BatchNorm是一種旨在通過固定層輸入的分布來改善神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的技術(shù)

由于BatchNorm可以加速訓(xùn)練并獲得更加穩(wěn)定的結(jié)果，近年來成為了一項在深度學(xué)習(xí)優(yōu)化過程中被廣泛使用的技巧。但目前人們對于它是如何在優(yōu)化過程中起作用的還沒有達(dá)成共識。MIT的研究人員從優(yōu)化過程中對應(yīng)空間的平滑性這一角度為我們帶來的全新的視角。

在過去的十年中，深度學(xué)習(xí)在計算機視覺、語音識別、機器翻譯和游戲博弈等眾所周知的各種艱巨任務(wù)中都取得了令人矚目的進(jìn)步。這些進(jìn)步離不開硬件、數(shù)據(jù)集、算法以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等方面重大進(jìn)展，批標(biāo)準(zhǔn)化/規(guī)范化（Batch Normalization，簡稱BatchNorm）的提出更是為深度學(xué)習(xí)的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。BatchNorm是一種旨在通過固定層輸入的分布來改善神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的技術(shù)，它通過引入一個附加網(wǎng)絡(luò)來控制這些分布的均值和方差。BatchNorm可以實現(xiàn)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更快更穩(wěn)定的訓(xùn)練，到目前為止，無論是在學(xué)術(shù)研究中（超過4,000次引用）還是實際應(yīng)用配置中，它在大多數(shù)深度學(xué)習(xí)模型中都默認(rèn)使用。

盡管BatchNorm目前被廣泛采用，但究竟是什么原因?qū)е铝怂@么有效，尚不明確。實際上，現(xiàn)在也有一些工作提供了BatchNorm的替代方法，但它們似乎沒有讓我們更好地深入理解該問題。目前，對BatchNorm的成功以及其最初動機的最廣泛接受的解釋是，這種有效性源于在訓(xùn)練過程中控制每層輸入數(shù)據(jù)分布的變化以減少所謂的“Internal Covariate Shift”。那什么是Internal Covariate Shift呢，可以理解為在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程中，由于參數(shù)改變，而引起層輸入分布的變化。研究人員們推測，這種持續(xù)的變化會對訓(xùn)練造成負(fù)面影響，而BatchNorm恰好減少了Internal Covariate Shift，從而彌補這種影響。

雖然這種解釋現(xiàn)在被廣泛接受，但似乎仍未出現(xiàn)支持的具體證據(jù)。尤其是，我們?nèi)圆荒芾斫釯nternal Covariate Shift和訓(xùn)練性能之間的聯(lián)系。在本文中，作者證明了BatchNorm帶來的性能增益與Internal Covariate Shift無關(guān)，在某種意義上BatchNorm甚至可能不會減少Internal Covariate Shift。相反，作者發(fā)現(xiàn)了BatchNorm對訓(xùn)練過程有著更根本的影響：它能使優(yōu)化問題的解空間更加平滑，而這種平滑性確保了梯度更具預(yù)測性和穩(wěn)定性，因此可以使用更大范圍的學(xué)習(xí)速率并獲得更快的網(wǎng)絡(luò)收斂。

作者證明了在一般條件下，在具有BatchNorm的模型中損失函數(shù)和梯度的Lipschitzness（也稱為β-smoothness）得到了改善。最后，作者還發(fā)現(xiàn)這種平滑效果并非與BatchNorm唯一相關(guān)，許多其他的正則化技術(shù)也具有類似的效果，甚至有時效果更強，都能對訓(xùn)練性能提供類似的效果改善。

研究人員表示深入理解BatchNorm這一基本概念的根源有助于我們更好地掌握神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練潛在的復(fù)雜性，反過來，也能促進(jìn)廣大學(xué)者們在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步地研究深度學(xué)習(xí)算法。

作者探討了BatchNorm，優(yōu)化和Internal Covariate Shift三者之間的關(guān)系。作者在CIFAR-10數(shù)據(jù)集上分別使用和不使用BatchNorm來訓(xùn)練標(biāo)準(zhǔn)的VGG網(wǎng)絡(luò)，如上圖顯示用BatchNorm訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)在優(yōu)化和泛化性能方面都有著顯著改進(jìn)。但是，從上圖最右側(cè)我們發(fā)現(xiàn)在有和沒有BatchNorm的網(wǎng)絡(luò)中，分布（均值和方差的變化）的差異似乎是微乎其微的。那么，由此引發(fā)以下的問題：

1）BatchNorm的有效性是否確實與Internal Covariate Shift有關(guān)？

2）BatchNorm固定層輸入的分布是否能夠有效減少Internal Covariate Shift？

首先我們訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)時，刻意在BatchNorm層后注入隨機噪聲，由此產(chǎn)生明顯的covariate shift。因此，層中的每個單元都會在各個時刻經(jīng)歷不同的輸入分布。然后，我們測量這種引入的分布不穩(wěn)定性對BatchNorm性能的影響。下圖顯示了標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)、加上BatchNorm層的網(wǎng)絡(luò)以及在BatchNorm層后加噪聲的網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練結(jié)果。我們發(fā)現(xiàn)，后兩者的性能差異可以忽略，并且都比標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)要好。在標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)中加BatchNorm之后，即便噪聲的引入使得分布不穩(wěn)定，但在訓(xùn)練性能仍比標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)好。所以，BatchNorm的有效性與Internal Covariate Shift并沒有什么聯(lián)系。

僅從輸入分布的均值和方差來看，Internal Covariate Shift似乎與訓(xùn)練性能并沒有直接聯(lián)系，那么從更廣泛的概念上理解，Internal Covariate Shift是否與訓(xùn)練性能有著直接的聯(lián)系呢？如果有，BatchNorm是否真的有效減少了Internal Covariate Shift。把每層看作是求解經(jīng)驗風(fēng)險最小化的問題，在給定一組輸入并優(yōu)化損失函數(shù)，但對任何先前層的參數(shù)進(jìn)行更新必將改變后面層的輸入，這是Ioffe和Szegedy等研究人員關(guān)于Internal Covariate Shift理解的核心。此處，作者更從底層的優(yōu)化任務(wù)角度深入探究，由于訓(xùn)練過程是一階方法，因此將損失的梯度作為研究對象。

為了量化每層中參數(shù)必須根據(jù)先前層中參數(shù)更新“調(diào)整”的程度，我們分別測量更新前和更新后每層梯度的變化。作者通過實驗測量了帶有和不帶BatchNorm層的Internal Covariate Shift程度。為分離非線性效應(yīng)和梯度隨機性，作者還對使用全批梯度下降訓(xùn)練的（25層）深度線性網(wǎng)絡(luò)（DLN）進(jìn)行分析。最終，我們發(fā)現(xiàn)，在網(wǎng)絡(luò)中添加BatchNorm層應(yīng)該是增加了更新前和更新后層梯度之間的相關(guān)性，從而減少Internal Covariate Shift。但令人驚訝的是，我們觀察到使用BatchNorm的網(wǎng)絡(luò)經(jīng)常表現(xiàn)出Internal Covariate Shift的增加（參見下圖），DLN尤其顯著。從優(yōu)化的角度來看，BatchNorm可能甚至不會減少Internal Covariate Shift。

圖中藍(lán)色線為添加了BatchNorm的結(jié)果，右側(cè)描述了對應(yīng)Internal covariate shift的變化。

那BatchNorm究竟發(fā)揮了什么作用呢？

事實上，我們確定了BatchNorm對訓(xùn)練過程的關(guān)鍵影響：它對底層優(yōu)化問題再參數(shù)化，使其解空間更加平滑。首先，損失函數(shù)的Lipschitzness得到改進(jìn)，即損失函數(shù)能以較小的速率變化，梯度的幅度也變小。然而效果更強，即BatchNorm的再參數(shù)化使損失函數(shù)的梯度更加Lipschitz，就有著更加“有效”的β-smoothness。這些平滑效果對訓(xùn)練算法的性能起到主要的影響。改進(jìn)梯度的Lipschitzness使我們確信，當(dāng)我們在計算梯度的方向上采取更大步長時，此梯度方向在之后仍是對實際梯度方向的精準(zhǔn)估計。

因此，它能使任何基于梯度的訓(xùn)練算法采取更大的步長之后，防止損失函數(shù)的解空間突變，既不會掉入梯度消失的平坦區(qū)域，也不會掉入梯度爆炸的尖銳局部最小值。這也就使得我們能夠用更大的學(xué)習(xí)速率，并且通常會使得訓(xùn)練速度更快而對超參數(shù)的選擇更不敏感。因此，是BatchNorm的平滑效果提高了訓(xùn)練性能。

為了證明BatchNorm對損失函數(shù)穩(wěn)定性的影響，即Lipschitzness，對訓(xùn)練過程中每步，我們計算損失函數(shù)的梯度，并測量當(dāng)我們朝梯度方向移動時損失函數(shù)如何變化。見下圖中（a），我們看到，與用BatchNorm的情況相反，vanilla網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)的確有著大幅波動，特別是在訓(xùn)練的初始階段。同樣為了證明BatchNorm對損失函數(shù)的梯度穩(wěn)定性/ Lipschitzness影響，我們在下圖中（b）繪制了vanilla網(wǎng)絡(luò)和BatchNorm 整個訓(xùn)練過程中的“有效”β-smoothness（“有效”在這里指，朝梯度方向移動時測量梯度的變化），結(jié)果差異性很大。

為了進(jìn)一步說明梯度穩(wěn)定性和預(yù)測性的增加，我們測量在訓(xùn)練給定點處的損失梯度與沿著原始梯度方向的不同點對應(yīng)的梯度之間的L2距離。如下圖中（c）顯示了vanilla網(wǎng)絡(luò)和BatchNorm網(wǎng)絡(luò)之間的這種梯度預(yù)測中的顯著差異（接近兩個數(shù)量級）。我們還考察了線性深度網(wǎng)絡(luò)，BatchNorm也有著很好的平滑效果。要強調(diào)的是，即使我們值集中探索了沿著梯度方向的損失解空間情況，對于其他任意方向，也有一致的結(jié)論。

文中從理論上論證了增加BatchNorm可以降低參數(shù)的靈敏度，并很好的改善優(yōu)化問題的解空間。

不同norm下VGG網(wǎng)絡(luò)的激活直方圖

那么BatchNorm是平滑解空間最好且唯一的方法嗎？答案當(dāng)然不是，作者研究了一些基于自然數(shù)據(jù)統(tǒng)計的正則化策略，類似BatchNorm修正激活函數(shù)一階矩的方案，用p范數(shù)均值進(jìn)行正則化。不同的是，對于這些正則化方案，層輸入的分布不再是高斯（見上圖）。因此，用這種p范數(shù)進(jìn)行正則化并不能保證對分布矩和分布穩(wěn)定性有任何控制。實驗結(jié)果如下圖所示，可以觀察到所有的正則化方法都提供了與BatchNorm相媲美的性能。事實上，對于深度線性網(wǎng)絡(luò)來說，'L1正則化表現(xiàn)的要比BatchNorm更好。

值得注意的是，p范數(shù)正則化方法會導(dǎo)致更大的分布covariate shift。但所有這些技術(shù)都提高了解空間的平滑度，這點與BatchNorm的效果相似。以上表明BatchNorm對訓(xùn)練的積極影響可能實屬偶然。因此，對類似的正則化方案的設(shè)計進(jìn)行深入探索十分有必要，可以為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練更好的性能。

綜上所述，作者研究了BatchNorm能提高深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練有效性的根源，并發(fā)現(xiàn)BatchNorm與internal covariate shift之間的關(guān)系是微不足道的。特別是，從優(yōu)化的角度來看，BatchNorm并不會減少internal covariate shift。相反，BatchNorm對訓(xùn)練過程的關(guān)鍵作用在于其重新規(guī)劃了優(yōu)化問題，使其Lipschitzness穩(wěn)定和β-smoothness更有效，這意味著訓(xùn)練中使用的梯度更具有良好的預(yù)測性和性能，從而可以更快速、有效地進(jìn)行優(yōu)化。

這種現(xiàn)象同時也解釋了先前觀察到的BatchNorm的其他優(yōu)點，例如對超參數(shù)設(shè)置的魯棒性以及避免梯度爆炸或消失。作者也展示了這種平滑效果并不是BatchNorm特有的，其他一些自然正則化策略也具有相似的效果，并能帶來可比較的性能增益。我們相信這些新發(fā)現(xiàn)不僅可以消除關(guān)于BatchNorm的一些常見誤解，而且還會使我們在真正意義上理解這種基本技術(shù)以及更加好的處理深度網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練問題。

最后，作者表明雖然重點在于揭示BatchNorm對訓(xùn)練的影響，但其發(fā)現(xiàn)也可能揭示BatchNorm對泛化能力的改進(jìn)。具體來說，BatchNorm重新參數(shù)化的平滑效應(yīng)可能會促使訓(xùn)練過程收斂到更平坦的極小值，相信這樣的極小值會促進(jìn)更好的泛化。