一種科學(xué)思維上的敏感或直覺，謝昆諾夫?qū)ζ矫骐姶挪ǖ男再|(zhì)深人的研究

謝昆諾夫（S.A. Schelkunoff）是國際知名的電磁理論科學(xué)家。從1934年解決同軸線內(nèi)電磁場結(jié)構(gòu)開始，他在后來的三十年內(nèi)，在工程電磁場、天線理論、波導(dǎo)理論等方面發(fā)表了數(shù)十篇論文和幾本書，提出了許多定理、原理、概念、方法（它們之中有許多早已寫人大學(xué)教材中），作出了重要的貢獻(xiàn)。他使應(yīng)用數(shù)學(xué)煥發(fā)出光采，許多工作帶有奠基性質(zhì)。就經(jīng)典電動力學(xué)方法（即量子理論以外領(lǐng)域）而言，可以把他比作二十世紀(jì)的麥克斯韋。眾所周知，電磁波的波導(dǎo)在微波技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，也是當(dāng)前光波導(dǎo)光纖的前驅(qū)，因而介紹這方面的歷史是有意義的。

一

1897年1月27日，謝昆諾夫生于俄國薩馬拉，后隨家庭移居美國。1923年（26歲時）在華盛頓州立學(xué)院獲碩士學(xué)位后，即加人西屋公司工作，兩年后轉(zhuǎn)人貝爾研究所。1928年，他在哥倫比亞大學(xué)獲博士學(xué)位。以后，長期在貝爾研究所擔(dān)任高級科學(xué)家。

謝昆諾夫開始從事研究工作的時期，正處在電子學(xué)從短波技術(shù)向超高頻、微波技術(shù)發(fā)展的時代。筆者在前文[1]中，曾談過兩位英國物理學(xué)家（O. Heaviside和J.J. Thomson）于1893年就波導(dǎo)的可實現(xiàn)性發(fā)表尖銳對立的意見的情形。顯然，只有實驗上的完全成功，才能對這一爭論的是非作出最后的判斷。在貝爾研究所，一方面有以G.C. Southworth為首的小組從事建立波導(dǎo)線路的實驗研究，同時又有以J.R. Carson為首的小組進(jìn)行波導(dǎo)理論的數(shù)學(xué)分析工作。謝昆諾夫參加了后者。1936年，Carson，Mead和謝昆諾夫發(fā)表了題為《高頻波導(dǎo)數(shù)學(xué)理論》的論文，該論文反映的最重要的成果是導(dǎo)出了圓波導(dǎo)的嚴(yán)格的超越方程（即CMS方程[2，3]）。論文中假定壁電導(dǎo)率為有限，同時作混合模（hybrid modes）分析。論文所導(dǎo)出的CMS方程實質(zhì)是本征值方程，具有重要意義和實用價值。正是這篇論文命名了HE和EH模。CMS方程是針對金屬壁波導(dǎo)提出的，但經(jīng)過J.A. Stratton[4]的普遍化討論后，也適用于近代出現(xiàn)的光纖。因此，正是從1936年開始，謝昆諾夫和比他年長的貝爾研究所的研究數(shù)學(xué)家（research mathematician）J.R. Carson一起，作出了極有價值的貢獻(xiàn)。實際上，1934年謝昆諾夫在獨立發(fā)表關(guān)于同軸線這一雙導(dǎo)體導(dǎo)波體系的理論時[5]，就一直在思考如何從數(shù)學(xué)上來處理單導(dǎo)體導(dǎo)波體系的波導(dǎo)問題。

1937年，謝昆諾夫發(fā)表了題為《平面電磁波傳輸理論》的論文[6]，單獨一人作出了非常重要的貢獻(xiàn)。在這篇論文中，他率先把阻抗概念用于處理電磁場問題；他提出了無耗波導(dǎo)截止頻率的定義；他首創(chuàng)計算衰減常數(shù)的功率損耗法（power loss method），這在V.M. Papadopoulos[7]1954年論文發(fā)表之前是唯一能作數(shù)值計算的方法；他最先采用分布參數(shù)等效電路以分析自由空間的和導(dǎo)波的傳播，在這過程中，他利用矢量勢（vector potential）A作為工具。實際上，他的這些研究成果早已成為電磁場理論、波導(dǎo)理論教科書的基本內(nèi)容。

三十年代末至五十年代初，是謝昆諾夫的多產(chǎn)時期，其間屢有佳作。例如，1938年他研究了微小失圓管子中的導(dǎo)波[8]；1944年他對無限長矩形波導(dǎo)中的TE10（H10）模的純行波，定義了一組（三個）特性阻抗[9]；1952年他提出“廣義電報員方程”[10]，這是研究圓波導(dǎo)中TE01（H01）模傳輸?shù)挠辛ぞ?，?955年以后人們用它解決了許多問題（實際上，正是謝昆諾夫最先指出圓波導(dǎo)中存在頻率越高衰減越小的模式，即H01模）。這些都是對波導(dǎo)理論直接作出的貢獻(xiàn)。同波導(dǎo)理論間接有關(guān)的工作也很多，例如，1948年他討論了由均勻媒質(zhì)等效空間網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)出麥克斯韋方程組[11]；1951年提出電磁場等價定理（field equivalence theorems）[12]，它可用來解決波導(dǎo)的小孔激發(fā)理論問題；1952年，他由半無限導(dǎo)體圓錐的分析，解決了半無限長線電流產(chǎn)生的場分布[13]；1955年，他通過正交函數(shù)展開，將麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)換為具體問題的耦合波方程組[14]等等。

二

指出下述的年代方面的巧合是非常有趣的：謝昆諾夫出生的那一年（1897），恰恰是瑞利第一次全面討論波導(dǎo)的那年[15,16]，從那時到波導(dǎo)實驗成功（1936）[17]恰為39年；而謝昆諾夫正是在39歲時，參加Carson領(lǐng)導(dǎo)的小組完成了對圓波導(dǎo)特征方程的推導(dǎo)工作[2]。

基于一種科學(xué)思維上的敏感或直覺，謝昆諾夫?qū)ζ矫骐姶挪ǎㄒ环N非常基本的波）的性質(zhì)進(jìn)行了深人的研究。他指出[6]，平面波可在理想導(dǎo)電壁金屬管子（圖1）中存在，但是近似平面的，等相面在邊界上畸變。

圖1、任意截面規(guī)則波導(dǎo)

從單色簡諧波條件下的麥克斯韋方程出發(fā)，在橫磁（TM）波和Hz=0的假定下，可以寫出標(biāo)量Ex，Ey，Ez，和Hx，Hy，Hz之間的關(guān)系式；又假定某個電位函數(shù)U（表示在給定點與無限遠(yuǎn)之間沿著等相面上一條路徑的電動勢作用），從而寫出

此外，引入矢量勢函數(shù)A（它的旋度是磁場強(qiáng)度矢量H），取A為z向矢量（A=Aziz，iz為z向單位矢），則得

聯(lián)立以上三方面的關(guān)系式，可得

式中σ，

作為橫磁波傳輸?shù)刃榉植紖?shù)電路時的并聯(lián)導(dǎo)納.這樣，謝昆諾夫開始在用等效電路描述波動過程方面取得突破。

由麥克斯韋方程及上述關(guān)系式，可得

把（1）式代入（4）式，得

式中

對比（3），（5）兩式，得

即

這是無源空間的齊次Helmholtz方程，說明Az（或說矢量A）是波方程的解。令

式中函數(shù)ψ表示場振幅在等相面上的分布；代入（5）式，得

式中左邊第一項與z無關(guān)，可令

式中h與（x，y，z）及ψ無關(guān)。由于ψ是實數(shù)，故h也是實數(shù)。又因F(z)與（x，y）無關(guān)，故可取

將（7）式帶入（3）式后，得

將（8）式與（4）式聯(lián)立，得

對比均勻傳輸線理論中的公式：

可取

作為橫磁波傳輸分布等效電路的串聯(lián)阻抗，現(xiàn)在可用圖2來描寫TM波的波動過程，并由（2）式和（10）式來決定元件的值：

圖2、規(guī)則柱波導(dǎo)的TM波等效電路

當(dāng)然，參照濾波器理論還可求傳播常數(shù)、特性阻抗和截止頻率的表達(dá)式。

謝昆諾夫的上述處理不僅在理論上優(yōu)美、自洽，而且在工程計算上很方便。例如，對于圓波導(dǎo)和TM01模，有

式中k01為Bessel函數(shù)J0（x）=0的第一根，a為波導(dǎo)內(nèi)半徑。

三

波導(dǎo)實驗成功后最初幾年，人們吃不準(zhǔn)該怎樣看待它。問題是能否把它看成傳輸線？能否計算它的阻抗和反射？正是謝昆諾夫及時解決了這些問題。1937年，他首先提出了波導(dǎo)的波阻抗的定義。1944年，他又提出了特性阻抗的定義。他的分析主要針對矩形波導(dǎo)（圖3）。

圖3、矩形波導(dǎo)

其中的橫向電場與橫向磁場的關(guān)系，對TE模為：

對理想導(dǎo)電壁波導(dǎo)主模（H10模），可證明

式中λ是工作波長，λc是截止波長，Z00是自由空間波阻抗。波導(dǎo)波阻抗是有用的概念，但卻無法解釋兩段波導(dǎo)（a一樣，b不同）相聯(lián)后有反射發(fā)生的事實。

三十年代末到四十年代初的微波測量實踐，證明關(guān)于行波、駐波、反射、圓圖等傳輸線概念、方法均可用于波導(dǎo)。因而為了應(yīng)用傳輸線理論就必須在單導(dǎo)體的波導(dǎo)情況下給出電壓和電流的定義。謝昆諾夫最早做了這個工作[9]。對矩形波導(dǎo)主模，他定義

這樣他導(dǎo)出了一組（三個）特性阻抗：

式中常數(shù)C可以是π|2，2，π2|8，因而特性阻抗失去了唯一性。由于表達(dá)式包含了b，因而解決了矛盾。

這是一個貢獻(xiàn)，但謝昆諾夫自己也認(rèn)為這種處理不太自然。對這個問題，幾十年來發(fā)生許多爭論[18-20]，我們認(rèn)為D.M Kerns[19]的見解比較正確、全面；他認(rèn)為，由線積分定義電壓沒有普遍價值，因為并非在一切情況下均能知道波導(dǎo)內(nèi)的場圖。其次，“ 一根波導(dǎo)的特性阻抗”的說法沒有意義，因為波導(dǎo)內(nèi)有多模，每個模式都有自己的波阻抗值。但Kerns并不完全否定謝昆諾夫的方法在分析波導(dǎo)中不連續(xù)性問題時有價值，因而與完全否定的觀點[20]不同。

目前采用的定義波導(dǎo)電壓和電流的方法是以基準(zhǔn)場（basis fields）理論為基礎(chǔ)。這一較好方法是S.Silver[21]最先提出的。它把波導(dǎo)內(nèi)橫向場寫為

Silver把式中的U，I分別稱為模式電壓、電流參數(shù)。今天，我們稱

但是，謝昆諾夫的方法直到今天仍在使用著。例如，1983年發(fā)表的關(guān)于雙脊波導(dǎo)的論文山[22]，對電壓的定義為

這顯然仍是謝昆諾夫方式。因此，向人們介紹這位在本世紀(jì)三十至六十年代非?；钴S的電磁理論科學(xué)家的成就是十分必要的。

本文只是簡介謝昆諾夫在波導(dǎo)理論研究早期所做工作，絕非其貢獻(xiàn)的全部。但就本文內(nèi)容已經(jīng)可以看出，他的主要特點是理論思維方面的創(chuàng)新精神。雖然他畢生未做實驗工作，但令人驚奇的是他對事物總保持高度敏感并且總能在數(shù)學(xué)上找到處理的方法。