如何讓濾波器響應靈敏度在頻率ω0時達到最小

圖1提供了濾波器部分的原理圖，這是本文要討論的主題。

圖1：SallenKey二階低通濾波器原理圖。

網(wǎng)上有許多不同的濾波器設計包。有些要求用戶指定濾波器階數(shù)和響應類型，例如Butterworth或Bessel。其它則要求通帶紋波和寬度，以及阻帶衰減，然后自動選擇響應類型。這些可能會針對噪聲、電壓范圍、低功耗或其它參數(shù)來優(yōu)化。

其它設計包提供了更多的靈活性，而不只是處理響應類型，它們可讓用戶指定每個二階濾波器的品質(zhì)因數(shù)Q和諧振頻率ω0（弧度/秒）。它們要求用戶指定額外的參數(shù)組合來限定問題。這些參數(shù)可能包括DC增益和/或某些元件值。有了這些信息，就可以通過計算確定剩余的值。有時會提到Q和ω0對元件容差的敏感性問題。眾所周知，濾波器在ω0時的幅度響應表現(xiàn)出最大的變化，即使對于合適的Q值也是如此，但是在單位DC增益（Rf/Rg = 0）的情況下，這種變化最小。這就要求C1 = 4·Q2·C2，這對于Q值較大時可能是有問題的。本文介紹的方法是當C1小于4·Q2·C2時，如何讓濾波器響應靈敏度在頻率ω0時達到最小。

濾波器配置的響應由下式給出：

圖2：以Q和ω0值表示的濾波器響應。

為了方便，我們在求解元件值之前先定義一些術(shù)語。適用于設計的電容值范圍受到尺寸、價格和容差的限制。因此，我們要控制電容比，也希望控制DC增益，它等于1+Rf/Rg。所以我們定義：

圖3：定義本文公式中將使用的一些術(shù)語。

從公式（1）可以看出，真正起作用的是電阻Rf和Rg之比Rr，而不是它們的絕對值。因此，一旦我們指定Rr，就可以選擇數(shù)值大的Rf和Rg，以便使功耗最小，或者選擇數(shù)值小的Rf和Rg，以便使噪聲最小。如果我們還指定了C1和C2，則Cr也確定了。從這些值可以得出R1和R2：

圖4：用C2、Rr、Cr、Q和ω0計算R1和R2的值。有兩組電阻值。

可實現(xiàn)性對Rr和Cr有一些約束要求。為確保平方根項及電阻R1和R2是實數(shù)，需要：

圖5：所有濾波器的實現(xiàn)約束條件。

此外，從1/（2·Q）中減去平方根項的R2的表達式必須是正數(shù)，我們將其稱為減法根。另一個稱為加法根。所以，對于減法根，總約束是：

圖6：R2的減法根構(gòu)成的濾波器的實現(xiàn)約束條件。

公式（5）將R1和R2限制到減法根的一個小范圍的值。稍后我們會看到，我們希望避免使用減法根實現(xiàn)濾波器，因為對于給定的Q、ω0、Cr和Rr，我們總是可以用加法根構(gòu)建不太敏感的濾波器。

過去的設計中都是計算Q相對于電阻和電容每個值變化的靈敏度。但這里采用的方法是計算在頻率ω0處濾波器響應幅度的靈敏度，ω0是變化最大的頻率。這六個元件中每一個的靈敏度表達如下，其中Rr12=R2/R1：

圖7：諧振時濾波器響應幅度對每個元件值的靈敏度。

找出靈敏度的平方和

下一步是找出這些靈敏度的平方和，這樣就可以得到盡可能小的值。結(jié)果（除以2）是：

圖8：諧振時濾波器對每個元件靈敏度的總和（除以2）。Ctol項是電容與電阻容差的比值。

請注意術(shù)語Ctol，這是電容容差與電阻容差的比值。例如，2.5％的電容容差和1％的電阻容差會得到2.5的Ctol值。在這種情況下，Ctol解釋了電容值的更大變化。

我們希望確定公式的參數(shù)并消除Rr12，它可以用Cr和Rr表示。此外，由公式（3）給出的R1和R2電阻對的兩個根的單獨表達式是很有用的。我們也借此機會切換到平方和的平方根，因為這與所有元件的總靈敏度成正比。最后，我們希望僅繪制元件值的可實現(xiàn)范圍。由于正在使用的圖形包不會在圖中畫出虛數(shù)值，因此我們將√（-1）分配給不可實現(xiàn)的濾波器：

圖9：諧振時濾波器響應幅值的每個元件靈敏度的平方和（除以2）的根。它包括R2的加法和減法根表達式。R1和R2用Cr和Rr表示。如前所述，術(shù)語Ctol也被采用。

圖10顯示隨Rr變化的各種Cr值的濾波器的靈敏度。所示曲線的Q = 10和Ctol = 2.5，無論C2和ω0的絕對值如何，這些值都是有效的。實線是加法根靈敏度，虛線是減法根靈敏度。對于給定的Cr值，這兩個根的曲線顏色相同。

圖10：被兩部分濾波器分開的總靈敏度曲線，其中Q = 10和Ctol = 2.5，隨著Rr變化，各種Cr值變化導致靈敏度變化。實曲線是加法根靈敏度，虛線是減法根靈敏度。對于給定的Cr值，這兩個根的曲線顏色相同。

從圖中可以清楚看出幾點。首先是給定Cr的加法根的最小靈敏度總是小于相應的減法根的最小靈敏度。因此，我們不應該使用減法根的元件值構(gòu)建濾波器。第二個觀察結(jié)果是，一般來說，Cr = C2/C1的值越小，可以實現(xiàn)的靈敏度就越低（更好）。第三，直覺可能會告訴我們，最好的解決方案是使用最小的Rr值產(chǎn)生可實現(xiàn)的濾波器，但曲線顯示并非這樣。第四，底部的橙色水平實線是我們能達到的最好結(jié)果。它對應于單位DC增益，Rf短路和/或Rg開路，并對應于Cr = .25·Q-2，即C1 = 4·Q2·C2。如果我們認為使Cr值更小會進一步降低靈敏度的話，那么直覺再一次失敗。當我們將Cr設為.125·Q-2時，橙色水平實線之上的橙色水平虛線會告訴真相。

我一直無法找到Rr最佳值的閉合解——曲線的鞍點，即對給定的Q、ω0、Cr和Ctol，濾波器的總靈敏度最小的位置。不過我提供了一個Excel表，它可以精確地將這個值限定在0.1％以內(nèi)。

各種濾波器設計的蒙特卡羅分析

如果不對圖11和圖12中的各種濾波器設計進行蒙特卡洛分析，本文就不算完整。響應曲線以20dB的增量隔開，以便看得更清楚，而不會相互混淆。表1給出了圖11曲線的元件值。這再次證明，對于元件靈敏度低的濾波器，減法根不是一個好的選擇，同樣電容也不是。我們還看到使用Rr = Rf/Rg的最優(yōu)值與較低和較高值進行比較的可取性。利用Rf相對于Rg的最優(yōu)值，可以計算Rr。

圖11：各種濾波器設計的蒙特卡羅分析。

表1：圖11中曲線的元件值。

圖12：各種濾波器設計的蒙特卡洛分析，不同參數(shù)情況下的濾波器靈敏度存在差異，其中Q = 10，Ctol = 2.5，Cr = C2/C1比值分別為0.316、0.0316和0.00316。

圖12顯示了Q = 10，Ctol = 2.5，而Cr = C2/C1值分別為0.316、0.0316和0.00316時濾波器靈敏度的差異。這些已經(jīng)用Rr的最優(yōu)值計算出來了。表2列出了所有的濾波器元件值。

表2：所有的濾波器元件值。

一些猜測

我們只探討了Q = 10和Ctol = 2.5時的濾波器設計。這似乎是說，設計中R1和R2的值相當接近最佳Rr值。這個推論對于Q和Ctol的所有值都正確嗎？如果是這樣，即便我們使R1和R2相等并計算出結(jié)果Rr，靈敏度增加的可能也微乎其微。當然，閉合公式適用于所有元件。不過，有了Excel表，目前的方法會得到最佳的靈敏度，而且很容易使用。

設計Sallen Key低通濾波器從指定Q和ω0開始。Sallen Key濾波器諧振時使響應靈敏度最小化至元件值的黃金標準是選擇單位DC增益，其中Rf是短路和/或Rg是開路。這要求C1 = 4·Q2·C2?？梢赃x擇C2的值并計算C1。然后，R1和R2可以由公式（2）和（3）確定，其中R2應該選擇加上而不是減去平方根。但對于高Q的情況，這可能并不總是一個理想的方法。在這些情況下，應在C1/C2具有可接受的最大比值時才選擇C2。設計中我們還需要知道電容容差與電阻容差的比值Ctol。應該為這些值找到最佳比Rr = Rf/Rg，使用前面提到的Excel表也許能找到。Excel表可以計算R1和R2，還可以選擇任意Rr值，為Rg和Rf，以及C1、C2、Q和ω0指定自己期望的值。然后，Excel表計算出R1和R2。

其它性能參數(shù)也可得到改善。使Rf||Rg = R1+R2，放大器偏置電流造成的失調(diào)將會最小。使C1||C2最大、Rf||Rg最小，元件阻抗和濾波噪聲將會降至最低。使C最小、Rf||Rg最大，功耗會降至最低。