(guān)納維-斯托克斯方程的最新工作。

根據(jù)方程失效的尺度，數(shù)學(xué)家們對(duì)像納維-斯托克斯這樣的偏微分方程進(jìn)行分類。納維-斯托克斯方程就處于分類譜系的極端。這組方程中的數(shù)學(xué)難度，某種意義上精確地反映出其所描述湍流體系的復(fù)雜程度。

“在數(shù)學(xué)角度看，如果你將某一點(diǎn)放大，那么就會(huì)失去解的部分信息，”Vicol解釋說(shuō)，“但是湍流的研究恰恰就是這樣——?jiǎng)幽軓暮暧^傳遞向越來(lái)越小的尺度。所以，湍流的研究要求你不斷地放大。

當(dāng)談及物理背后的數(shù)學(xué)公式，我們很自然地會(huì)想到：這會(huì)不會(huì)給我們研究物理世界的方式帶來(lái)變革？納維-斯托克斯方程和千禧年大獎(jiǎng)引出的答案既是肯定也是否定的。經(jīng)過(guò)近200年的實(shí)驗(yàn)，這些方程確實(shí)有效：由納維-斯托克斯方程預(yù)測(cè)的流體流動(dòng)與實(shí)驗(yàn)中觀察到的流動(dòng)總是相符的。如果你是一位物理學(xué)家，實(shí)驗(yàn)中這樣的一致性或許已經(jīng)足夠。但數(shù)學(xué)家需要的更多——他們想要確定這組方程是否具有普遍性，想要精確捕捉流體的瞬時(shí)變化（無(wú)論何種初始條件），甚至去定位湍流產(chǎn)生的那個(gè)起點(diǎn)。

Fefferman說(shuō)：“流體行為的詭譎總是令人驚嘆。而那些行為理論上可以用這組基本方程來(lái)解釋。它能很好地描述流體的運(yùn)動(dòng)。但是從方程描述流體運(yùn)動(dòng)到描述任意流體的真實(shí)運(yùn)動(dòng)，這一過(guò)程仍然未知?！?/p>