基于圖像的微分的：一階微分和二階微分（拉普拉斯算子）

前面介紹的幾種濾波器都屬于平滑濾波器（低通濾波器），用來平滑圖像和抑制噪聲的；而銳化空間濾波器恰恰相反，主要用來增強(qiáng)圖像的突變信息，圖像的細(xì)節(jié)和邊緣信息。平滑濾波器主要是使用鄰域的均值（或者中值）來代替模板中心的像素，消弱和鄰域間的差別，以達(dá)到平滑圖像和抑制噪聲的目的；相反，銳化濾波器則使用鄰域的微分作為算子，增大鄰域間像素的差值，使圖像的突變部分變的更加明顯。

本位主要介紹了一下幾點(diǎn)內(nèi)容：

圖像的一階微分和二階微分的性質(zhì)

幾種常見的一階微分算子

二階微分算子 - Laplace 拉普拉斯算子

一階微分算子和二階微分算子得到邊緣的對比

一階微分和二階微分的性質(zhì)

既然是基于一階微分和二階微分的銳化空間濾波器，那么首先就要了解下一階和二階微分的性質(zhì)。

圖像的銳化也就是增強(qiáng)圖像的突變部分，那么我們也就對圖像的恒定區(qū)域中，突變的開始點(diǎn)與結(jié)束點(diǎn)（臺階和斜坡突變）及沿著灰度斜坡處的微分的性質(zhì)。微分是對函數(shù)局部變化率的一種表示，那么對于一階微分有以下幾個性質(zhì)：

在恒定的灰度區(qū)域，圖像的微分值為0.（灰度值沒有發(fā)生變換，自然微分為0）

在灰度臺階或斜坡起點(diǎn)處微分值不為0.（臺階是，灰度值的突變變化較大；斜坡則是灰度值變化較緩慢；灰度值發(fā)生了變化，微分值不為0）

沿著斜坡的微分值不為0.

二階微分，是一階微分的導(dǎo)數(shù)，和一階微分相對應(yīng)，也有以下幾點(diǎn)性質(zhì)：

在恒定區(qū)域二階微分值為0

在灰度臺階或斜坡的起點(diǎn)處微分值不為0

沿著斜坡的微分值為0.

從以上圖像灰度的一階和二階微分的性質(zhì)可以看出，在灰度值變化的地方，一階微分和二階微分的值都不為0；在灰度恒定的地方，微分值都為0.也就是說，不論是使用一階微分還是二階微分都可以得到圖像灰度的變化值。

圖像可以看著是二維離散函數(shù)，對于圖像的一階微分其計算公式如下：

對于二階微分有：

對于圖像邊緣處的灰度值來說，通常有兩種突變形式：

? 邊緣兩邊圖像灰度差異較大，這就形成了灰度臺階。在臺階處，一階微分和二階微分的值都不為0.

? 邊緣兩邊圖像灰度變化不如臺階那么劇烈，會形成一個緩慢變換的灰度斜坡。在斜坡的起點(diǎn)和終點(diǎn)一階微分和二階微分的值都不為0，但是沿著斜坡一階微分的值不為0，而二階微分的值為0.

對于圖像的邊緣來說，通常會形成一個斜坡過度。一階微分在斜坡處的值不為0，那么用其得到的邊緣較粗；而二階微分在斜坡處的值為0，但在斜坡兩端值不為0，且值得符號不一樣，這樣二階微分得到的是一個由0分開的一個像素寬的雙邊緣。也就說，二階微分在增強(qiáng)圖像細(xì)節(jié)方面比一階微分好得多，并且在計算上也要比一階微分方便。

梯度圖

在圖像處理中的一階微分通常使用梯度的幅值來實(shí)現(xiàn)。對于圖像 f ( x , y ) ,f在坐標(biāo) ( x , y ) 處的梯度是一個列向量

該向量表示圖像中的像素在點(diǎn) ( x , y ) 處灰度值的最大變化率的方向。向量 ?f 的幅值就是圖像 f ( x , y ) 的梯度圖，記為M(x,y)

M ( x , y ) 是和原圖像 f( x , y ) 同大小的圖像。由于求平方的根運(yùn)算比較費(fèi)時，通?？梢允褂媒^對值的和來近似

從上面可以看出，要得到圖像的梯度圖，有以下步驟：

? 圖像在 x 方向的梯度 gx ? 圖像在 y 方向的梯度 gy ? M ( x , y ) =∣gx∣+∣gy∣

一階梯度算子

圖像是以離散的形式存儲，通常使用差分來計算圖像的微分，常見的計算梯度的模板有以下幾種

? 根據(jù)梯度的定義

可以得到模板 [ ?1 1 ] 和使用該方法計算的圖像的梯度只是考慮單個像素的差值，并沒有利用到圖像的像素的鄰域特性。

? Robert交叉算子

在圖像處理的過程中，不會只單獨(dú)的對圖像中的某一個像素進(jìn)行運(yùn)算，通常會考慮到每個像素的某個鄰域的灰度變化。因此，通常不會簡單的利用梯度的定義進(jìn)行梯度的計算，而是在像素的某個鄰域內(nèi)設(shè)置梯度算子?？紤]，3×3 區(qū)域的像素，使用如下矩陣表示：

令中心點(diǎn) z5表示圖像中任一像素，那么根據(jù)梯度的定義，z5在在 x 和 y 方向的梯度分別為：gx=z9?z5和gy=z8?z6，梯度圖像 M ( x , y )

根據(jù)上述公式，Robert在1965年提出的Robert交叉算子

? Sobel算子

Robert交叉算子的尺寸是偶數(shù)，偶數(shù)尺寸濾波器沒有對稱中心計算效率較低，所以通常濾波器的模板尺寸是奇數(shù)。仍以3×3 為例，以 z5為對稱中心（表示圖像中的任一像素），有

利用上述公式可以得到如下兩個卷積模板，分別計算圖像在 x 和 y 風(fēng)向的梯度

第一個模板，第三行和第一行的差近似x方向的偏微分；第二個模板，第三列和第一列的差近似y方向的偏微分，而且模板的所有系數(shù)只和為0，表示恒定灰度區(qū)域的響應(yīng)為0.

基于OpenCV的一階梯度算子實(shí)現(xiàn)

? Sobel算子

在OpenCV中封裝了Sobel算子，其函數(shù)為Sobel。使用Sobel能夠很方便的計算任意尺寸的x和y方向的偏微分，具體如下：

void sobel_grad(const Mat &src, Mat &dst) { Mat grad_x, grad_y; Sobel(src, grad_x, CV_32F, 1, 0); Sobel(src, grad_y, CV_32F, 0, 1); //convertScaleAbs(grad_x, grad_x); //convertScaleAbs(grad_y, grad_y); //addWeighted(grad_x, 0.5, grad_y, 0.5, 0, dst); magnitude(grad_x, grad_y, dst); convertScaleAbs(dst, dst); }

上述代碼中調(diào)用Sobel分別得到圖像在x和y方向的偏微分 gx和 gy，然后相加得到得到圖像的梯度圖。

其余的幾個函數(shù)說明,convertScaleAbs將圖像類型轉(zhuǎn)換為CV_8U；addWeighted按一定的權(quán)值將兩個圖像相加；magnitude求兩個圖像的幅值，其公式為

，具體的參數(shù)說明可參考OpenCV的官方文檔。

? 基于定義和Robert交叉算子的計算

對于這兩種算子，OpenCV中并沒有提供具體的函數(shù)，不過可以利用filter2D函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。filter2D是OpenCV中對圖像進(jìn)行卷積運(yùn)算的一個很重要的函數(shù)，該函數(shù)能夠使用任意的線性卷積核對圖像進(jìn)行卷積運(yùn)算。

void robert_grad(const Mat& src, Mat &dst) { Mat grad_x, grad_y; Mat kernel_x = (Mat_(2, 2) << -1, 0,0,1); ? ?Mat kernel_y = (Mat_(2, 2) << 0, -1, 1, 0); ? ? ? ?filter2D(src, grad_x, CV_32F, kernel_x); ? ?filter2D(src, grad_y, CV_32F, kernel_y); ? ?//convertScaleAbs(grad_x, grad_x); ? ?//convertScaleAbs(grad_y, grad_y); ? ?//addWeighted(grad_x, 1, grad_y, 1, 0, dst); ? ?magnitude(grad_x, grad_y, dst);}

構(gòu)造好Robert交叉算子，然后調(diào)用filter2D即可；基于定義的計算方法于此類似，不在贅述。

結(jié)果三種方法計算得到的梯度圖，如下：

從上面結(jié)果可以看出，Robert交叉算子和基于定義得到的邊緣圖，得到的邊緣較細(xì)并且不是很連續(xù)；Sobel得到邊緣較粗，線條連續(xù)，效果明顯好于其他的兩種算子。

二階微分算子 - LapLace 拉普拉斯算子

二階微分算子的代表就是拉普拉斯算子，其定義如下：

其中：

對于上述的 3×3 區(qū)域，則有

其得到的模板如下：

注意，模板中心的符號，并且模板的所有系數(shù)之和為0.

在OpenCV中有對LapLace的封裝，其函數(shù)為Laplacian,其使用的模板中心的系數(shù)為負(fù)，具體參數(shù)說明參見OpenCV文檔，其得到的邊緣圖和一階微分算子得到邊緣圖對比結(jié)果如下：

? 一階微分算子Sobel得到的邊緣較粗 ? 二階微分算子Laplace得到的邊緣則較細(xì)，并且邊緣是雙邊緣 ? Lpalace算子對噪聲比較敏感，得到的邊緣圖像上噪聲較明顯

由于Laplace算子對噪聲敏感，會得到雙邊，并且并不能檢測邊緣的方向，其通常不用于直接的邊緣檢測，只是起到輔助作用。檢測某像素實(shí)在邊緣的亮的一側(cè)還是暗的一側(cè)，利用“零跨越”確定邊緣的位置。

總結(jié)

本文主要介紹了圖像空間域的銳化算子（也就是邊緣檢測算子），這些算子都是基于圖像的微分的：一階微分和二階微分（拉普拉斯算子）。

由于一階微分和二階微分有各自的特點(diǎn)，其得到的圖像邊緣也不相同：一階微分得到的圖像邊緣較粗，二階微分得到的是較細(xì)的雙邊緣，所以在圖像的邊緣增強(qiáng)方面二階微分算子的效果較好。