推導(dǎo)正弦波正弦量、平均值、有效值基本公式

一、基本公式

對(duì)于一個(gè)時(shí)間函數(shù)的正弦波：

即函數(shù)是u＝F(t)，注意u≠sin(t)，F(xiàn)≠sin。

但是它是一個(gè)正弦波，故u＝sin(￡)，￡與t存在關(guān)系

即：u＝F(t)＝sin(￡)，￡與t存在關(guān)系，￡的單位是角度，t的單位是秒。sin只能對(duì)“角度”，不能對(duì)“秒”?！懊搿币D(zhuǎn)換成“角度”才能sin。

現(xiàn)在來(lái)求解￡是什么，發(fā)現(xiàn)：

O點(diǎn)，t＝0時(shí)，￡＝0

A點(diǎn)，t＝T時(shí)，￡＝2π

B點(diǎn)，t＝2T時(shí)，￡＝2×2π

即￡與t的關(guān)系是 ￡＝（2π/T）×t

故得：u＝F(t)＝sin(￡)＝sin(（2π/T）t) ?。。?！

另，

角速度＝2π/t

角頻率ω＝2π/T＝2πf，T為周期，f為頻率

故最終：u＝sinωt ?。。?！

即t乘以ω后，就變成角度了，ωt是角度，就可以sin了！

二、對(duì)于各種提前、延后的情況：

即sin函數(shù)里面的都是角度！

時(shí)間需要乘以ω轉(zhuǎn)成角度。

角度要轉(zhuǎn)成時(shí)間，就要除以ω。

π／2＝ω×T／4，即T／4相當(dāng)于是π／2。

三、平均值

時(shí)間和角度是相當(dāng)?shù)?，角度可以代替時(shí)間去計(jì)算，這就方便多了。

1. 正弦波平均值肯定為0。

把角度當(dāng)作時(shí)間來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。

把2π當(dāng)作周期T，把小片段角度d￡當(dāng)作小片段時(shí)間dt。

在一個(gè)周期T內(nèi)的平均值，即是∫u×dt／T，即相當(dāng)于∫u×d￡／2π

用角度時(shí)：u=sin￡

則∫u×d￡／2π＝∫sin￡×d￡／2π

在0～2π區(qū)間作積分：

故∫sin￡d￡／2π＝(－cos2π＋cos0)/2π＝0

2. 全波整流的平均值：

只要計(jì)算0～π即可：

∫sin￡d￡／π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／π＝0.6366

即平均值＝峰值的0.6366倍。

3. 半波整流的平均值

計(jì)算0～π,但周期要按2π算：

∫sin￡d￡／2π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／2π＝0.3183

即平均值＝峰值的0.3183倍。

四、有效值

時(shí)間和角度是相當(dāng)?shù)?，角度可以代替時(shí)間去計(jì)算，這就方便多了。

1. 正弦波有效值

把角度當(dāng)作時(shí)間來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。

把2π當(dāng)作周期T，把小片段角度d￡當(dāng)作小片段時(shí)間dt。

在一個(gè)周期T內(nèi)的有效值，即是計(jì)算一個(gè)周期T內(nèi)的熱量值相同的等效電壓：

一個(gè)周期T內(nèi)的熱量值（假設(shè)電阻R＝1）：∫u^2×dt，即相當(dāng)于∫u^2×d￡

用角度時(shí)：u=sin￡

則∫u^2×d￡＝∫sin2￡×d￡

在0～2π區(qū)間作積分：

故∫sin2￡d￡＝（2π／2－1／4×sin4π）-（0／2－1／4×sin0）＝π

等效電壓Uo產(chǎn)生的熱量值＝Uo^2×2π等于∫sin2￡d￡＝π

故：Uo^2×2π＝π

最終得：Uo＝0.707

即有效值等于峰值的0.707倍

2. 全波整流的有效值：

只要計(jì)算0～π即可：

故∫sin2￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2

故：Uo^2×π＝π／2

最終得：Uo＝0.707

即有效值等于峰值的0.707倍

3. 半波整流的有效值

只要計(jì)算0～π，但周期要按2π算：

故∫sin2￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2

故：Uo^2×2π＝π／2

最終得：Uo＝0.5

即有效值等于峰值的0.5倍

五、匯總

總之，sin函數(shù)里面一定是角度。時(shí)間需要乘以ω轉(zhuǎn)成角度。角度可以等效成時(shí)間來(lái)計(jì)算。