關(guān)于超前滯后零極點(diǎn)頻率補(bǔ)償器原理及應(yīng)用

零極點(diǎn)補(bǔ)償器(Pole-zero compensator)常用于修正反饋放大器回路的幅度和相位。這篇文章超出了教科書標(biāo)準(zhǔn)的解釋程度，本文考慮了工程師在使用補(bǔ)償器設(shè)計(jì)電路時(shí)需要注意的地方，甚至還涉及了補(bǔ)償器設(shè)計(jì)所采用晶體管的細(xì)節(jié)。

無源補(bǔ)償器

零極點(diǎn)補(bǔ)償器可以是超前-滯后或滯后-超前補(bǔ)償器。它們經(jīng)常出現(xiàn)在電路和控制理論教科書中。最常見的無源電路補(bǔ)償器有三個(gè)器件：兩個(gè)電阻和一個(gè)電容。圖1所示的電路放置在放大器內(nèi)方便的位置，尤其是在反饋回路中，以提供額外的相位或高頻幅度“加重”。

圖1：典型的無源電路補(bǔ)償器。

該電路本質(zhì)上是個(gè)RC分頻器，增加了與C并聯(lián)的電阻R1。R1、C組合的阻抗為：

那么，傳遞函數(shù)就是分壓器公式：

第一個(gè)因子是準(zhǔn)靜態(tài)(0 + Hz)增益，即沒有C的分壓器。動(dòng)態(tài)或頻率相關(guān)因子在ωz =–1/R1C處有一個(gè)零點(diǎn)；在ωp =–1/(R1 || R2)C處有一個(gè)極點(diǎn)。

當(dāng)使用波特(Bode)或頻率響應(yīng)圖時(shí)，使用頻率ω的大小(即其絕對(duì)值)，負(fù)號(hào)被丟棄。

但是，請(qǐng)記住，波特圖上的極點(diǎn)和零點(diǎn)頻率不是正極點(diǎn)和零點(diǎn)——通常不是，但如果是的話，它們?cè)趫D示上仍然是正的。

由于并聯(lián)電阻的阻值比R1低，所以它們也具有較低的時(shí)間常數(shù)和較高頻率。極點(diǎn)頻率比零點(diǎn)高。

隨著頻率從低值開始增加，零點(diǎn)開始在低于ωz約十分之一的地方產(chǎn)生正向(超前)相位，它以45o/dec的線性增加，直到ωz為+ 45°。然后再高十倍，達(dá)到+90o；其在ωz的每一側(cè)都有十倍的相位影響。

類似，極點(diǎn)在ωp周圍有±10倍的相位相等范圍，但在ωp的每一側(cè)以–45o/dec線性地貢獻(xiàn)負(fù)(滯后)相位。在ωp，極點(diǎn)的相位貢獻(xiàn)是–45o。(極點(diǎn)或零點(diǎn)相位線性近似的最大誤差約為±6o。)

如果ωp > ωz超過二十倍，則極點(diǎn)與零點(diǎn)之間不存在相位的相互作用，可以實(shí)現(xiàn)從零點(diǎn)開始的完整的+ 90°相位。

零點(diǎn)相位超前位于回路增益幅度||GH||=1附近，位于回路的橫向或單位增益或交叉頻率fT處。

對(duì)于||GH||< 1，回路沒有足夠的反饋幅度(與正弦波幅度相同)來維持振蕩。

反饋電路中的常見問題是相位滯后或延遲過大，以及回路周圍的相移(回路增益GH)太接近-180°(-π，以弧度表示)。回路中添加補(bǔ)償器以加大正相位。這增加了相位裕度，即給定頻率與-180°(回路振蕩處)之間的回路相位差。

因此，一般的反饋設(shè)計(jì)目標(biāo)是在fT處將回路相位保持在-180°以上，以實(shí)現(xiàn)正相位裕度。

理想情況下，補(bǔ)償器只應(yīng)貢獻(xiàn)零點(diǎn)而沒有極點(diǎn)，但實(shí)際的模擬電路總是產(chǎn)生不少于零點(diǎn)的極點(diǎn)。(在系統(tǒng)級(jí)，通過并聯(lián)電路、有方法可以規(guī)避這種情況，例如在PID補(bǔ)償器中。而在柏拉圖式的理想DSP世界中，可以無極點(diǎn)地編程零點(diǎn)，但不能實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)！)

超前-滯后補(bǔ)償器有一個(gè)不需要的極點(diǎn)伴隨著所需的零點(diǎn)。使用該電路進(jìn)行補(bǔ)償設(shè)計(jì)的挑戰(zhàn)是將零點(diǎn)放置在需要額外(正)相位的位置，同時(shí)將極點(diǎn)放置在對(duì)回路動(dòng)態(tài)性能無關(guān)宏旨的較高頻率處，高于fT十倍以上是不錯(cuò)的選擇。

為分離極點(diǎn)和零點(diǎn)，必須通過使R2 < < R1來分開時(shí)間常數(shù)。然而，這也使得分頻器準(zhǔn)靜態(tài)增益 < < 1。是利是弊，取決于回路。對(duì)于由準(zhǔn)靜態(tài)回路增益太大導(dǎo)致振蕩(或循環(huán)過度)的回路，GH0不僅會(huì)產(chǎn)生零點(diǎn)增加相位，而且由分頻器引起的GH0的減小會(huì)使波特幅度曲線向下。因幅度隨頻率下降，fT經(jīng)由移動(dòng)到圖2中左側(cè)(如圖2所示)而降低——下降到相位延遲不那么大且回路更穩(wěn)定的位置。

圖2：使用補(bǔ)償器后的波特圖變化。

另一方面，如果回路的極點(diǎn)太多，但又必須保持回路增益以滿足精度(準(zhǔn)靜態(tài)誤差)要求，則超前-滯后補(bǔ)償器不是合適的補(bǔ)救措施。 零點(diǎn)可以用來消除不需要的極點(diǎn)，但頻率更高的補(bǔ)償器極點(diǎn)仍存在。

實(shí)際上，補(bǔ)償器只是將回路極點(diǎn)轉(zhuǎn)移到更高頻率，盡管不超過十倍。 這有時(shí)太過微不足道。

因此，當(dāng)額外的零點(diǎn)和減小的準(zhǔn)靜態(tài)增益都有利于控制時(shí)，最好使用超前-滯后補(bǔ)償器。

雙無源和有源補(bǔ)償器

接著反饋回路的零極點(diǎn)補(bǔ)償器繼續(xù)講，并提出了一些教科書中通?？床坏降姆椒?。 雙(dual)RC超前-滯后補(bǔ)償器是RL超前-滯后補(bǔ)償器，如下所示，其傳遞函數(shù)為：

不采用并聯(lián)-R極點(diǎn)，雙重補(bǔ)償器采用串聯(lián)-R極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)τp=L/(R1+R2)；而零點(diǎn)時(shí)間常數(shù)為τz = L/(R2)。極點(diǎn)的串聯(lián)-R大于零點(diǎn)的，在時(shí)間常數(shù)的分母中，極點(diǎn)頻率較大：對(duì)于RC超前-滯后電路，ωp>ωz。

圖3：雙重補(bǔ)償器電路圖。

用電容來實(shí)現(xiàn)電路通常比用電感更合適，但有個(gè)有趣的例外：即當(dāng)電感由晶體管和電阻合成時(shí)，如圖4所示。

圖4：電感由晶體管和電阻合成的補(bǔ)償器及其高頻等效電路。

在fβ(β(s)開始滾降)和fT(β(s)=1)之間，是晶體管的高頻(hf)區(qū)域，其中基極阻抗在發(fā)射極旋轉(zhuǎn)+ 90°。

在該hf區(qū)域中的基極電阻RB采用如右側(cè)所示的等效電路(并聯(lián)RL)，其中電感值取決于BJT的速度(由fT表示)，并在表述L的公式中用作τT，其中τT = 1/ωT = 1/2 x π x fT。

該等效電路可方便地用于在高頻區(qū)補(bǔ)償?shù)某?滯后補(bǔ)償器。它與L被RB分流的無源版本不同。

當(dāng)為傳遞函數(shù)求解該hf等效電路時(shí)：

該電路有一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)/零點(diǎn)頻率之比為：

通過R1>>R2分開極點(diǎn)和零點(diǎn)。(接近或在同一頻率上的極點(diǎn)和零點(diǎn)是雙重點(diǎn)(doublet))。其對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)增益產(chǎn)生的效果與對(duì)無源電路的相同。RB影響極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置，并在頻率上移動(dòng)極點(diǎn)和零點(diǎn)。極點(diǎn)和零點(diǎn)被限制在高頻區(qū)域，或者當(dāng)回轉(zhuǎn)(gyration)停止在該區(qū)域之外時(shí)，L“消失”。在fβ以下，僅為RB/(β0+1)。

該主題的一個(gè)變化如下所示，采用了并聯(lián)L、R2，而非串聯(lián)。

圖5：變化后的補(bǔ)償器電路。

RL超前-滯后補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)為：

它與RC補(bǔ)償器在形式上的類似處在于都具有并聯(lián)-R極點(diǎn)，不同處在于在原點(diǎn)(origin)有零點(diǎn)。零點(diǎn)和極點(diǎn)頻率分別為ωz=–1/(L/R1)和ωp=–L/[R1||R2]；其中零點(diǎn)頻率是零點(diǎn)增益達(dá)到一時(shí)的頻率。利用了相同的一般考慮。

圖6：有源補(bǔ)償器及其高頻等效電路。

滯后-超前補(bǔ)償器通過安置ωp<ωz以降低低頻下的回路增益，然后當(dāng)fT接近以-1雙對(duì)數(shù)斜率穿越fT的平穩(wěn)過渡時(shí)，將幅度響應(yīng)從零點(diǎn)展開(flare out)。相同的有源器件電感合成可用于合成有源滯后-超前電路。