PageRank算法所建立的模型

引言

PageRank是Sergey Brin與Larry Page于1998年在WWW7會議上提出來的，用來解決鏈接分析中網(wǎng)頁排名的問題。在衡量一個網(wǎng)頁的排名，直覺告訴我們：

當一個網(wǎng)頁被更多網(wǎng)頁所鏈接時，其排名會越靠前；

排名高的網(wǎng)頁應(yīng)具有更大的表決權(quán)，即當一個網(wǎng)頁被排名高的網(wǎng)頁所鏈接時，其重要性也應(yīng)對應(yīng)提高。

對于這兩個直覺，PageRank算法所建立的模型非常簡單：一個網(wǎng)頁的排名等于所有鏈接到該網(wǎng)頁的網(wǎng)頁的加權(quán)排名之和：

表示i個網(wǎng)頁的PageRank值，用以衡量每一個網(wǎng)頁的排名；若排名越高，則其PageRank值越大。網(wǎng)頁之間的鏈接關(guān)系可以表示成一個有向圖，邊代表了網(wǎng)頁j鏈接到了網(wǎng)頁i；為網(wǎng)頁j的出度，也可看作網(wǎng)頁j的外鏈數(shù)（ the number of out-links）。

假定為n維PageRank值向量，A為有向圖G所對應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣，

n個等式（1）改寫為矩陣相乘：

但是，為了獲得某個網(wǎng)頁的排名，而需要知道其他網(wǎng)頁的排名，這不就等同于“是先有雞還是先有蛋”的問題了么？幸運的是，PageRank采用power iteration方法破解了這個問題怪圈。欲知詳情，請看下節(jié)分解。

求解

為了對上述及以下求解過程有個直觀的了解，我們先來看一個例子，網(wǎng)頁鏈接關(guān)系圖如下圖所示：

那么，矩陣A即為

所謂power iteration，是指先給定一個P的初始值，然后通過多輪迭代求解:

最后收斂于，即差別小于某個閾值。我們發(fā)現(xiàn)式子（2）為一個特征方程（characteristic equation），并且解P是當特征值（eigenvalue）為1時的特征向量（eigenvector）。為了滿足（2）是有解的，則矩陣AA應(yīng)滿足如下三個性質(zhì)：

stochastic matrix，則行至少存在一個非零值，即必須存在一個外鏈接（沒有外鏈接的網(wǎng)頁被稱為dangling pages）；

不可約（irreducible），即矩陣A所對應(yīng)的有向圖G必須是強連通的，對于任意兩個節(jié)點u,v∈V，存在一個從u到v的路徑；

非周期性（aperiodic），即每個節(jié)點存在自回路。

顯然，一般情況下矩陣A這三個性質(zhì)均不滿足。為了滿足性質(zhì)stochastic matrix，可以把全為0的行替換為e/ne/n，其中e為單位向量；同時為了滿足性質(zhì)不可約、非周期，需要做平滑處理：

其中，d為 damping factor，常置為0與1之間的一個常數(shù)；E為單位陣。那么，式子（1）被改寫為