淺談數(shù)字信號(hào)處理中的FFT頻率與實(shí)際物理頻率

4種頻率及其數(shù)量關(guān)系

實(shí)際物理頻率表示AD采集物理信號(hào)的頻率，fs為采樣頻率，由奈奎斯特采樣定理可以知道，fs必須≥信號(hào)最高頻率的2倍才不會(huì)發(fā)生信號(hào)混疊，因此fs能采樣到的信號(hào)最高頻率為fs/2。

角頻率是物理頻率的2*pi倍，這個(gè)也稱模擬頻率。

歸一化頻率是將物理頻率按fs歸一化之后的結(jié)果，最高的信號(hào)頻率為fs/2對(duì)應(yīng)歸一化頻率0.5，這也就是為什么在matlab的fdtool工具中歸一化頻率為什么最大只到0.5的原因。

圓周頻率是歸一化頻率的2*pi倍，這個(gè)也稱數(shù)字頻率。

有關(guān)FFT頻率與實(shí)際物理頻率的分析

做n個(gè)點(diǎn)的FFT，表示在時(shí)域上對(duì)原來(lái)的信號(hào)取了n個(gè)點(diǎn)來(lái)做頻譜分析，n點(diǎn)FFT變換的結(jié)果仍為n個(gè)點(diǎn)。

換句話說(shuō)，就是將2pi數(shù)字頻率w分成n份，而整個(gè)數(shù)字頻率w的范圍覆蓋了從0-2pi*fs的模擬頻率范圍。這里的fs是采樣頻率。而我們通常只關(guān)心0-pi中的頻譜，因?yàn)楦鶕?jù)奈科斯特定律，只有f=fs/2范圍內(nèi)的信號(hào)才是被采樣到的有效信號(hào)。那么，在w的范圍內(nèi)，得到的頻譜肯定是關(guān)于n/2對(duì)稱的。

舉例說(shuō)，如果做了16個(gè)點(diǎn)的FFT分析，你原來(lái)的模擬信號(hào)的最高頻率f=32kHz，采樣頻率是64kHz，n的范圍是0,1,2...15。這時(shí)，64kHz的模擬頻率被分成了16分，每一份是4kHz，這個(gè)叫頻率分辨率。那么在橫坐標(biāo)中，n=1時(shí)對(duì)應(yīng)的f是4kHz, n=2對(duì)應(yīng)的是8kHz, n=15時(shí)對(duì)應(yīng)的是60kHz，你的頻譜是關(guān)于n=8對(duì)稱的。你只需要關(guān)心n=0到7以內(nèi)的頻譜就足夠了，因?yàn)?，原?lái)信號(hào)的最高模擬頻率是32kHz。

這里可以有兩個(gè)結(jié)論。

第一，必須知道原來(lái)信號(hào)的采樣頻率fs是多少，才可以知道每個(gè)n對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率是多少，第k個(gè)點(diǎn)的實(shí)際頻率的計(jì)算為f(k)=k*(fs/n)

第二，你64kHz做了16個(gè)點(diǎn)FFT之后，因?yàn)轭l率分辨率是4kHz，如果原來(lái)的信號(hào)在5kHz或者63kHz有分量，你在頻譜上是看不見的，這就表示你越想頻譜畫得逼真，就必須取越多的點(diǎn)數(shù)來(lái)做FFT，n就越大，你在時(shí)域上就必須取更長(zhǎng)的信號(hào)樣本來(lái)做分析。但是無(wú)論如何，由于離散采樣的原理，你不可能完全準(zhǔn)確地畫出原來(lái)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的真實(shí)頻譜，只能無(wú)限接近（就是n無(wú)限大的時(shí)候），這個(gè)就叫做頻率泄露。在采樣頻率fs不變得情況下，頻率泄漏可以通過取更多的點(diǎn)來(lái)改善，也可以通過做FFT前加窗來(lái)改善，這就是另外一個(gè)話題了。

離散信號(hào)傅里葉變換的周期性討論

要分析這個(gè)，我們先從Laplace變換與Z變換之間的關(guān)系談起。

圖中的關(guān)系有以下幾點(diǎn)：

s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上

s平面的負(fù)半軸映射到z平面的單位圓內(nèi)

s平面的正半軸映射到z平面的單位圓外

現(xiàn)在我們來(lái)看一下s平面虛軸上模擬頻率的變換將會(huì)導(dǎo)致z平面單位圓上如何變化：

當(dāng)模擬頻率在s平面的虛軸上從0變到fs 時(shí)，數(shù)字頻率在z平面單位圓上從0變到2 pi。

當(dāng)模擬頻率在s平面的虛軸上從2fs變到4fs時(shí)，數(shù)字頻率在z平面單位圓上仍然從0變到2 pi。

。。。。。。z平面如此循環(huán)重復(fù)

我們知道離散信號(hào)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)到單位圓上的z變換，因此上面的結(jié)論就驗(yàn)證了為什么離散信號(hào)的傅里葉變換是周期性：根本原因所是單位圓上的周期性。

考慮到我們實(shí)際應(yīng)用中可選擇一個(gè)周期，這也能夠解釋：因?yàn)閷?shí)際信號(hào)的頻率總是在fs/2以下，這就對(duì)應(yīng)到z平面單位圓上的0~pi，在一個(gè)周期范圍內(nèi)就可以進(jìn)行信號(hào)分析了。