如何使用了一個簡單的反證法，就證明了159年來無人能攻克的黎曼猜想

40分鐘后，89歲的阿蒂亞爵士（Sir Michael Francis Atiyah）完成了他全球矚目的黎曼猜想證明演講，現(xiàn)場聽眾報以10多秒的掌聲。

接下來是提問環(huán)節(jié)。

沒想到，高智商聽眾云集的會場里，隨即陷入一片沉默。“Come on！”等待20秒仍不見人提問的阿蒂亞呼吁大家勇敢一點。

直到一分鐘后，站在臺上的阿蒂亞才聽到第一個問題：

“黎曼猜想這算是被成功證明了嗎？”

提問者應該是一位印度小哥，他來自數(shù)學家鄙視鏈的下下游，人工智能領域，一上來就拋出這個尖銳的問題。

阿蒂亞說，他自己覺得算是已經證明了黎曼猜想，不過如果你堅決不接受反證法的話……

當然，阿蒂亞也表示這個證明現(xiàn)在還不完整，接下來還有很多后續(xù)問題要解，今天只是萬里長征的第一步，不過，第一步也應該算是問題的一個解。

他說：“我可以退休了。”

第二位提問觀眾關心論文什么時候發(fā)表，好檢驗一下這個證明。這樣一個問題勾起了阿蒂亞的傷心事。

順著這個提問，阿蒂亞開始吐槽了學術界的“老齡歧視”。他說：“等你到了我這個年紀，人們就不發(fā)表你的論文了，他們會說你太老了，肯定哪兒證明錯了?！?/p>

他說他甚至被arXiv拒了稿，簡直是歧視啊。

第三位提問的終于是個小姐姐，關心了一下阿蒂亞自己對證明黎曼猜想這件事的感受：你認為大家會相信你的證明嗎？還是說你根本不在乎大家信不信？

大家信不信，阿蒂亞是很在乎的。他說，得不得獎不重要，有人聽才重要。

不過，大家不信也正常，因為他發(fā)現(xiàn)，如果有人給舊方法找了種更聰明的用法，人們還比較容易相信，但大家不愿意相信全新的證明。

而他這次所講的，就是一個全新的方法。

核心三分鐘

作為菲爾茲獎與阿貝爾獎雙料得主、英國皇家學會院士，阿蒂亞爵士于德國柏林時間9月24日上午9點45分登上講臺。

在他40分鐘的演講中，大部分在回顧歷史，嚴格來講，只有三分多鐘在講解他如何使用了一個簡單的反證法，就證明了159年來無人能攻克的黎曼猜想。

三分多鐘講解，只有一張PPT。

阿蒂亞爵士對黎曼猜想的證明，只是推演物理學中精細結構常數(shù)α的副產品，建立在馮·諾依曼（John von Neumann）和弗里德里?！は２卟剪敽眨‵riedrich Hirzebruch）工作的基礎之上。

也就是說，他最初也不是想根據這兩位的工作來證明黎曼猜想，而是要推演精細結構常數(shù)。

精細結構常數(shù)通常被認為約等于1/137.03599913，但它究竟是怎么來的，到底是不是一個常數(shù)，困擾著無數(shù)物理學家，就像黎曼猜想困擾著數(shù)學家一樣。

這個推演過程，就用上了Todd函數(shù)，這個函數(shù)是希策布魯赫用阿蒂亞老師的名字命名的。

阿蒂亞在推演精細結構常數(shù)的過程中，發(fā)現(xiàn)Todd函數(shù)還能用來證明黎曼猜想，于是就有了今天這場演講。

用Todd函數(shù)，靠反證法證明黎曼猜想的過程，全在下面這一頁PPT里了：

為了避免曲解（實際也聽不懂）阿蒂亞的原意，我們把現(xiàn)場這段三分多鐘的講解，剪出來放在這里，我們一起聆聽大師現(xiàn)場教學：

想要進一步研究，可以參考阿蒂亞證明黎曼猜想的論文預印本。

論文獲取鏈接:https://pan.baidu.com/s/1m6de_9f2503yZeyQPqlwvA提取碼: cs2u

全文很短，只有5頁。

同行不予置評

不知道這個證明，你能看懂幾分。

但根據我們的觀察，這個演講發(fā)表之后，阿蒂亞爵士并沒有收到太多的贊美。科技媒體New Scientist曾經聯(lián)系了多位數(shù)學家，問他們怎么看阿蒂亞證明黎曼猜想的方法，但數(shù)學家們大多表示不予置評。

就像爵士演講之后的提問環(huán)節(jié)，全場無人舉手，空氣像凍住了一樣。

△“證明部分，就留作課后練習吧。“

從20日發(fā)布演講預告，到昨天下午演講結束，外界對阿蒂亞的這份證明，一直不太看好。畢竟十年來，他幾乎沒有做出過讓學界認可的成果了。

甚至，演講開始前傳出的預印本，許多人都懷疑是假的，不相信阿蒂亞會給出那樣的證明。聽了演講之后，才驚呼“啊，是真的啊。”

另外，阿蒂亞爵士在演講中提到，證明過程中用到的最重要的工具，是Todd函數(shù)。

針對這一點，有不止一個網友表示，“這跟Todd函數(shù)沒啥關系啊，就是多項式而已?！?/p>

另外據《文匯報》報道，對于阿蒂亞這次的工作，有同行在網上表示，為了尊重這位曾經做出過非常杰出而漂亮工作的偉大數(shù)學家，就不要再討論了，因為他的證明是“not even wrong”。

在科學界，這個英語短語描述了一個聲稱是科學的論點或解釋，但是基于無效的推理或推測前提。因此，它指的是不能嚴格地、科學地討論的論述。

再看看學術討論之外的世界，推特用戶的娛樂精神就比較充足：

“我跟導師聊起阿蒂亞證明黎曼假說的事。他說每個人，不管 (前一秒) 是在帶孩子，還是在呼吸，還是在干嘛，都紛紛放下手上的事，開始證明黎曼假說了。”

妄自解讀了一下這條評論，大概是說，這樣就能證明的話，是人都能證明了。

當然，負面評價也不是全部。

有人指出，這份證明，只是阿蒂亞其他研究的一個推論(Corollary) ，而那些研究外界都沒有看過，無從評價對錯。真正的問題在于，Todd函數(shù)到底是怎么用的。

阿蒂亞本人也說，這個證明只是“萬里長征第一步 (the First Step on a Long Road) ”，還有很多需要補充的東西。

不過，他依然相信，自己有理由把 (證明黎曼猜想的) 100萬美元收入囊中。

全程視頻+PPT

阿蒂亞此次演講+問答的全程，視頻在此：

如果你想下載觀摩阿蒂亞此次演講使用的PPT，這里是下載地址：https://pan.baidu.com/s/1akir2ySSlHbU4lxyYfI9CA（提取碼: qeb7）

黎曼猜想簡史

所以講了這么多，黎曼到底猜想了啥？

一個找質數(shù)的方法。

質數(shù)，就是自然數(shù)中那些只能被1和它自己整除的整數(shù)。比如2、3、5、7、11、13、17、19、23……這些數(shù)。

質數(shù)看起來似乎沒什么規(guī)律，在數(shù)軸上突然地出現(xiàn)，又突然地消失，從古希臘開始，人們就被這個“玄學”所困擾：

質數(shù)啊，你們到底有沒有什么規(guī)律？

然而當時，古希臘人對質數(shù)除了定義之外的唯一知識就是：

自然界有無數(shù)個質數(shù)。

這個證明來自于歐幾里得，他用反證法證明了這一點。

之后的1600年，人們對于素數(shù)的認知毫無進展。

研究調和級數(shù)的奧里斯姆大佬

時間一躍來到了中古晚期，法國瓦盧瓦王朝國王查理五世的顧問，title包括經濟學家、數(shù)學家、物理學家、天文學家、哲學家、音樂學家、神學家等一長串的一位大佬尼克爾·奧里斯姆（Nicole Oresme）研究出了一個新的函數(shù)：調和級數(shù)發(fā)散

是不是覺得看起來很玄學？

他的證明過程就很簡單了，非常的奧數(shù)style。

△調和級數(shù)發(fā)散的證明，小學數(shù)學就能看懂

調和級數(shù)發(fā)散看起來跟質數(shù)似乎沒啥關系，但是就是這個式子，一不小心給后來的黎曼猜想奠定了基礎。

歐拉老師的乘積公式

奧里斯姆大佬告別歷史舞臺353年之后，輪到歐拉老師秀了。

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Eule），就是那個從陪伴大家從中學到高數(shù)到復變函數(shù)的歐拉老師，他發(fā)現(xiàn)了一個名叫歐拉乘積公式的函數(shù)：

這個公式仿佛冥冥中和質數(shù)的分布有某種聯(lián)系，數(shù)學王子高斯（Gauss）和另一位數(shù)學大師勒讓德（Legendre）就感覺到了這一點，倆人不約而同的提出了質數(shù)定理：

從不大于n的自然數(shù)中隨機選一個，它是質數(shù)的概率大約是1/ln n。

黎曼大神登場

前面四位數(shù)學家做了一些鋪墊之后，主角黎曼大神終于登上了歷史舞臺。

黎曼33歲那一年，當上了柏林科學院的通信院士，這可是非常高的榮譽，黎曼一開心，想想來這么好一家單位不能白來，我來的時候以單位為榮，我走的時候就要單位以我為榮。

怎么以我為榮呢？黎曼就寫了一篇牛逼哄哄的論文，題目叫《論小于已知數(shù)的質數(shù)的個數(shù)》，翻譯成人話就是：質數(shù)是怎么分布的。

這篇論文里，黎曼提出了一個函數(shù)，被后世稱為黎曼ζ函數(shù)（ζ，讀音Zeta）。

如果把它展開，你就會發(fā)現(xiàn)，黎曼ζ函數(shù)長得跟前面奧里斯姆調和級數(shù)發(fā)的式子差不多。

之后，黎曼還定義了兩類零點：

平凡零點：某個三角sin函數(shù)的周期零點；

非平凡零點：ζ函數(shù)自身的零點。

針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題：

第一個命題，黎曼指出了非平凡零點的個數(shù)，且十分肯定其分布在實部大于0但是小于1的帶狀區(qū)域上。

黎曼大神形容“這是不言而喻的普適性的結果”，意思就是“這特么簡直是廢話，還用說嗎？”

可是地球上的其他人類不這么覺得。46年后，在芬蘭數(shù)學家梅林和德國數(shù)學家蒙戈爾特的努力下，第一個命題終于被證明了。

第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位于實部等于1/2的直線上。

這個命題，黎曼大神自己證出來了，可是他不說，因為他覺得命題的證明還沒有簡化到可以發(fā)表的程度。

這些地球上的其他數(shù)學家懵逼了：大神你不說就撒手西去了，這得讓我們活著的數(shù)學家急死啊！

所以這個黎曼覺得很簡單的命題，地球上的其他數(shù)學家至今還處在一臉懵逼的狀態(tài)中。

第三個命題，黎曼不像前兩個那么確定了，他用十分謹慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點都全部位于實部等于1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。

注意，黎曼猜想終于出現(xiàn)了！就是這第三個命題。

從此，黎曼猜想就開始折磨數(shù)學家們：到底能不能證明？能證明還是證偽？什么時候才能證明？

數(shù)學家們糾結到什么程度呢？

如果能穿越到500年后，德國數(shù)學家希爾伯特醒來的第一句話就是：黎曼猜想被證明還是證偽了？

美國數(shù)學家蒙哥馬利也說，如果有魔鬼答應讓數(shù)學家們用自己的靈魂來換取一個數(shù)學命題的證明，多數(shù)數(shù)學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。

黎曼猜想，簡直是數(shù)學界の終極奧義。

后世數(shù)學家的燒腦歷史

雖然黎曼猜想很難證明，不過別忘了前面的第二個命題，他自己證明了，還不說，黎曼大神可是一個喜歡藏著掖著的人啊！

于是后世數(shù)學家們就開始扒拉黎曼遺留的手稿。

萬萬沒想到，黎曼大神自己謹慎到證明沒簡化就不發(fā)，可是黎曼大神的管家是個粗心漢。他想都沒想，就把主子遺留的手稿給燒了。

不過，好歹黎曼的遺孀是個聰明人，她看管家犯傻，就趕緊去搶救了一部分手稿出來，送給了黎曼生前好友、另一位數(shù)學家戴德金。

可是送過去之后，黎曼夫人后悔了：萬一那些手稿里有黎曼給我寫的情書呢？

她就找戴德金把大部分手稿要回來了，剩下的被戴德金獻給了哥根廷大學圖書館。

因為天才的思路普通人往往跟不上，這些手稿看起來很難懂。不過，關于手稿的故事我們告一段落，后面它會發(fā)揮巨大的價值。

下面，則是歷代數(shù)學家們一步步靠近黎曼猜想真理的過程。

阿達馬與普森

黎曼去世30年后，法國數(shù)學家雅克·阿達馬和英國天文學家諾曼·普森兩位也不約而同了一下，他們幾乎同時證明了ζ(s)的所有非平凡零點的實部均小于1，即Re(s)=1上無非平凡零點。

所以這也就是素數(shù)定理。

玻爾與蘭道

時間走到了一戰(zhàn)爆發(fā)那年。

丹麥數(shù)學家哈拉爾德·玻爾和德國數(shù)論家愛德蒙·蘭道開始了一場合作，證明了玻爾-蘭道定理：

含有臨界線的任意帶狀區(qū)域都幾乎包含了ζ的所有非平凡零點，表明了臨界線為零點匯聚的“中心位置”。

零點現(xiàn)世

黎曼一直在講“零點”。

可是，他要的零點在哪兒？沒人知道。

1903年，丹麥數(shù)學家第一次算出了前15個非平凡零點的具體數(shù)值。在黎曼猜想公布44年后，人們終于看到了零點的模樣。

毫無意外的是，這些零點的實部全部都是0.5。

哈代與利特爾伍德

1921年，英國數(shù)學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德證明了存在常數(shù)T，使臨界線上虛部位于0與T之間的非平凡零點的數(shù)量至少為KT。

四年后，兩人還算出前138個零點，這基本達到了人類計算能力的極限。

沉迷手稿的西格爾

還記得前面的手稿么？終于有人看明白啦！

1932年，德國數(shù)學家西格爾（Siegel）在手稿中發(fā)現(xiàn)了一個被塵封了73年的公式：

△來自維基百科截圖

這個公式表明，黎曼當年發(fā)表第三命題不是拍腦門瞎說的，而是經過了深刻的思考和計算。為了紀念西格爾對手稿的辛苦挖掘，這個公司后來被叫做黎曼-西格爾公式。

利用黎曼-西格爾公式，后來的數(shù)學家們就可以開心的找零點了。

挪威數(shù)學家塞爾伯格（Selberg）證明了臨界線上的零點個數(shù)占全部非平凡零點個數(shù)的比例大于零，這意味著臨界線上的零點在全部零點的分布中舉足輕重。

之后，美國數(shù)學家萊文森（Levinson）引入了獨特的方法，證明臨界線的零點占全部零點的比例達到了34.74%。

基于萊文森的技巧，美國數(shù)學家康瑞（Conrey）在1989年把比例推進到了40%，這也是迄今為止得到的最好結果。