概率論的核心法則（基本公理）介紹

編者按：數(shù)據(jù)科學(xué)家Jonny Brooks-Bartlett撰寫(xiě)的零基礎(chǔ)概率論教程的第五篇，介紹概率論的核心法則（基本公理）。

這篇文章將介紹概率論的核心法則。如果你對(duì)概率論很陌生，我建議首先閱讀零基礎(chǔ)概率論入門(mén)的第一篇，熟悉概率論中的基本定義和記號(hào)。

概率法則（公理）

數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域的時(shí)候，常常從一組定義可以做什么的規(guī)則開(kāi)始。這有點(diǎn)像剛發(fā)明足球的時(shí)候定下規(guī)則“每對(duì)11人，手不能觸球，不能越位，等等”。一旦確立了規(guī)則，球員和球隊(duì)經(jīng)理便可以自由探索，創(chuàng)造新的球技和隊(duì)伍組合。

概率論（以及一般數(shù)學(xué)）沒(méi)什么兩樣。我們將這些規(guī)則稱(chēng)為公理（axiom）。一旦確立了規(guī)則，數(shù)學(xué)家便興奮異常地探索新的定理和結(jié)果。你可以做任何你想做的，只要遵循公理。

讓我們查看下概率論的公理。

公理1

第一條法則表述為一個(gè)事件的概率大于等于零。事實(shí)上，我們可以進(jìn)一步地說(shuō)，一個(gè)事件的概率在0和1之間（含）。

在數(shù)學(xué)上表達(dá)為：

“事件”指“某事發(fā)生了”。例如，我們可能談?wù)撁魈斓奶鞖?，事件是明天下雨了。明天下雨的概率可能?.5，數(shù)學(xué)上表達(dá)為：

我們可以組合結(jié)果為一個(gè)事件，比如說(shuō)一個(gè)事件是明天下雨或下雪的結(jié)果。在這種方式下，事件實(shí)際上是一組結(jié)果。

公理2

這條法則表述為至少一種可能的結(jié)果發(fā)生的概率為1。讓我自由散漫一下，換種說(shuō)法，如果你把所有可能結(jié)果的概率加起來(lái)，所得概率之和為1. 硬核數(shù)學(xué)家會(huì)抓住我的錯(cuò)誤，但在我們遇到的大多數(shù)情況下，第二種說(shuō)法是成立的。

讓我們以投擲6面骰為例。擲出骰子后，六個(gè)數(shù)字都有可能，骰子的點(diǎn)數(shù)必然是1、2、3、4、5、6其中之一。因此，我至少得到其中一種點(diǎn)數(shù)的概率是1. 概率等于1意味著我們確定（certain）。

我的第二種說(shuō)法也是成立的?？偣灿?種可能性，擲出任何點(diǎn)數(shù)的概率是1/6. 因此，如果我們把擲出1、2、3、4、5或6點(diǎn)的概率加起來(lái)，我們得到的結(jié)果是1. 如下式所示：

P(die = 1) + P(die = 2) + P(die = 3) + P(die = 4) + P(die = 5) + P(die = 6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1.

把概率之和的每一項(xiàng)都寫(xiě)出來(lái)太枯燥乏味了，特別是在有幾百種結(jié)果的情況下。所以數(shù)學(xué)家會(huì)用簡(jiǎn)短的寫(xiě)法：

那個(gè)長(zhǎng)得很像“E”的大字母是希臘字母西格瑪（Σ），這個(gè)符號(hào)意味著相加，下標(biāo)和上標(biāo)分別表示從哪里開(kāi)始，到哪里結(jié)束。所以上式表示“從i=1開(kāi)始，一直到i=6結(jié)束”。

所以我們可以將陳述“所有可能結(jié)果的概率相加等于1”在數(shù)學(xué)上表示為：

有一個(gè)專(zhuān)門(mén)的術(shù)語(yǔ)可以代替“所有可能結(jié)果”——它稱(chēng)為采樣空間。因此，6面骰的1、2、3、4、5、6點(diǎn)實(shí)際上是采樣空間。在數(shù)學(xué)上，采樣空間記為Ω. 所以我們也可以將上式寫(xiě)成：

公理3

這條公理也許是讀起來(lái)最讓人疑惑的，但我在之前提到過(guò)的零基礎(chǔ)概率論入門(mén)的第一篇介紹概率互斥的時(shí)候已經(jīng)涉及這條公理。這里我將通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明。

這條公理表示為如果兩事件互斥（即兩事件不可能同時(shí)發(fā)生），那么這兩個(gè)事件其中有一個(gè)發(fā)生的概率等于各個(gè)事件發(fā)生的（邊緣）概率之和。我早說(shuō)過(guò)了，這讓人疑惑。讓我們嘗試通過(guò)第一篇中的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。

假設(shè)我們擲出一個(gè)均勻的6面骰，想要知道擲出5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率。這兩個(gè)事件是互斥的，因?yàn)槲覀儫o(wú)法同時(shí)擲出5點(diǎn)和6點(diǎn)。因此擲出5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率等于擲出5點(diǎn)的概率加上擲出6點(diǎn)的概率：1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

在數(shù)學(xué)上，這條公理可以表示為：

給定結(jié)果1和結(jié)果2互斥（不能同時(shí)發(fā)生），我們有

結(jié)語(yǔ)

我知道，相比之前的文章，這篇可能比較沉悶，但我覺(jué)得介紹這些基礎(chǔ)內(nèi)容很重要，理解更高級(jí)的概念需要這些基礎(chǔ)。