講解線性二次調(diào)節(jié)器（或LQR）和模型預(yù)測(cè)控制（或MPC）

Apollo自動(dòng)駕駛課程馬上進(jìn)入尾聲，在無(wú)人駕駛技術(shù)控制篇（上）中，具體講解了最常用的控制算法——PID控制器。

本期我們將繼續(xù)介紹和控制相關(guān)的知識(shí)，具體講解線性二次調(diào)節(jié)器（或LQR）和模型預(yù)測(cè)控制（或MPC）。本期也是自動(dòng)駕駛?cè)腴T課程中的最后一個(gè)模塊。希望大家在完成入門課程后，繼續(xù)深入學(xué)習(xí)無(wú)人駕駛技術(shù)，在無(wú)人駕駛領(lǐng)域越走越遠(yuǎn)。學(xué)習(xí)完課程的小伙伴記得做筆記領(lǐng)周邊好禮哦！

第十課，控制（下）

1線性二次調(diào)節(jié)器

線性二次調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator 或LQR）是基于模型的控制器，它使用車輛的狀態(tài)來(lái)使誤差最小化。Apollo使用LQR進(jìn)行橫向控制。橫向控制包含四個(gè)組件：橫向誤差、橫向誤差的變化率、朝向誤差和朝向誤差的變化率。變化率與導(dǎo)數(shù)相同，我們用變量名上面的一個(gè)點(diǎn)來(lái)代表。我們稱這四個(gè)組件的集合為X，這個(gè)集合X捕獲車輛的狀態(tài)。除了狀態(tài)之外，該車有三個(gè)控制輸入：轉(zhuǎn)向、加速和制動(dòng)。我們將這個(gè)控制輸入集合稱為U。

LQR處理線性控制，這種類型的模型可以用等式來(lái)表示（詳見(jiàn)下圖）。x（上方帶點(diǎn)）=Ax+Bu，x（上方帶點(diǎn)）向量是導(dǎo)數(shù)，或X向量的變化率。所以x點(diǎn)的每個(gè)分量只是x對(duì)應(yīng)分量的導(dǎo)數(shù)。等式x點(diǎn)=Ax+Bu，該等式捕捉狀態(tài)里的變化，即x點(diǎn)是如何受當(dāng)前狀態(tài) x 和控制輸入 u 的影響的。

這個(gè)等式是線性的，因?yàn)槲覀冇?x來(lái)改變x時(shí)，并用?u來(lái)改變u。x點(diǎn)的變化也會(huì)讓這個(gè)等式成立（見(jiàn)下圖等式）?，F(xiàn)在我們了解了LQR中的L。

接下來(lái)我們學(xué)習(xí)LQR中的Q。這里的目標(biāo)是為了讓誤差最小化，但我們也希望盡可能少地使用控制輸入。由于使用這些會(huì)有成本，例如：耗費(fèi)氣體或電力。為了盡量減少這些因素，我們可以保持誤差的運(yùn)行總和和控制輸入的運(yùn)行總和。當(dāng)車往右轉(zhuǎn)的特別厲害之際，添加到誤差總和中。當(dāng)控制輸入將汽車往左側(cè)轉(zhuǎn)時(shí)，從控制輸入總和中減去一點(diǎn)。然而，這種方法會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題。因?yàn)橛覀?cè)的正誤差只需將左側(cè)的負(fù)誤差消除即可。對(duì)控制輸入來(lái)說(shuō)也是如此。相反，我們可以讓x和u與自身相乘，這樣負(fù)值也會(huì)產(chǎn)生正平方，我們稱這些為二次項(xiàng)。我們?yōu)檫@些項(xiàng)分配權(quán)重，并將它們加在一起。

最優(yōu)的u應(yīng)該最小化二次項(xiàng)的和隨時(shí)間的積分。在數(shù)學(xué)中我們將這個(gè)積分值稱為成本函數(shù)（形式見(jiàn)下圖）。我們經(jīng)常以緊湊的矩陣形式表示加權(quán)二次項(xiàng)的總和。

這里的Q和R代表x和u的權(quán)重集合。xT和uT是轉(zhuǎn)置矩陣，這意味著它們幾乎與x和u相同，只是重新排列以便矩陣相乘。x乘以xT，u乘以u(píng)T，實(shí)質(zhì)上是將每個(gè)矩陣乘以它自己。最小化成本函數(shù)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，但通常我們可以依靠數(shù)值計(jì)算器為我們找到解決方案。Apollo就提供了一個(gè)這樣的求解方案。在LQR中，控制方法被描述為u=-Kx。其中，K代表一個(gè)復(fù)雜的skeme，代表如何從x計(jì)算出u。所以找到一個(gè)最優(yōu)的u就是找到一個(gè)最優(yōu)的K。許多工具都可以輕松地用來(lái)解決K，尤其當(dāng)你提供了模擬車輛物理特征的A、B，以及x和u的權(quán)重Q、R。

2模型控制預(yù)測(cè)

模型預(yù)測(cè)控制（或MPC）是一種更復(fù)雜的控制器，它非常依賴于數(shù)學(xué)優(yōu)化，但基本上可以將MPC歸結(jié)為三個(gè)步驟：1、建立車輛模型。2、使用優(yōu)化引擎計(jì)算有限時(shí)間范圍內(nèi)的控制輸入。3、執(zhí)行第一組控制輸入。MPC是一個(gè)重復(fù)過(guò)程，它著眼未來(lái)，計(jì)算一系列控制輸入，并優(yōu)化該序列。但控制器實(shí)際上只實(shí)現(xiàn)了序列中的第一組控制輸入，然后控制器再次重復(fù)該循環(huán)。為什么我們不執(zhí)行整個(gè)控制輸入序列呢？那是因?yàn)槲覀冎徊捎昧私茰y(cè)量與計(jì)算。如果實(shí)現(xiàn)了整個(gè)控制輸入序列，實(shí)際產(chǎn)生的車輛狀態(tài)與我們的模型有很大差異，最好在每個(gè)時(shí)間步不斷地重新評(píng)估控制輸入的最優(yōu)序列。

MPC的第一步為定義車輛模型，該模型近似于汽車的物理特性，該模型估計(jì)了假如將一組控制輸入應(yīng)用于車輛時(shí)會(huì)發(fā)生什么。接下來(lái)，我們決定MPC預(yù)測(cè)未來(lái)的能力。預(yù)測(cè)越深入，控制器就越精確，不過(guò)需要的時(shí)間也越長(zhǎng)。所以，我們需要在準(zhǔn)確度與快速獲取結(jié)果之間做出取舍。獲取結(jié)果的速度越快，越能快速地將控制輸入應(yīng)用到實(shí)際車輛中。

下一步是將模型發(fā)送到搜索最佳控制輸入的優(yōu)化引擎。該優(yōu)化引擎的工作原理是通過(guò)搜索密集數(shù)學(xué)空間來(lái)尋求最佳解決方案。為縮小搜索范圍，優(yōu)化引擎依賴于車輛模型的約束條件。

優(yōu)化引擎可間接評(píng)估控制輸入，它通過(guò)使用以下方法對(duì)車輛軌跡進(jìn)行建模：通過(guò)成本函數(shù)對(duì)軌跡進(jìn)行評(píng)估。成本函數(shù)主要基于與目標(biāo)軌跡的偏差；其次，基于其他因素，如加速度和提升旅客舒適度的措施。

為使乘客感覺(jué)更舒適，對(duì)控制輸入的調(diào)整應(yīng)該很小。因?yàn)閯?dòng)作變化幅度過(guò)大會(huì)讓乘客感到不舒服。根據(jù)具體情況，我們可能需要為其考慮進(jìn)一步的成本，并設(shè)計(jì)成本函數(shù)。模型、約束和成本函數(shù)合并在一起，并作為優(yōu)化問(wèn)題加以解決。我們可以在不同的優(yōu)化引擎中，選擇一種來(lái)尋找最佳解決方案。

3總結(jié)

控制實(shí)際上是無(wú)人駕駛汽車實(shí)現(xiàn)自動(dòng)移動(dòng)的方式。在控制中，我們使用轉(zhuǎn)向、加速和制動(dòng)來(lái)運(yùn)行我們的目標(biāo)軌跡。我們研究了幾種不同類型的控制器。PID控制是一種簡(jiǎn)單而強(qiáng)大的控制算法，線性二次調(diào)節(jié)器和模型預(yù)測(cè)控制是另外兩種類型的控制器，它們更復(fù)雜，但也更強(qiáng)大、更準(zhǔn)確。Apollo支持所有這三種控制器，而你也可以選擇最適合自己的控制器！