集合論：現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共同基礎(chǔ)

小編最近發(fā)現(xiàn)，身邊很多學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)的朋友們，都在苦心研究微積分、線性代數(shù)等。一開始還不明所以，直到看到了這篇文章，才明白“不會(huì)數(shù)學(xué)的程序員不是好的數(shù)據(jù)科學(xué)家”。

一、為什么要深入數(shù)學(xué)的世界

作為計(jì)算機(jī)的學(xué)生，我沒(méi)有任何企圖要成為一個(gè)數(shù)學(xué)家。我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的東西看得更深廣一些。說(shuō)起來(lái)，我在剛來(lái)這個(gè)學(xué)校的時(shí)候，并沒(méi)有預(yù)料到我將會(huì)有一個(gè)深入數(shù)學(xué)的旅程。我的導(dǎo)師最初希望我去做的題目，是對(duì)appearance和motion建立一個(gè)unified的model。這個(gè)題目在當(dāng)今Computer Vision中百花齊放的世界中并沒(méi)有任何特別的地方。事實(shí)上，使用各種Graphical Model把各種東西聯(lián)合在一起framework，在近年的論文中并不少見。

我不否認(rèn)現(xiàn)在廣泛流行的Graphical Model是對(duì)復(fù)雜現(xiàn)象建模的有力工具，但是，我認(rèn)為它不是panacea，并不能取代對(duì)于所研究的問(wèn)題的深入的鉆研。如果統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)包治百病，那么很多“下游”的學(xué)科也就沒(méi)有存在的必要了。事實(shí)上，開始的時(shí)候，我也是和Vision中很多人一樣，想著去做一個(gè)Graphical Model——我的導(dǎo)師指出，這樣的做法只是重復(fù)一些標(biāo)準(zhǔn)的流程，并沒(méi)有很大的價(jià)值。經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間的反復(fù)，另外一個(gè)路徑慢慢被確立下來(lái)——我們相信，一個(gè)圖像是通過(guò)大量“原子”的某種空間分布構(gòu)成的，原子群的運(yùn)動(dòng)形成了動(dòng)態(tài)的可視過(guò)程。微觀意義下的單個(gè)原子運(yùn)動(dòng)，和宏觀意義下的整體分布的變換存在著深刻的聯(lián)系——這需要我們?nèi)グl(fā)掘。

在深入探索這個(gè)題目的過(guò)程中，遇到了很多很多的問(wèn)題，如何描述一個(gè)一般的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，如何建立一個(gè)穩(wěn)定并且廣泛適用的原子表達(dá)，如何刻畫微觀運(yùn)動(dòng)和宏觀分布變換的聯(lián)系，還有很多。在這個(gè)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)事情：

我原有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能適應(yīng)我對(duì)這些問(wèn)題的深入研究。

在數(shù)學(xué)中，有很多思想和工具，是非常適合解決這些問(wèn)題的，只是沒(méi)有被很多的應(yīng)用科學(xué)的研究者重視。

于是，我決心開始深入數(shù)學(xué)這個(gè)浩瀚大海，希望在我再次走出來(lái)的時(shí)候，我已經(jīng)有了更強(qiáng)大的武器去面對(duì)這些問(wèn)題的挑戰(zhàn)。我的游歷并沒(méi)有結(jié)束，我的視野相比于這個(gè)博大精深的世界的依舊顯得非常狹窄。在這里，我只是說(shuō)說(shuō)，在我的眼中，數(shù)學(xué)如何一步步從初級(jí)向高級(jí)發(fā)展，更高級(jí)別的數(shù)學(xué)對(duì)于具體應(yīng)用究竟有何好處。

二、集合論：現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共同基礎(chǔ)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)有數(shù)不清的分支，但是，它們都有一個(gè)共同的基礎(chǔ)——集合論——因?yàn)樗?，?shù)學(xué)這個(gè)龐大的家族有個(gè)共同的語(yǔ)言。集合論中有一些最基本的概念：集合(set)，關(guān)系(relation)，函數(shù)(function)，等價(jià)(equivalence)，是在其它數(shù)學(xué)分支的語(yǔ)言中幾乎必然存在的。對(duì)于這些簡(jiǎn)單概念的理解，是進(jìn)一步學(xué)些別的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。我相信，理工科大學(xué)生對(duì)于這些都不會(huì)陌生。

不過(guò)，有一個(gè)很重要的東西就不見得那么家喻戶曉了——那就是“選擇公理”(Axiom of Choice)。這個(gè)公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以從每個(gè)集合中各拿出一個(gè)元素?！薄坪跏秋@然得不能再顯然的命題。不過(guò)，這個(gè)貌似平常的公理卻能演繹出一些比較奇怪的結(jié)論，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一個(gè)球，能分成五個(gè)部分，對(duì)它們進(jìn)行一系列剛性變換（平移旋轉(zhuǎn)）后，能組合成兩個(gè)一樣大小的球”。

正因?yàn)檫@些完全有悖常識(shí)的結(jié)論，導(dǎo)致數(shù)學(xué)界曾經(jīng)在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間里對(duì)于是否接受它有著激烈爭(zhēng)論?，F(xiàn)在，主流數(shù)學(xué)家對(duì)于它應(yīng)該是基本接受的，因?yàn)楹芏鄶?shù)學(xué)分支的重要定理都依賴于它。在我們后面要回說(shuō)到的學(xué)科里面，下面的定理依賴于選擇公理：

拓?fù)鋵W(xué)：Baire Category Theorem

實(shí)分析（測(cè)度理論）：Lebesgue 不可測(cè)集的存在性

泛函分析四個(gè)主要定理：Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem

在集合論的基礎(chǔ)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)有兩大家族：分析(Analysis)和代數(shù)(Algebra)。至于其它的，比如幾何和概率論，在古典數(shù)學(xué)時(shí)代，它們是和代數(shù)并列的，但是它們的現(xiàn)代版本則基本是建立在分析或者代數(shù)的基礎(chǔ)上，因此從現(xiàn)代意義說(shuō)，它們和分析與代數(shù)并不是平行的關(guān)系。

三、分析：在極限基礎(chǔ)上建立的宏偉大廈

3.1微積分：分析的古典時(shí)代--從牛頓到柯西

先說(shuō)說(shuō)分析(Analysis)吧，它是從微積分(Caculus)發(fā)展起來(lái)的——這也是有些微積分教材名字叫“數(shù)學(xué)分析”的原因。不過(guò)，分析的范疇遠(yuǎn)不只是這些，我們?cè)诖髮W(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)的微積分只能算是對(duì)古典分析的入門。分析研究的對(duì)象很多，包括導(dǎo)數(shù)(derivatives)，積分(integral)，微分方程(differential equation)，還有級(jí)數(shù)(infinite series)——這些基本的概念，在初等的微積分里面都有介紹。如果說(shuō)有一個(gè)思想貫穿其中，那就是極限——這是整個(gè)分析（不僅僅是微積分）的靈魂。

一個(gè)很多人都聽說(shuō)過(guò)的故事，就是牛頓(Newton)和萊布尼茨 (Leibniz)關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論。事實(shí)上，在他們的時(shí)代，很多微積分的工具開始運(yùn)用在科學(xué)和工程之中，但是，微積分的基礎(chǔ)并沒(méi)有真正建立。

那個(gè)長(zhǎng)時(shí)間一直解釋不清楚的“無(wú)窮小量”的幽靈，困擾了數(shù)學(xué)界一百多年的時(shí)間——這就是“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。直到柯西用極限的觀點(diǎn)重新建立了微積分的基本概念，這門學(xué)科才開始有了一個(gè)比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。直到今天，整個(gè)分析的大廈還是建立在極限的基石之上。數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事

柯西(Cauchy)為分析的發(fā)展提供了一種嚴(yán)密的語(yǔ)言，但是他并沒(méi)有解決微積分的全部問(wèn)題。在19世紀(jì)的時(shí)候，分析的世界仍然有著一些揮之不去的烏云。而其中最重要的一個(gè)沒(méi)有解決的是“函數(shù)是否可積的問(wèn)題”。

我們?cè)诂F(xiàn)在的微積分課本中學(xué)到的那種通過(guò)“無(wú)限分割區(qū)間，取矩陣面積和的極限”的積分，是大約在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼積分。但是，什么函數(shù)存在黎曼積分呢（黎曼可積）？數(shù)學(xué)家們很早就證明了，定義在閉區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)是黎曼可積的?？墒?，這樣的結(jié)果并不令人滿意，工程師們需要對(duì)分段連續(xù)函數(shù)的函數(shù)積分。

3.2實(shí)分析：在實(shí)數(shù)理論和測(cè)度理論上建立起現(xiàn)代分析

在19世紀(jì)中后期，不連續(xù)函數(shù)的可積性問(wèn)題一直是分析的重要課題。對(duì)于定義在閉區(qū)間上的黎曼積分的研究發(fā)現(xiàn)，可積性的關(guān)鍵在于“不連續(xù)的點(diǎn)足夠少”。只有有限處不連續(xù)的函數(shù)是可積的，可是很多有數(shù)學(xué)家們構(gòu)造出很多在無(wú)限處不連續(xù)的可積函數(shù)。顯然，在衡量點(diǎn)集大小的時(shí)候，有限和無(wú)限并不是一種合適的標(biāo)準(zhǔn)。

在探討“點(diǎn)集大小”這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)軸——這個(gè)他們?cè)?jīng)以為已經(jīng)充分理解的東西——有著許多他們沒(méi)有想到的特性。在極限思想的支持下，實(shí)數(shù)理論在這個(gè)時(shí)候被建立起來(lái)，它的標(biāo)志是對(duì)實(shí)數(shù)完備性進(jìn)行刻畫的幾條等價(jià)的定理（確界定理，區(qū)間套定理，柯西收斂定理，Bolzano-Weierstrass Theorem和Heine-Borel Theorem等等）——這些定理明確表達(dá)出實(shí)數(shù)和有理數(shù)的根本區(qū)別：完備性（很不嚴(yán)格的說(shuō)，就是對(duì)極限運(yùn)算封閉）。

隨著對(duì)實(shí)數(shù)認(rèn)識(shí)的深入，如何測(cè)量“點(diǎn)集大小”的問(wèn)題也取得了突破，勒貝格創(chuàng)造性地把關(guān)于集合的代數(shù)，和Outer content（就是“外測(cè)度”的一個(gè)雛形）的概念結(jié)合起來(lái)，建立了測(cè)度理(Measure Theory)，并且進(jìn)一步建立了以測(cè)度為基礎(chǔ)的積分——勒貝(Lebesgue Integral)。在這個(gè)新的積分概念的支持下，可積性問(wèn)題變得一目了然。

上面說(shuō)到的實(shí)數(shù)理論，測(cè)度理論和勒貝格積分，構(gòu)成了我們現(xiàn)在稱為實(shí)分析(Real Analysis)的數(shù)學(xué)分支，有些書也叫實(shí)變函數(shù)論。對(duì)于應(yīng)用科學(xué)來(lái)說(shuō)，實(shí)分析似乎沒(méi)有古典微積分那么“實(shí)用”——很難直接基于它得到什么算法。而且， 它要解決的某些“難題”——比如處處不連續(xù)的函數(shù)，或者處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)——在工程師的眼中，并不現(xiàn)實(shí)。

但是，我認(rèn)為，它并不是一種純數(shù)學(xué)概念游戲，它的現(xiàn)實(shí)意義在于為許多現(xiàn)代的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。下面，我僅僅列舉幾條它的用處：

黎曼可積的函數(shù)空間不是完備的，但是勒貝格可積的函數(shù)空間是完備的。簡(jiǎn)單的說(shuō)，一個(gè)黎曼可積的函數(shù)列收斂到的那個(gè)函數(shù)不一定是黎曼可積的，但是勒貝格可積的函數(shù)列必定收斂到一個(gè)勒貝格可積的函數(shù)。在泛函分析，還有逼近理論中，經(jīng) 常需要討論“函數(shù)的極限”，或者“函數(shù)的級(jí)數(shù)”，如果用黎曼積分的概念，這種討論幾乎不可想像。我們有時(shí)看一些paper中提到L^p函數(shù)空間，就是基于勒貝格積分。

勒貝格積分是傅立葉變換（這東西在工程中到處都是）的基礎(chǔ)。很多關(guān)于信號(hào)處理的初等教材，可能繞過(guò)了勒貝格積分，直接講點(diǎn)面對(duì)實(shí)用的東西而不談它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但是，對(duì)于深層次的研究問(wèn)題——特別是希望在理論中能做一些工作——這并不是總能繞過(guò)去。

在下面，我們還會(huì)看到，測(cè)度理論是現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。

3.2.1現(xiàn)在概率論：在現(xiàn)代分析基礎(chǔ)上再生

自從Kolmogorov在上世紀(jì)30年代把測(cè)度引入概率論以來(lái)，測(cè)度理論就成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。在這里，概率定義為測(cè)度，隨機(jī)變量定義為可測(cè)函數(shù)，條件隨機(jī)變量定義為可測(cè)函數(shù)在某個(gè)函數(shù)空間的投影，均值則是可測(cè)函數(shù)對(duì)于概率測(cè)度的積分。值得注意的是，很多的現(xiàn)代觀點(diǎn)，開始以泛函分析的思路看待概率論的基礎(chǔ)概念，隨機(jī)變量構(gòu)成了一個(gè)向量空間，而帶符號(hào)概率測(cè)度則構(gòu)成了它的對(duì)偶空間，其中一方施加于對(duì)方就形成均值。角度雖然不一樣，不過(guò)這兩種方式殊途同 歸，形成的基礎(chǔ)是等價(jià)的。

在現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)上，許多傳統(tǒng)的分支得到了極大豐富，最有代表性的包括鞅論(Martingale)——由研究賭博引發(fā)的理論，現(xiàn)在主要用于金融（這里可以看出賭博和金融的理論聯(lián)系，:-P），布朗運(yùn)動(dòng)(Brownian Motion)——連續(xù)隨機(jī)過(guò)程的基礎(chǔ)，以及在此基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)分析(Stochastic Calculus)，包括隨機(jī)積分（對(duì)隨機(jī)過(guò)程的路徑進(jìn)行積分，其中比較有代表性的叫伊藤積分(Ito Integral)），和隨機(jī)微分方程。對(duì)于連續(xù)幾何運(yùn)用建立概率模型以及對(duì)分布的變換的研究離不開這些方面的知識(shí)。

3.3拓?fù)鋵W(xué)：分析從實(shí)數(shù)軸推廣到一般空間--現(xiàn)代分析的抽象基礎(chǔ)

隨著實(shí)數(shù)理論的建立，大家開始把極限和連續(xù)推廣到更一般的地方的分析。事實(shí)上，很多基于實(shí)數(shù)的概念和定理并不是實(shí)數(shù)特有的。很多特性可以抽象出來(lái)，推廣到更一般的空間里面。對(duì)于實(shí)數(shù)軸的推廣，促成了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)(Point- set Topology)的建立。很多原來(lái)只存在于實(shí)數(shù)中的概念，被提取出來(lái)，進(jìn)行一般性的討論。在拓?fù)鋵W(xué)里面，有4個(gè)C構(gòu)成了它的核心：

Closed set 閉集

在現(xiàn)代的拓?fù)鋵W(xué)的公理化體系中，開集和閉集是最基本的概念。一切從此引申。這兩個(gè)概念是開區(qū)間和閉區(qū)間的推廣，它們的根本地位，并不是一開始就被認(rèn)識(shí)到的。經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，人們才認(rèn)識(shí)到：開集的概念是連續(xù)性的基礎(chǔ)，而閉集對(duì)極限運(yùn)算封閉——而極限正是分析的根基。

Continuous function 連續(xù)函數(shù)

連續(xù)函數(shù)在微積分里面有個(gè)用epsilon-delta語(yǔ)言給出的定義，在拓?fù)鋵W(xué)中它的定義是“開集的原像是開集的函數(shù)”。第二個(gè)定義和第一個(gè)是等價(jià)的，只是用更抽象的語(yǔ)言進(jìn)行了改寫。我個(gè)人認(rèn)為，它的第三個(gè)（等價(jià)）定義才從根本上揭示連續(xù)函數(shù)的本質(zhì)——“連續(xù)函數(shù)是保持極限運(yùn)算的函數(shù)” ——比如y是數(shù)列x1, x2, x3, … 的極限， 那么如果 f 是連續(xù)函數(shù)，那么 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的極限。

連續(xù)函數(shù)的重要性，可以從別的分支學(xué)科中進(jìn)行類比。比如群論中，基礎(chǔ)的運(yùn)算是“乘法”，對(duì)于群，最重要的映射叫“同態(tài)映射”——保持“乘法”的映射。在分析中，基礎(chǔ)運(yùn)算是“極限”，因此連續(xù)函數(shù)在分析中的地位，和同態(tài)映射在代數(shù)中的地位是相當(dāng)?shù)摹?/p>

Connected set 連通集

比它略為窄一點(diǎn)的概念叫(Path connected)，就是集合中任意兩點(diǎn)都存在連續(xù)路徑相連——可能是一般人理解的概念。一般意義下的連通概念稍微抽象一些。在我看來(lái)，連通性有兩個(gè)重要的用場(chǎng)：一個(gè)是用于證明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，還有就是代數(shù)拓?fù)?，拓?fù)淙赫摵屠钊赫撝杏懻摳救?Fundamental Group)的階。

Compact set 緊集

Compactness似乎在初等微積分里面沒(méi)有專門出現(xiàn)，不過(guò)有幾條實(shí)數(shù)上的定理和它其實(shí)是有關(guān)系的。比如，“有界數(shù)列必然存在收斂子列”——用compactness的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是——“實(shí)數(shù)空間中有界閉集是緊的”。它在拓?fù)鋵W(xué)中的一般定義是一個(gè)聽上去比較抽象的東西——“緊集的任意開覆蓋存在有限子覆蓋”。這個(gè)定義在討論拓?fù)鋵W(xué)的定理時(shí)很方便，它在很多時(shí)候能幫助實(shí)現(xiàn)從無(wú)限到有限的轉(zhuǎn)換。對(duì)于分析來(lái)說(shuō)，用得更多的是它的另一種形式 ——“緊集中的數(shù)列必存在收斂子列”——它體現(xiàn)了分析中最重要的“極限”。Compactness在現(xiàn)代分析中運(yùn)用極廣，無(wú)法盡述。微積分中的兩個(gè)重要定 理：極值定理(Extreme Value Theory)，和一致收斂定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推廣到一般的形式。

從某種意義上說(shuō)，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)可以看成是關(guān)于“極限”的一般理論，它抽象于實(shí)數(shù)理論，它的概念成為幾乎所有現(xiàn)代分析學(xué)科的通用語(yǔ)言，也是整個(gè)現(xiàn)代分析的根基所在。

3.4微分幾何：流形上的分析——在拓?fù)淇臻g上引入微分結(jié)構(gòu)

拓?fù)鋵W(xué)把極限的概念推廣到一般的拓?fù)淇臻g，但這不是故事的結(jié)束，而僅僅是開始。在微積分里面，極限之后我們有微分，求導(dǎo)，積分。這些東西也可以推廣到拓?fù)淇臻g，在拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)——這就是微分幾何。

從教學(xué)上說(shuō)，微分幾何的教材，有兩種不同的類型，一種是建立在古典微機(jī)分的基礎(chǔ)上的“古典微分幾何”，主要是關(guān)于二維和三維空間中的一些幾何量的計(jì)算，比如曲率。還有一種是建立在現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上，這里姑且稱為“現(xiàn)代微分幾何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是在拓?fù)淇臻g的基礎(chǔ)上加了一套可以進(jìn)行微分運(yùn)算的結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)代微分幾何是一門非常豐富的學(xué)科。比如一般流形上的微分的定義就比傳統(tǒng)的微分豐富，我自己就見過(guò)三種從不同角度給出的等價(jià)定義——這一方面讓事情變得復(fù)雜一些，但是另外一個(gè)方面它給了同一個(gè)概念的不同理解，往往在解決問(wèn)題時(shí)會(huì)引出不同的思路。除了推廣微積分的概念以外，還引入了很多新概念：tangent space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion 等等。

近些年，流形在machine learning似乎相當(dāng)時(shí)髦。但是，坦率地說(shuō)，要弄懂一些基本的流形算法， 甚至“創(chuàng)造”一些流形算法，并不需要多少微分幾何的基礎(chǔ)。對(duì)我的研究來(lái)說(shuō)，微分幾何最重要的應(yīng)用就是建立在它之上的另外一個(gè)分支：李群和李代數(shù)——這是數(shù)學(xué)中兩大家族分析和代數(shù)的一個(gè)漂亮的聯(lián)姻。分析和代數(shù)的另外一處重要的結(jié)合則是泛函分析，以及在其基礎(chǔ)上的調(diào)和分析。

四、代數(shù)：一個(gè)抽象的世界

回過(guò)頭來(lái)，再說(shuō)說(shuō)另一個(gè)大家族——代數(shù)。

如果說(shuō)古典微積分是分析的入門，那么現(xiàn)代代數(shù)的入門點(diǎn)則是兩個(gè)部分：線性代數(shù)(linear algebra)和基礎(chǔ)的抽象代數(shù)(abstract algebra)——據(jù)說(shuō)國(guó)內(nèi)一些教材稱之為近世代數(shù)。

代數(shù)——名稱上研究的似乎是數(shù)，在我看來(lái)，主要研究的是運(yùn)算規(guī)則。一門代數(shù)， 其實(shí)都是從某種具體的運(yùn)算體系中抽象出一些基本規(guī)則，建立一個(gè)公理體系，然后在這基礎(chǔ)上進(jìn)行研究。一個(gè)集合再加上一套運(yùn)算規(guī)則，就構(gòu)成一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。

在主要的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，最簡(jiǎn)單的是群(Group)——它只有一種符合結(jié)合率的可逆運(yùn)算，通常叫“乘法”。如果，這種運(yùn)算也符合交換率，那么就叫阿貝爾群 (Abelian Group)。如果有兩種運(yùn)算，一種叫加法，滿足交換率和結(jié)合率，一種叫乘法，滿足結(jié)合率，它們之間滿足分配率，這種豐富一點(diǎn)的結(jié)構(gòu)叫做環(huán)(Ring)， 如果環(huán)上的乘法滿足交換率，就叫可交換環(huán)(Commutative Ring)。如果，一個(gè)環(huán)的加法和乘法具有了所有的良好性質(zhì)，那么就成為一個(gè)域(Field)?；谟?，我們可以建立一種新的結(jié)構(gòu)，能進(jìn)行加法和數(shù)乘，就構(gòu)成了線性代數(shù)(Linear algebra)。數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事

代數(shù)的好處在于，它只關(guān)心運(yùn)算規(guī)則的演繹，而不管參與運(yùn)算的對(duì)象。只要定義恰當(dāng)，完全可以讓一只貓乘一只狗得到一頭豬:-)?；诔橄筮\(yùn)算規(guī)則得到的所有定理完全可以運(yùn)用于上面說(shuō)的貓狗乘法。當(dāng)然，在實(shí)際運(yùn)用中，我們還是希望用它 干點(diǎn)有意義的事情。學(xué)過(guò)抽象代數(shù)的都知道，基于幾條最簡(jiǎn)單的規(guī)則，比如結(jié)合律，就能導(dǎo)出非常多的重要結(jié)論——這些結(jié)論可以應(yīng)用到一切滿足這些簡(jiǎn)單規(guī)則的地 方——這是代數(shù)的威力所在，我們不再需要為每一個(gè)具體領(lǐng)域重新建立這么多的定理。

4.1關(guān)于抽象代數(shù)

抽象代數(shù)有在一些基礎(chǔ)定理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步的研究往往分為兩個(gè)流派：研究有限的離散代數(shù)結(jié)構(gòu)（比如有限群和有限域），這部分內(nèi)容通常用于數(shù)論，編碼，和整數(shù)方程這些地方；另外一個(gè)流派是研究連續(xù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，通常和拓?fù)渑c分析聯(lián)系在 一起（比如拓?fù)淙海钊海?。我在學(xué)習(xí)中的focus主要是后者。

4.2線性代數(shù)：“線性”的基礎(chǔ)地位

對(duì)于做Learning, vision, optimization或者statistics的人來(lái)說(shuō)，接觸最多的莫過(guò)于線性代數(shù)——這也是我們?cè)诖髮W(xué)低年級(jí)就開始學(xué)習(xí)的。線性代數(shù)，包括建立在它基礎(chǔ)上的各種學(xué)科，最核心的兩個(gè)概念是向量空間和線性變換。線性變換在線性代數(shù)中的地位，和連續(xù)函數(shù)在分析中的地位，或者同態(tài)映射在群論中的地位是一樣的 ——它是保持基礎(chǔ)運(yùn)算（加法和數(shù)乘）的映射。

在learning中有這樣的一種傾向——鄙視線性算法，標(biāo)榜非線性。也許在很多場(chǎng)合下面，我們需要非線性來(lái)描述復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界，但是無(wú)論什么時(shí)候，線性都是具有根本地位的。沒(méi)有線性的基礎(chǔ)，就不可能存在所謂的非線性推廣。我們常用的非線性化的方法包括流形和kernelization，這兩者都需要在某個(gè)階段回歸線性。流形需要在每個(gè)局部建立和線性空間的映射，通過(guò)把許多局部線性空間連接起來(lái)形成非線性；而kernerlization則是通過(guò)置換內(nèi)積結(jié)構(gòu)把原線性空間“非線性”地映射到另外一個(gè)線性空間，再進(jìn)行線性空間中所能 進(jìn)行的操作。而在分析領(lǐng)域，線性的運(yùn)算更是無(wú)處不在，微分，積分，傅立葉變換，拉普拉斯變換，還有統(tǒng)計(jì)中的均值，通通都是線性的。

4.2.1泛函分析：從有限維向無(wú)限維邁進(jìn)

在大學(xué)中學(xué)習(xí)的線性代數(shù)，它的簡(jiǎn)單主要因?yàn)樗窃谟邢蘧S空間進(jìn)行的，因?yàn)橛邢蓿覀儫o(wú)須借助于太多的分析手段。但是，有限維空間并不能有效地表達(dá)我們的世界——最重要的，函數(shù)構(gòu)成了線性空間，可是它是無(wú)限維的。對(duì)函數(shù)進(jìn)行的最重要的運(yùn)算都在無(wú)限維空間進(jìn)行，比如傅立葉變換和小波分析。這表明了，為了研究函數(shù)（或者說(shuō)連續(xù)信號(hào)），我們需要打破有限維空間的束縛，走入無(wú)限維的函數(shù)空間——這里面的第一步，就是泛函分析。

泛函分析(Functional Analysis)是研究的是一般的線性空間，包括有限維和無(wú)限維，但是很多東西在有限維下顯得很trivial，真正的困難往往在無(wú)限維的時(shí)候出現(xiàn)。在泛函分析中，空間中的元素還是叫向量，但是線性變換通常會(huì)叫作“算子”(operator)。除了加法和數(shù)乘，這里進(jìn)一步加入了一些運(yùn)算，比如加入范數(shù)去表達(dá)“向量的長(zhǎng)度”或者“元素的距離”，這樣的空間叫做“賦范線性空間”(normed space)，再進(jìn)一步的，可以加入內(nèi)積運(yùn)算，這樣的空間叫“內(nèi)積空間”(Inner product space)。

大家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)進(jìn)入無(wú)限維的時(shí)間時(shí)，很多老的觀念不再適用了，一切都需要重新審視。

1、所有的有限維空間都是完備的（柯西序列收斂），很多無(wú)限維空間卻是不完備的（比如閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)）。在這里，完備的空間有特殊的名稱：完備的賦范空間叫巴拿赫空間(Banach space)，完備的內(nèi)積空間叫希爾伯特空間(Hilbert space)。

2、在有限維空間中空間和它的對(duì)偶空間的是完全同構(gòu)的，而在無(wú)限維空間中，它們存在微妙的差別。

3、在有限維空間中，所有線性變換（矩陣）都是有界變換，而在無(wú)限維，很多算子是無(wú)界的(unbounded)，最重要的一個(gè)例子是給函數(shù)求導(dǎo)。

4、在有限維空間中，一切有界閉集都是緊的，比如單位球。而在所有的無(wú)限維空間中，單位球都不是緊的——也就是說(shuō)，可以在單位球內(nèi)撒入無(wú)限個(gè)點(diǎn)，而不出現(xiàn)一個(gè)極限點(diǎn)。

5、在有限維空間中，線性變換（矩陣）的譜相當(dāng)于全部的特征值，在無(wú)限維空間 中，算子的譜的結(jié)構(gòu)比這個(gè)復(fù)雜得多，除了特征值組成的點(diǎn)譜(point spectrum)，還有approximate point spectrum和residual spectrum。雖然復(fù)雜，但是，也更為有趣。由此形成了一個(gè)相當(dāng)豐富的分支——算子譜論(Spectrum theory)。

6、在有限維空間中，任何一點(diǎn)對(duì)任何一個(gè)子空間總存在投影，而在無(wú)限維空間中， 這就不一定了，具有這種良好特性的子空間有個(gè)專門的名稱切比雪夫空間(Chebyshev space)。這個(gè)概念是現(xiàn)代逼近理論的基礎(chǔ)(approximation theory)。函數(shù)空間的逼近理論在Learning中應(yīng)該有著非常重要的作用，但是現(xiàn)在看到的運(yùn)用現(xiàn)代逼近理論的文章并不多。

4.2.2繼續(xù)往前：巴拿赫代數(shù)，調(diào)和分析，李代數(shù)

基本的泛函分析繼續(xù)往前走，有兩個(gè)重要的方向。第一個(gè)是巴拿赫代數(shù)(Banach Algebra)，它就是在巴拿赫空間（完備的內(nèi)積空間）的基礎(chǔ)上引入乘法（這不同于數(shù)乘）。比如矩陣——它除了加法和數(shù)乘，還能做乘法——這就構(gòu)成了一 個(gè)巴拿赫代數(shù)。除此以外，值域完備的有界算子，平方可積函數(shù)，都能構(gòu)成巴拿赫代數(shù)。巴拿赫代數(shù)是泛函分析的抽象，很多對(duì)于有界算子導(dǎo)出的結(jié)論，還有算子譜 論中的許多定理，它們不僅僅對(duì)算子適用，它們其實(shí)可以從一般的巴拿赫代數(shù)中得到，并且應(yīng)用在算子以外的地方。

巴拿赫代數(shù)讓你站在更高的高度看待泛函分析中 的結(jié)論，但是，我對(duì)它在實(shí)際問(wèn)題中能比泛函分析能多帶來(lái)什么東西還有待思考。

最能把泛函分析和實(shí)際問(wèn)題在一起的另一個(gè)重要方向是調(diào)和分析(Harmonic Analysis)。我在這里列舉它的兩個(gè)個(gè)子領(lǐng)域，傅立葉分析和小波分析，我想這已經(jīng)能說(shuō)明它的實(shí)際價(jià)值。它研究的最核心的問(wèn)題就是怎么用基函數(shù)去逼近和構(gòu)造一個(gè)函數(shù)。它研究的是函數(shù)空間的問(wèn)題，不可避免的必須以泛函分析為基礎(chǔ)。除了傅立葉和小波，調(diào)和分析還研究一些很有用的函數(shù)空間，比如Hardy space，Sobolev space，這些空間有很多很好的性質(zhì)，在工程中和物理學(xué)中都有很重要的應(yīng)用。對(duì)于vision來(lái)說(shuō)，調(diào)和分析在信號(hào)的表達(dá)，圖像的構(gòu)造，都是非常有用的工具。

五、分析與代數(shù)的結(jié)合

當(dāng)分析和線性代數(shù)走在一起，產(chǎn)生了泛函分析和調(diào)和分析；當(dāng)分析和群論走在一 起，我們就有了李群(Lie Group)和李代數(shù)(Lie Algebra)。它們給連續(xù)群上的元素賦予了代數(shù)結(jié)構(gòu)。我一直認(rèn)為這是一門非常漂亮的數(shù)學(xué)：在一個(gè)體系中，拓?fù)?，微分和代?shù)走到了一起。

在一定條件下，通過(guò)李群和李代數(shù)的聯(lián)系，它讓幾何變換的結(jié)合變成了線性運(yùn)算，讓子群化為線性子空間，這樣就為L(zhǎng)earning中許多重要的模型和算法的引入到對(duì)幾何運(yùn)動(dòng)的建模創(chuàng)造了必要的條件。因此，我們相信李群和李代數(shù)對(duì)于vision有著重要意義，只不過(guò)學(xué)習(xí)它的道路可能會(huì)很艱辛，在它之前需要學(xué)習(xí)很多別的數(shù)學(xué)。