AUC是否可以直接用作損失函數(shù)去優(yōu)化呢？

引言

CTR問(wèn)題我們有兩種角度去理解，一種是分類的角度，即將點(diǎn)擊和未點(diǎn)擊作為兩種類別。另一種是回歸的角度，將點(diǎn)擊和未點(diǎn)擊作為回歸的值。不管是分類問(wèn)題還是回歸問(wèn)題，一般在預(yù)估的時(shí)候都是得到一個(gè)[0,1]之間的概率值，代表點(diǎn)擊的可能性的大小。

如果將CTR預(yù)估問(wèn)題當(dāng)作回歸問(wèn)題，我們經(jīng)常使用的損失函數(shù)是MSE；如果當(dāng)作二分類問(wèn)題，我們經(jīng)常使用的損失函數(shù)是LogLoss。而對(duì)于一個(gè)訓(xùn)練好的模型，我們往往需要評(píng)估一下模型的效果，或者說(shuō)泛化能力，MSE和LogLoss當(dāng)然也可以作為我們的評(píng)價(jià)指標(biāo)，但除此之外，我們最常用的還是AUC。

想到這里，我想到一個(gè)問(wèn)題，AUC是否可以直接用作損失函數(shù)去優(yōu)化呢？

說(shuō)了這么多，我們還不知道AUC是什么呢？不著急，我們從二分類的評(píng)估指標(biāo)慢慢說(shuō)起，提醒一下，本文二分類的類別均為0和1，1代表正例，0代表負(fù)例。

1、從二分類評(píng)估指標(biāo)說(shuō)起

1.1 混淆矩陣

我們首先來(lái)看一下混淆矩陣，對(duì)于二分類問(wèn)題，真實(shí)的樣本標(biāo)簽有兩類，我們學(xué)習(xí)器預(yù)測(cè)的類別有兩類，那么根據(jù)二者的類別組合可以劃分為四組，如下表所示：

上表即為混淆矩陣，其中，行表示預(yù)測(cè)的label值，列表示真實(shí)label值。TP，F(xiàn)P，F(xiàn)N，TN分別表示如下意思：

TP（true positive）：表示樣本的真實(shí)類別為正，最后預(yù)測(cè)得到的結(jié)果也為正；FP（false positive）：表示樣本的真實(shí)類別為負(fù)，最后預(yù)測(cè)得到的結(jié)果卻為正；FN（false negative）：表示樣本的真實(shí)類別為正，最后預(yù)測(cè)得到的結(jié)果卻為負(fù)；TN（true negative）：表示樣本的真實(shí)類別為負(fù)，最后預(yù)測(cè)得到的結(jié)果也為負(fù).

可以看到，TP和TN是我們預(yù)測(cè)準(zhǔn)確的樣本，而FP和FN為我們預(yù)測(cè)錯(cuò)誤的樣本。

1.2 準(zhǔn)確率Accruacy

準(zhǔn)確率表示的是分類正確的樣本數(shù)占樣本總數(shù)的比例，假設(shè)我們預(yù)測(cè)了10條樣本，有8條的預(yù)測(cè)正確，那么準(zhǔn)確率即為80%。

用混淆矩陣計(jì)算的話，準(zhǔn)確率可以表示為：

雖然準(zhǔn)確率可以在一定程度上評(píng)價(jià)我們的分類器的性能，不過(guò)對(duì)于二分類問(wèn)題或者說(shuō)CTR預(yù)估問(wèn)題，樣本是極其不平衡的。對(duì)于大數(shù)據(jù)集來(lái)說(shuō)，標(biāo)簽為1的正樣本數(shù)據(jù)往往不足10%，那么如果分類器將所有樣本判別為負(fù)樣本，那么仍然可以達(dá)到90%以上的分類準(zhǔn)確率，但這個(gè)分類器的性能顯然是非常差的。

1.3 精確率Precision和召回率Recall

為了衡量分類器對(duì)正樣本的預(yù)測(cè)能力，我們引入了精確率Precision和召回率Recall。

精確率表示預(yù)測(cè)結(jié)果中，預(yù)測(cè)為正樣本的樣本中，正確預(yù)測(cè)為正樣本的概率；召回率表示在原始樣本的正樣本中，最后被正確預(yù)測(cè)為正樣本的概率；

二者用混淆矩陣計(jì)算如下：

精確率和召回率往往是一對(duì)矛盾的指標(biāo)。在CTR預(yù)估問(wèn)題中，預(yù)測(cè)結(jié)果往往表示會(huì)被點(diǎn)擊的概率。如果我們對(duì)所有的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行降序排序，排在前面的是學(xué)習(xí)器認(rèn)為最可能被點(diǎn)擊的樣本，排在后面的是學(xué)習(xí)期認(rèn)為最不可能被點(diǎn)擊的樣本。

如果我們?cè)O(shè)定一個(gè)閾值，在這個(gè)閾值之上的學(xué)習(xí)器認(rèn)為是正樣本，閾值之下的學(xué)習(xí)器認(rèn)為是負(fù)樣本。可以想象到的是，當(dāng)閾值很高時(shí)，預(yù)測(cè)為正樣本的是分類器最有把握的一批樣本，此時(shí)精確率往往很高，但是召回率一般較低。相反，當(dāng)閾值很低時(shí)，分類器把很多拿不準(zhǔn)的樣本都預(yù)測(cè)為了正樣本，此時(shí)召回率很高，但是精確率卻往往偏低。

1.4 F-1 Score

為了折中精確率和召回率的結(jié)果，我們又引入了F-1 Score，計(jì)算公式如下：

對(duì)于F1 Score有很多的變化形式，感興趣的話大家可以參考一下周志華老師的西瓜書，我們這里就不再介紹了。

1.5 ROC與AUC

在許多分類學(xué)習(xí)器中，產(chǎn)生的是一個(gè)概率預(yù)測(cè)值，然后將這個(gè)概率預(yù)測(cè)值與一個(gè)提前設(shè)定好的分類閾值進(jìn)行比較，大于該閾值則認(rèn)為是正例，小于該閾值則認(rèn)為是負(fù)例。如果對(duì)所有的排序結(jié)果按照概率值進(jìn)行降序排序，那么閾值可以將結(jié)果截?cái)酁閮刹糠郑懊娴恼J(rèn)為是正例，后面的認(rèn)為是負(fù)例。

我們可以根據(jù)實(shí)際任務(wù)的需要選取不同的閾值。如果重視精確率，我們可以設(shè)定一個(gè)很高的閾值，如果更重視召回率，可以設(shè)定一個(gè)很低的閾值。

到這里，我們會(huì)拋出兩個(gè)問(wèn)題：1)設(shè)定閾值然后再來(lái)計(jì)算精確率，召回率和F1-Score太麻煩了，這個(gè)閾值到底該設(shè)定為多少呢？有沒(méi)有可以不設(shè)定閾值來(lái)直接評(píng)價(jià)我們的模型性能的方法呢？

2)排序結(jié)果很重要呀，不管預(yù)測(cè)值是多少，只要正例的預(yù)測(cè)概率都大于負(fù)例的就好了呀。

沒(méi)錯(cuò)，ROC和AUC便可以解決我們上面拋出的兩個(gè)問(wèn)題。

ROC全稱是“受試者工作特征”，（receiver operating characteristic）。我們根據(jù)學(xué)習(xí)器的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行排序，然后按此順序逐個(gè)把樣本作為正例進(jìn)行預(yù)測(cè)，每次計(jì)算出兩個(gè)重要的值，分別以這兩個(gè)值作為橫縱坐標(biāo)作圖，就得到了ROC曲線。

這兩個(gè)指標(biāo)是什么呢？是精確率和召回率么？并不是的，哈哈。

ROC曲線的橫軸為“假正例率”（True Positive Rate,TPR)，又稱為“假陽(yáng)率”；縱軸為“真正例率”(False Positive Rate,FPR)，又稱為“真陽(yáng)率”，

假陽(yáng)率，簡(jiǎn)單通俗來(lái)理解就是預(yù)測(cè)為正樣本但是預(yù)測(cè)錯(cuò)了的可能性，顯然，我們不希望該指標(biāo)太高。

真陽(yáng)率，則是代表預(yù)測(cè)為正樣本但是預(yù)測(cè)對(duì)了的可能性，當(dāng)然，我們希望真陽(yáng)率越高越好。

ROC計(jì)算過(guò)程如下：1)首先每個(gè)樣本都需要有一個(gè)label值，并且還需要一個(gè)預(yù)測(cè)的score值（取值0到1）;2)然后按這個(gè)score對(duì)樣本由大到小進(jìn)行排序，假設(shè)這些數(shù)據(jù)位于表格中的一列，從上到下依次降序;3)現(xiàn)在從上到下按照樣本點(diǎn)的取值進(jìn)行劃分，位于分界點(diǎn)上面的我們把它歸為預(yù)測(cè)為正樣本，位于分界點(diǎn)下面的歸為負(fù)樣本;4)分別計(jì)算出此時(shí)的TPR和FPR，然后在圖中繪制（FPR, TPR）點(diǎn)。

說(shuō)這么多，不如直接看圖來(lái)的簡(jiǎn)單：

AUC（area under the curve）就是ROC曲線下方的面積，如下圖所示，陰影部分面積即為AUC的值：

AUC量化了ROC曲線表達(dá)的分類能力。這種分類能力是與概率、閾值緊密相關(guān)的，分類能力越好（AUC越大），那么輸出概率越合理，排序的結(jié)果越合理。

在CTR預(yù)估中，我們不僅希望分類器給出是否點(diǎn)擊的分類信息，更需要分類器給出準(zhǔn)確的概率值，作為排序的依據(jù)。所以，這里的AUC就直觀地反映了CTR的準(zhǔn)確性（也就是CTR的排序能力）。

終于介紹完了，那么這個(gè)值該怎么計(jì)算呢？

2、AUC的計(jì)算

關(guān)于AUC的計(jì)算方法，如果僅僅根據(jù)上面的描述，我們可能只能想到一種方法，那就是積分法，我們先來(lái)介紹這種方法，然后再來(lái)介紹其他的方法。

2.1 積分思維

這里的積分法其實(shí)就是我們之前介紹的繪制ROC曲線的過(guò)程，用代碼簡(jiǎn)單描述下：

auc = 0.0 height = 0.0 for each training example x_i, y_i： if y_i = 1.0: height = height + 1/(tp+fn) else auc += height * 1/(tn+fp) return auc

在上面的計(jì)算過(guò)程中，我們計(jì)算面積過(guò)程中隱含著一個(gè)假定，即所有樣本的預(yù)測(cè)概率值不想等，因此我們的面積可以由一個(gè)個(gè)小小的矩形拼起來(lái)。但如果有兩個(gè)或多個(gè)的預(yù)測(cè)值相同，我們調(diào)整一下閾值，得到的不是往上或者往右的延展，而是斜著向上形成一個(gè)梯形，此時(shí)計(jì)算梯形的面積就比較麻煩，因此這種方法其實(shí)并不是很常用。

2.2 Wilcoxon-Mann-Witney Test

關(guān)于AUC還有一個(gè)很有趣的性質(zhì)，它和Wilcoxon-Mann-Witney是等價(jià)的，而Wilcoxon-Mann-Witney Test就是測(cè)試任意給一個(gè)正類樣本和一個(gè)負(fù)類樣本，正類樣本的score有多大的概率大于負(fù)類樣本的score。

根據(jù)這個(gè)定義我們可以來(lái)探討一下二者為什么是等價(jià)的？首先我們偷換一下概念，其實(shí)意思還是一樣的，任意給定一個(gè)負(fù)樣本，所有正樣本的score中有多大比例是大于該負(fù)類樣本的score？由于每個(gè)負(fù)類樣本的選中概率相同，那么Wilcoxon-Mann-Witney Test其實(shí)就是上面n2（負(fù)樣本的個(gè)數(shù)）個(gè)比例的平均值。

那么對(duì)每個(gè)負(fù)樣本來(lái)說(shuō)，有多少的正樣本的score比它的score大呢？是不是就是當(dāng)結(jié)果按照score排序，閾值恰好為該負(fù)樣本score時(shí)的真正例率TPR？沒(méi)錯(cuò)，相信你的眼睛，是這樣的！理解到這一層，二者等價(jià)的關(guān)系也就豁然開(kāi)朗了。ROC曲線下的面積或者說(shuō)AUC的值 與 測(cè)試任意給一個(gè)正類樣本和一個(gè)負(fù)類樣本，正類樣本的score有多大的概率大于負(fù)類樣本的score

哈哈，那么我們只要計(jì)算出這個(gè)概率值就好了呀。我們知道，在有限樣本中我們常用的得到概率的辦法就是通過(guò)頻率來(lái)估計(jì)之。這種估計(jì)隨著樣本規(guī)模的擴(kuò)大而逐漸逼近真實(shí)值。樣本數(shù)越多，計(jì)算的AUC越準(zhǔn)確類似，也和計(jì)算積分的時(shí)候，小區(qū)間劃分的越細(xì)，計(jì)算的越準(zhǔn)確是同樣的道理。具體來(lái)說(shuō)就是：統(tǒng)計(jì)一下所有的 M×N(M為正類樣本的數(shù)目，N為負(fù)類樣本的數(shù)目)個(gè)正負(fù)樣本對(duì)中，有多少個(gè)組中的正樣本的score大于負(fù)樣本的score。當(dāng)二元組中正負(fù)樣本的 score相等的時(shí)候，按照0.5計(jì)算。然后除以MN。公式表示如下：

實(shí)現(xiàn)這個(gè)方法的復(fù)雜度為O(n^2 )。n為樣本數(shù)(即n=M+N)

2.3 Wilcoxon-Mann-Witney Test的化簡(jiǎn)

該方法和上述第二種方法原理一樣，但復(fù)雜度降低了。首先對(duì)score從大到小排序，然后令最大score對(duì)應(yīng)的sample的rank值為n，第二大score對(duì)應(yīng)sample的rank值為n-1，以此類推從n到1。然后把所有的正類樣本的rank相加，再減去正類樣本的score為最小的那M個(gè)值的情況。得到的結(jié)果就是有多少對(duì)正類樣本的score值大于負(fù)類樣本的score值，最后再除以M×N即可。值得注意的是，當(dāng)存在score相等的時(shí)候，對(duì)于score相等的樣本，需要賦予相同的rank值(無(wú)論這個(gè)相等的score是出現(xiàn)在同類樣本還是不同類的樣本之間，都需要這樣處理)。具體操作就是再把所有這些score相等的樣本 的rank取平均。然后再使用上述公式。此公式描述如下：

有了這個(gè)公式，我們計(jì)算AUC就非常簡(jiǎn)單了，下一節(jié)我們會(huì)給出一個(gè)簡(jiǎn)單的Demo

3、AUC計(jì)算代碼示例

這一節(jié)，我們給出一個(gè)AUC計(jì)算的小Demo，供大家參考：

import numpy as np label_all = np.random.randint(0,2,[10,1]).tolist() pred_all = np.random.random((10,1)).tolist() print(label_all) print(pred_all) posNum = len(list(filter(lambda s: s[0] == 1, label_all))) if (posNum > 0): negNum = len(label_all) - posNum sortedq = sorted(enumerate(pred_all), key=lambda x: x[1]) posRankSum = 0 for j in range(len(pred_all)): if (label_all[j][0] == 1): posRankSum += list(map(lambda x: x[0], sortedq)).index(j) + 1 auc = (posRankSum - posNum * (posNum + 1) / 2) / (posNum * negNum) print("auc:", auc)

輸出為：

[[1], [1], [1], [1], [0], [0], [1], [0], [1], [0]] [[0.3338126725065774], [0.916003907444231], [0.21214487870979226], [0.7598235037160891], [0.07060830328081447], [0.7650759555141832], [0.16157972737309945], [0.6526480840746645], [0.9327233203035652], [0.6581121768195201]] auc: 0.5833333333333334