通過簡單的例子介紹期望值

期望值是大量試驗之后隨機變量的平均值。隨機變量將數(shù)值映射到試驗的每個可能的結(jié)果。我們可以計算離散隨機變量的期望值——潛在的結(jié)果數(shù)目是可數(shù)的——每項是一個隨機變量的可能值，乘以該結(jié)果的概率，最后累加。例如，如果我們的隨機變量是投擲一個均勻的3面骰所得的數(shù)字，那么期望值將是(1 * 1/3) + (2 * 1/3) + (3 * 1/3) = 2。

如果我們假設(shè)試驗是一個游戲，那么隨機變量映射游戲結(jié)果至收益，因而期望值表示期望的游戲平均收益。由于期望值是實數(shù)，它通常分為負值、中性值、正值。在日常生活場景中，期望值為負、期望值為中性、期望值為正的游戲都很常見，所以期望值提供了一個簡單的決策推斷法。

下面我將舉例說明每種類型的游戲，我會使用3個類似的扔硬幣的例子，具體來說，每個場景中的隨機變量將是扔一次硬幣后的期望收益。假設(shè)所有情形下硬幣是均質(zhì)的，所以得到正面和反面的概率是一樣的（1/2）。

中性期望值游戲

你扔一枚均質(zhì)硬幣。每次扔到正面，你損失1美元，每次扔到反面，你獲得1美元。

這一場景下的期望值為(-1 * 1/2) + (1 * 1/2) = 0。因此，由于硬幣是均質(zhì)的，損失和收益相等，隨著時間的推移，你可以期望既不贏錢也不輸錢。在這樣的游戲中，盡管沒有理由進行這一游戲，也沒有理由不進行。因此，這類游戲是一種理想的簡單娛樂形式，比如剪刀石頭布，隨機選擇是期望值為0的最優(yōu)策略。

正期望值游戲

你扔一枚均質(zhì)硬幣。每次扔到正面，你損失1美元，每次扔到反面，你獲得2美元。

這一場景下的期望值為(-1 * 1/2) + (2 * 1/2) = 1/2。由于正面和反面出現(xiàn)的概率一樣，扔到反面時較大的收益超過了扔到正面時的損失。在這樣的游戲中，隨著時間的推移，你可以期望得到更多的錢，所以你應該玩這類游戲。這類場景出現(xiàn)在許多現(xiàn)實生活的決策中，例如投資股票市場（總體而言，隨著時間的推移，市場的走勢是向上的），為考試而學習（更高的GPA收益超過了損失的一些時間），準備面試（得到更好的工作的收益超過了損失的幾周時間）。

負期望值游戲

你扔一枚均質(zhì)硬幣。每次扔到正面，你損失1美元，每次扔到反面，你獲得1美元。此外，不管結(jié)果如何，每扔一次硬幣，你都需要支付1美分的費用。

這一場景下的期望值為(-1.01 * 1/2) + (.99 * 1/2) = -0.01。因此，盡管硬幣本身是均質(zhì)的，損失數(shù)額也等于收益數(shù)額，恒定的費用導致這一游戲變?yōu)樨撝涤螒?。在這樣的游戲中，你可以期望隨著時間的推移而虧錢。所以你不應該玩這類游戲。這在很多賭博平臺上很常見，賭場提供初始為中性的游戲，但通過收費破壞了游戲的中性（俗話說：“賭場只賺不賠?！保?。

結(jié)語

基于期望值進行決策是一個判定參與某項活動是否在經(jīng)濟學上合理的簡單方式。當然，除了純粹的經(jīng)濟回報，還有其他衡量可用性的方式，所以期望為正并不是一個傻瓜式的決策工具。此外，別忘了期望值需要大量重復的試驗才能起效，因此對于特定事件（其中的一些概率極其罕見）而言，期望值可能提供了扭曲的視角。例如，考慮彩票得獎。盡管彩票有可能有機會是正期望值（譯者注：比如由于前面好幾期無人得頭獎，獎池累積金額很高，國內(nèi)福利彩票獎池設(shè)有上限，期望值不可能為正），但你在你有限的人生中實際實現(xiàn)這一期望值的概率極低，所以買彩票并不值。