列劃分算法，使得這個本就很牛的算法性能直接提高一倍

前言

我最近一直在公司做檢索性能優(yōu)化。當(dāng)我看到這個算法之前，我也不認(rèn)為我負(fù)責(zé)的檢索系統(tǒng)性能還有改進(jìn)的余地。但是這個算法確實(shí)太牛掰了，足足讓服務(wù)性能提高50%，我不得不和大家分享一下。其實(shí)前一段時間的博客中也寫到過這個算法，只是沒有細(xì)講，今天我準(zhǔn)備把它單獨(dú)拎出來，說道說道。說實(shí)話，本人數(shù)學(xué)功底一般，算法證明不是我強(qiáng)項(xiàng)，所以文中的證明只是我在論文作者的基礎(chǔ)上加入了自己的思考方法，并且還沒有完全證明出來，請大家見諒 ! 歡迎愛思考的小伙伴進(jìn)行補(bǔ)充。我只要達(dá)到拋磚引玉的作用，就知足了。

回歸正題，我們的檢索服務(wù)中用到了最小編輯距離算法，這個算法本身是平方量級的時間復(fù)雜度，并且很少人在帖子中提到小于這個復(fù)雜度的算法。但是我無意中發(fā)現(xiàn)了另外一個更牛的算法：列劃分算法，使得這個本就很牛的算法性能直接提高一倍。接下來進(jìn)入正題。

列劃分算法

這個算法比較難理解，出自如下論文：《Theoretical and empirical comparisons of approximate string matching algorithms》。In Proceedings of the 3rd Annual Symposium on Combinatorial Pattern Matching, number 664 in Lecture Notes in Computer Science, pages 175~184. Springer-Verlag, 1992。Author:WI Chang ，J Lampe。所以有必要先給大家普及一些共識。

編輯矩陣最小編輯距離在計(jì)算過程中使用動態(tài)規(guī)劃算法計(jì)算的那個矩陣，了解這個算法的都懂，我不贅述。但是我們的編輯矩陣有個特點(diǎn)：第一行都是0，這么做的好處是：只要文本串T中的任意一個子序列與模式串P的編輯距離小于某個固定的數(shù)值，就會被發(fā)現(xiàn)。

給大伙一個樣例，文本串T=annealing，模式串P=annual：

注意，第一行都是0，這是與傳統(tǒng)最小編輯距離的最大區(qū)別，其余的動歸方程完全相同。

對角線法則編輯矩陣沿著右下方對角線方向數(shù)值非遞減，并且至多相差1。

行列法則每行每列相鄰兩個數(shù)至多相差1。

觀察編輯距離矩陣，我們發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：每一列是由若干段連續(xù)數(shù)字組成。所以我們把編輯矩陣的每一列劃分成若干連續(xù)序列，如下圖所示：

紅色框中就是一個一個的序列，序列內(nèi)部連續(xù)。

序列-δ 定義對于編輯矩陣的每一個元素D[j][i] (j是行，i是列)，若 j – D[j][i] = δ，我們就說D[j][i]屬于i列上的 序列-δ，我們還觀察到隨著j增大，j – D[j][i]是非遞減的。如下圖所示：

序列-δ終止位置每個序列都會有起始和終止位置。序列-δ的終止位置為j，如果j是序列-δ的最小橫坐標(biāo)，并且滿足D[j+1][i]屬于序列-ε，并且ε>δ（即j+1-D[j+1][i]>δ）。

長度為0的序列我們發(fā)現(xiàn)如果按照如上定義，每一列上δ的值并不一定連續(xù)，總是或有或無的缺少一個數(shù)值。所以我們定義長度為0的序列：當(dāng)D[j+1][i] < D[j][i]時，我們就在序列-δ和序列-(δ+2)之間人為插入一個長度為0的序列-(δ+1)。如下圖所示：

所以，我們按照這個定義，就可以對編輯矩陣的每列進(jìn)行一個劃分，劃分的每一段都是一串連續(xù)數(shù)字。

說了這么多，這個定義有什么用呢？假若，我們每次都能根據(jù)前一列的列劃分情況直接推導(dǎo)出后一列的列劃分情況，那么就可以省去好多計(jì)算，畢竟每一個劃分中的每一段的數(shù)字都是連續(xù)的，這就暗示我們可以直接用一個常數(shù)時間的加法直接得到某一個編輯矩陣的元素值，而不用使用最小編輯距離的動態(tài)規(guī)劃算法去計(jì)算。

接下來的重點(diǎn)來了，我們介紹這個推導(dǎo)公式，請打起十二分精神！我們按照序列-δ長度是否為0來介紹這個推論。由于其中一個推論文字描述太繁瑣，不容易理解，所以我畫了個圖：

接下來燒腦開始。

推論1：如果列i上長度為0的 序列-δ 的結(jié)束位置為j，則列i+1上的 序列-δ 的結(jié)束位置為 j+1。

證明：由推論前提我們知道 δ = j – D[j][i] + 1 （想想前面說的δ值不連續(xù)，我們就人為插入一個中間值，只不過長度為0）。我們觀察編輯矩陣就會發(fā)現(xiàn)如下兩個事實(shí)：

事實(shí)1：D[j+1][i+1] = D[j][i] （ 別問為什么， 自己觀察， 看看是不是都這樣， 其實(shí)可以用反證法，我們就不證明了）。

事實(shí)2：D[j+2][i+1] <= D[j][i]。

通過事實(shí)1，我們知道D[j+1][i+1]確實(shí)屬于 序列-δ，因?yàn)?j + 1 – D[j+1][i+1] = j + 1 – D[j][i] = δ。

通過事實(shí)2，我們知道列i+1上的序列δ，終止位置為j+1。

所以推論1證明結(jié)束。

推論2： 文字描述略，請看圖

證明：

設(shè)這個序列長度為L，除了每列的第一個序列外，其余序列的其余位置均是當(dāng)前的編輯距離小于等于該列上一個位置的編輯距離：即D[j-L+1][i]<=D[j-L][i]，所以，我們可以推出：D[j-L+1][i] <= D[j-L][i];

再根據(jù)編輯矩陣對角線非遞減我們知道，D[j-L+1][i+1] >= D[j-L][i];

綜上兩點(diǎn)我們得到如下大小關(guān)系：D[j-L+1][i+1] >= D[j-L+1][i]。

此外我們知道我們當(dāng)前列的序列-δ截止位置為j，也意味著D[j+1][i] <= D[j][i]，同樣根據(jù)對角線法則，我們得出D[j+2][i+1] <= D[j+1][i] + 1 <= D[j][i] + 1。

接下來到了最精彩的一步，我們知道列i當(dāng)前序列-δ內(nèi)的值是連續(xù)的，如果起始編輯距離為A，那么終止編輯距離為A+L-1。

而由我們的推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)：D[j-L+1][i+1] >= A，D[j+2][i+1] <= (A+L-1) + 1 = A+L，而之間跨越的長度為 (j+2)-(j-L+1)+1= L+2。 我們可以推出列i+1上從行j-L+1到行j+2之間的序列一定不連續(xù)，否則D[j+2][i+1] >= A+L+2-1= A+L+1，與我們先前的推導(dǎo)矛盾。所以，在j-L+1和j+2之間一定有一個列終止，這樣才能消去一個序號。

此外我們還有一個疑問，列i+1上的序列-δ結(jié)束位置一定在j-L+1和j+1之間么？我們要證明這個事。

證明：

因?yàn)棣?j-D[j][i]=j-L+1-D[j-L+1][i]>=j-L+1-D[j-L+1][i+1]，即列i+1上的 序列-δ的結(jié)束位置一定在j-L+1或者之后；

由于j+1-D[j+1][i]>δ，根據(jù)對角線法則D[j+2][i+1] <= D[j+1][i]+1，有j+2-D[j+2][i+1]>=j+2-(D[j+1][i]+1)=j+1-D[j+1][i] > δ， 固列i+1上的序列-δ的終止位置一定在j+2之前，即j-L+1到j(luò)+1之間。

后面推論2的分情況討論，我一個也沒證明出來，作者在論文中輕飄飄的一句話“后面很好證明，他就不去證明了”，但是卻消耗了我所有腦細(xì)胞。所以，如果哪位小伙伴把推論2剩下的內(nèi)容證明出來了，歡迎給我留言，我也學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)。

這個算法的時間復(fù)雜度是多少呢？作者用啟發(fā)式的方法證明了算法的復(fù)雜度約為$ O(mn/sqrt[2]) $，其中b是字符集大小。

代碼實(shí)現(xiàn)

接下來說一下代碼實(shí)現(xiàn)，給出我總結(jié)出來的步驟，否則很容易踩坑。

編輯矩陣第一列，肯定只有一個序列。

每次遍歷前一列的所有序列，根據(jù)推論1和推論2計(jì)算后一列的劃分情況。

如果前一列遍歷完畢，但是下一列還有剩余的元素沒有劃分。沒關(guān)系，下一列剩下的元素都?xì)w為一個新的序列。

預(yù)處理一個表，表中記錄T中的每個字符在P中的位置。可以直接用哈希算法（最好直接ascii碼）進(jìn)行定位，如果位置不唯一，可以拉鏈。進(jìn)行列劃分計(jì)算時，從前往后遍歷那一鏈上的位置，直到找到第一個符合條件的，速度出奇的快。盡可能少使用或者不要使用map進(jìn)行定位，測試發(fā)現(xiàn)相當(dāng)慢。

接下來做最不愿意做的事：貼一個代碼，很丑。

inlineintloc(intfind[][200],int*len,intch,intpos){for(inti=0;i=pos)returnfind[ch][i];}return-1;}intnew_column_partition(char*p,char*t){intlen_p=strlen(p);intlen_t=strlen(t);intfind[26][200];intlen[26]={0};intpart[200];//記錄每一個序列的結(jié)束位置//生成loc表，用來快速查詢for(inti=0;i=1if(len[t[i]-'a']>0&&(tmp=loc(find,len,t[i]-'a',b))!=-1&&tmp<=?e)?{??????part[next_cn++]?=?tmp?-?1;????}?else?if(pre_cn?>=2&&part[1]-part[0]!=0){part[next_cn++]=part[0]+1;}else{part[next_cn++]=part[0];}//每列第一個partition尾值tmp_value=part[0];//遍歷前一列剩下的partitionfor(intj=1;j0&&(tmp=loc(find,len,t[i]-'a',b))!=-1&&tmp<=?e)?{??????????part[next_cn++]?=?tmp?-?1;????????}?else?if(j?+?1?

結(jié)語

這個算法應(yīng)用到線上之后，效果非常明顯，如下對比。

優(yōu)化前CPU：

優(yōu)化后CPU：

能力有限，證明不充分，有興趣的小伙伴可以直接去看原版論文，歡迎交流，共同進(jìn)步。