連續(xù)時(shí)間信號的重建分析概述

今天，來看一看連續(xù)時(shí)間信號的重建（或者稱為信號的恢復(fù)）。首先呢，來嘮一嘮，“重建”或者稱為“恢復(fù)”是何意？不知道大家如何想的，反正我在當(dāng)學(xué)生學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，我的感覺是，好不容易采樣了，為啥又去恢復(fù)？這不吃飽了撐的嗎？

其實(shí)呢，我們可以從兩方面來理解信號重建的意義：一方面，從理論分析的層面來說，我們可以通過信號的重建，來證明抽取后的離散樣值，確實(shí)能代表原來連續(xù)時(shí)間信號的全部信息。第二個(gè)，在實(shí)際應(yīng)用的層面，如下圖所示，是一般的數(shù)字信號處理系統(tǒng)框圖，中間的“通用/專用計(jì)算機(jī)”來完成對數(shù)字信號的處理。它的前面（紅色框框），需要把模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，它的后面（黃色框框），又需要把處理后的數(shù)字信號，轉(zhuǎn)換為模擬信號。可以說，我們信號與系統(tǒng)中所學(xué)的“時(shí)域抽樣”，對應(yīng)AD轉(zhuǎn)換的理想模型；而“信號的重建（恢復(fù)）”對應(yīng)DA轉(zhuǎn)換的理想模型。

圖0

本文不涉及實(shí)際數(shù)字信號處理中的ADC和DAC，關(guān)于這部分內(nèi)容，感興趣的同學(xué)可以參考本公眾號以前發(fā)過的文章，鏈接如下：

數(shù)字信號處理中的采樣與信號重建

本文主要討論三種時(shí)域采樣模型對應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號的重建問題。

總體思路：如前文所述，不管哪種模型，采樣后信號的頻譜，都是原來連續(xù)時(shí)間信號頻譜的周期延拓，在滿足采樣定理要求的前提下，頻域的周期延拓就不會(huì)混疊，這樣，只要通過合適的低通濾波器，把周期延拓后其他的頻譜都濾除，只保留w=0附近的這部分頻譜，并且要使得這部分頻譜與原來的連續(xù)時(shí)間信號的頻譜完全相同，就可以恢復(fù)原始的連續(xù)時(shí)間信號了。

第一種，理想沖激串采樣

連續(xù)時(shí)間信號的頻譜和經(jīng)過理想沖激串采樣后信號的頻譜如下圖所示。因此，只要把抽樣信號通過理想低通濾波器，理想低通濾波器通帶的增益為常數(shù)T（正好抵消抽樣信號頻譜周期延拓時(shí)的系數(shù)1/T），并且理想低通濾波器的截止頻率wc正好位于wm和ws-wm之間，也就是使得w=0附近的這部分頻譜完全通過，而其他的頻譜完全濾除掉，就可以了。

圖1

第二種，脈沖串采樣（曲頂采樣）

如圖2所示，看抽樣信號的頻譜Xs(jw)這個(gè)公式，看似復(fù)雜，其實(shí)不然你，把這個(gè)求和形式展開寫，發(fā)現(xiàn)每個(gè)周期延拓的頻譜前面乘的這個(gè)系數(shù)，看上去像個(gè)sinc函數(shù)，但實(shí)際上，僅僅是sinc函數(shù)在延拓的這個(gè)位置處的取值（是個(gè)常數(shù)）而已。w=0位置處的這個(gè)系數(shù)，是τ/T，所以理想低通濾波器的通帶增益，只要把這個(gè)系數(shù)τ/T抵消掉，也就是T/τ，就可以了。這樣就很容易得到用于信號重建的理想低通濾波器的頻率響應(yīng)H(jw)的表達(dá)式。與圖1相比，僅僅是T變成了T/τ而已。

圖2

第三種，脈沖串采樣（平頂采樣）

平頂抽樣的情況稍顯復(fù)雜，用于重建的濾波器，依然是低通濾波器，但它的頻率響應(yīng)函數(shù)，就不能再是一個(gè)常數(shù)，而是要把周期延拓時(shí)所乘的sinc函數(shù)抵消掉，所以，重建的低通濾波器的通帶增益是把sinc函數(shù)放在分母上，如圖3中的公式所示。