高斯濾波簡介,高斯濾波性質及應用

1、高斯濾波簡介

了解高斯濾波之前，我們首先熟悉一下高斯噪聲。高斯噪聲是指它的概率密度函數服從高斯分布（即正態(tài)分布）的一類噪聲。如果一個噪聲，它的幅度分布服從高斯分布，而它的功率譜密度又是均勻分布的，則稱它為高斯白噪聲。高斯白噪聲的二階矩不相關，一階矩為常數，是指先后信號在時間上的相關性，高斯白噪聲包括熱噪聲和散粒噪聲。

高斯濾波器是一類根據高斯函數的形狀來選擇權值的線性平滑濾波器。高斯平滑濾波器對于抑制服從正態(tài)分布的噪聲非常有效。一維零均值高斯函數為：

g(x)=exp( -x^2/(2 sigma^2)

其中，高斯分布參數Sigma決定了高斯函數的寬度。對于圖像處理來說，常用二維零均值離散高斯函數作平滑濾波器，高斯函數的圖形：

2、高斯濾波函數

對于圖像來說，高斯濾波器是利用高斯核的一個2維的卷積算子，用于圖像模糊化（去除細節(jié)和噪聲）。

1) 高斯分布

一維高斯分布：

二維高斯分布：

2) 高斯核

理論上，高斯分布在所有定義域上都有非負值，這就需要一個無限大的卷積核。實際上，僅需要取均值周圍3倍標準差內的值，以外部份直接去掉即可。如下圖為一個標準差為1.0的整數值高斯核。

3、高斯濾波性質

高斯函數具有五個重要的性質，這些性質使得它在早期圖像處理中特別有用。這些性質表明，高斯平滑濾波器無論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實際圖像處理中得到了工程人員的有效使用．高斯函數具有五個十分重要的性質，它們是：

（1）二維高斯函數具有旋轉對稱性，即濾波器在各個方向上的平滑程度是相同的。一般來說，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無法確定一個方向上比另一方向上需要更多的平滑。旋轉對稱性意味著高斯平滑濾波器在后續(xù)邊緣檢測中不會偏向任一方向。

（2）高斯函數是單值函數。這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權均值來代替該點的像素值，而每一鄰域像素點權值是隨該點與中心點的距離單調增減的。這一性質是很重要的，因為邊緣是一種圖像局部特征，如果平滑運算對離算子中心很遠的像素點仍然有很大作用，則平滑運算會使圖像失真。

（3）高斯函數的傅立葉變換頻譜是單瓣的。正如下面所示，這一性質是高斯函數付立葉變換等于高斯函數本身這一事實的直接推論。圖像常被不希望的高頻信號所污染(噪聲和細紋理)。而所希望的圖像特征（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量。高斯函數付立葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會被不需要的高頻信號所污染，同時保留了大部分所需信號。

（4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數σ表征的，而且σ和平滑程度的關系是非常簡單的。σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好。通過調節(jié)平滑程度參數σ，可在圖像特征過分模糊(過平滑)與平滑圖像中由于噪聲和細紋理所引起的過多的不希望突變量(欠平滑)之間取得折衷。

（5）由于高斯函數的可分離性，較大尺寸的高斯濾波器可以得以有效地實現(xiàn)。二維高斯函數卷積可以分兩步來進行，首先將圖像與一維高斯函數進行卷積，然后將卷積結果與方向垂直的相同一維高斯函數卷積。因此，二維高斯濾波的計算量隨濾波模板寬度成線性增長而不是成平方增長。

4、高斯濾波應用

高斯濾波后圖像被平滑的程度取決于標準差。它的輸出是領域像素的加權平均，同時離中心越近的像素權重越高。因此，相對于均值濾波（mean filter）它的平滑效果更柔和，而且邊緣保留的也更好。

高斯濾波被用作為平滑濾波器的本質原因是因為它是一個低通濾波器，見下圖。而且，大部份基于卷積平滑濾波器都是低通濾波器。

圖：高斯濾波器（標準差=3像素）的頻率響應。The spatial frequency axis is marked in cycles per pixel, and hence no value above 0.5 has a real meaning。

5、高斯濾波步驟

（1）移動相關核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方

（2）將輸入圖像的像素值作為權重，乘以相關核

（3）將上面各步得到的結果相加做為輸出

6、高斯濾波源碼(C語言版)（點擊閱讀原文前往查看源碼）

高斯濾波處理之后：

高斯濾波處理之前：