邊界元法的功能、案例與相關(guān)的后處理技巧

COMSOL Multiphysics? 軟件“聲學(xué)模塊”中的基于邊界元方法（boundary element method，簡(jiǎn)稱 BEM）建模物理場(chǎng)接口可以和基于有限元方法（finite element method，簡(jiǎn)稱 FEM）的接口無(wú)縫耦合，從而對(duì)聲-結(jié)構(gòu)相互作用等問(wèn)題進(jìn)行建模。本文介紹了邊界元法的功能、案例與相關(guān)的后處理技巧。

基于邊界元方法進(jìn)行聲學(xué)建模優(yōu)勢(shì)

“聲學(xué)模塊”的壓力聲學(xué)，邊界元 接口提供了 BEM 功能。該接口適用于求解每個(gè)域內(nèi)的材料屬性均為恒定值的二維和三維聲學(xué)問(wèn)題。通過(guò)采用復(fù)值材料屬性，用戶可以在流體模型中引入損耗。此外，邊界元接口還可以進(jìn)行散射場(chǎng)仿真，也就是說(shuō)它能夠處理散射問(wèn)題（見下圖）。借助新的邊界元法，用戶能夠求解以前不支持的問(wèn)題類型，下文將進(jìn)行詳述。

球形散射體的經(jīng)典 BEM 基準(zhǔn)模型，圖片比較了模型結(jié)果與解析解。上圖顯示 500 Hz 頻率下兩個(gè)截面的聲壓級(jí)，下方的對(duì)比圖顯示了 1400 Hz 頻率下的散射場(chǎng)。圖片來(lái)自球形散射體：BEM 基準(zhǔn)教學(xué)模型。

將基于 BEM 和 FEM 的接口相互耦合是軟件的一項(xiàng)重要功能。例如，利用聲-結(jié)構(gòu)邊界 多物理場(chǎng)耦合將聲學(xué) BEM 接口與基于 FEM 的振動(dòng)結(jié)構(gòu)相互耦合；通過(guò)聲學(xué) BEM-FEM 邊界 多物理場(chǎng)耦合使 BEM 和 FEM 聲學(xué)域相結(jié)合。

出色的靈活性使得用戶可將 BEM 和 FEM 應(yīng)用到最合適的場(chǎng)景中，而且與 COMSOL Multiphysics 的所有其他物理場(chǎng)耦合一樣，所有操作均在一個(gè)用戶界面中完成。舉例來(lái)說(shuō)，F(xiàn)EM 可以添加更通用的材料屬性，因此適合模擬振動(dòng)結(jié)構(gòu)的內(nèi)部域，比如封閉的空氣域；外部域則使用 BEM，因?yàn)樗m合對(duì)大型域和無(wú)限域建模。下圖中的揚(yáng)聲器模型采用了兩種方法。

揚(yáng)聲器多物理場(chǎng)模型的 COMSOL Multiphysics 用戶界面，模型包含 BEM 和 FEM 聲學(xué)以及 固體力學(xué)和 殼接口。物理場(chǎng)被耦合到內(nèi)置的多物理場(chǎng)耦合中。圖片來(lái)自振動(dòng)聲學(xué)揚(yáng)聲器仿真：基于混合 BEM-FEM 法的多物理場(chǎng)教學(xué)模型。

利用邊界元法，我們只需對(duì)鄰近建模域的表面劃分網(wǎng)格。這意味著不需要對(duì)大型體積進(jìn)行網(wǎng)格劃分（有限元法則不然），因此基于 BEM 的接口尤其適用于涉及輻射和散射，且擁有詳細(xì) CAD 幾何的模型。該接口還提供了內(nèi)置條件，供用戶設(shè)置無(wú)限硬聲場(chǎng)邊界（壁）或無(wú)限軟聲場(chǎng)邊界。這些邊界條件對(duì)建模十分有利，例如在水下聲學(xué)問(wèn)題中，無(wú)限軟聲場(chǎng)邊界可用于模擬海洋表面。

對(duì)于包含大型流體域的問(wèn)題，基于 BEM 的接口通常更具優(yōu)勢(shì)，若使用 FEM，就必須創(chuàng)建對(duì)大型體積進(jìn)行網(wǎng)格劃分，而較大的三維網(wǎng)格會(huì)導(dǎo)致內(nèi)存溢出。針對(duì)類似情況，邊界元法甚至能夠拓寬 COMSOL Multiphysics 可處理的問(wèn)題類型。這些問(wèn)題的一些相關(guān)示例包括：

無(wú)限壁或無(wú)限軟聲場(chǎng)邊界與輻射對(duì)象相距很遠(yuǎn)（就波長(zhǎng)而言）的模型

散射對(duì)象和輻射對(duì)象相距很遠(yuǎn)且發(fā)生相互作用的模型

復(fù)雜非緊湊幾何的輻射問(wèn)題，對(duì)此類問(wèn)題使用 FEM 時(shí)，很難施加合適的輻射條件或完美匹配層（perfectly matched layer，簡(jiǎn)稱 PML）

與散射對(duì)象相距很遠(yuǎn)的換能器陣列的示例圖。由于內(nèi)存需求很大，這種問(wèn)題很難或者不可能單純利用有限元法來(lái)求解。邊界元法適用于求解此類模型（將球體移動(dòng)到遠(yuǎn)處不會(huì)增加計(jì)算量）。圖片來(lái)自聲納系統(tǒng)的蘑菇形換能器陣列教學(xué)模型。

針對(duì)相同數(shù)量的自由度（degrees of freedom，簡(jiǎn)稱 DOF），邊界元法對(duì)計(jì)算能力的要求比有限元法更高，但另一方面，要獲得相同的精度，邊界元法要求的自由度一般比有限元法少得多。BEM 可生成完全填充且密集的系統(tǒng)矩陣，因此它需要使用與 FEM 不同的專用數(shù)值方法。在求解小型和中型聲學(xué)模型時(shí)，基于 FEM 的接口——例如壓力聲學(xué)，頻域 接口——的速度通常比 BEM 更快。

根據(jù)“聲學(xué)模塊”的用戶指南，壓力聲學(xué)，邊界元 接口的邊界元法是基于一種利用 Costabel 對(duì)稱耦合的直接方法。為了對(duì)所得的線性系統(tǒng)進(jìn)行求解，我們利用了自適應(yīng)交叉近似（ACA）快速求和算法。該方法使用了部分裝配矩陣，該處矩陣與向量相乘的效果得以計(jì)算。缺省迭代求解器為 GMRES。內(nèi)置的多物理場(chǎng)耦合降低了無(wú)縫創(chuàng)建混合 FEM 和 BEM 物理場(chǎng)問(wèn)題的難度。在求解耦合模型時(shí)，對(duì) BEM 問(wèn)題采用默認(rèn)的 ACA 混合算法，對(duì) FEM 使用合適的預(yù)條件器（直接或多重網(wǎng)格）。

兩全其美的方法：混合 FEM-BEM 法

如上文所述，壓力聲學(xué)，邊界元 接口可與基于有限元的接口中無(wú)縫耦合，比如壓力聲學(xué)，頻域 接口和固體力學(xué) 接口。借助耦合，創(chuàng)建混合 FEM-BEM 模型變得很輕松，而且模型能夠在最需要和最合適的地方充分利用方程各自的優(yōu)勢(shì)。

BEM 不等于替代聲場(chǎng)中的有限元，而應(yīng)該看作一種補(bǔ)充。按照經(jīng)驗(yàn)，由于基于 FEM 的模型在求解時(shí)需要非常細(xì)化的網(wǎng)格，所以大型流體域應(yīng)該選擇 BEM，或者將基于 BEM 與 FEM 的物理場(chǎng)耦合到一起。下面是一些應(yīng)用和示例：

模擬具有復(fù)雜幾何的換能器和輻射問(wèn)題

利用 FEM 模擬（壓電式或電磁式）換能器，與此同時(shí)利用 BEM 模擬外聲場(chǎng)

耦合內(nèi)部和外部問(wèn)題

對(duì)狹窄區(qū)域和共振體使用 FEM，對(duì)輻射區(qū)域使用 BEM

請(qǐng)牢記：聲學(xué) BEM-FEM邊界 多物理場(chǎng)耦合可以幫助用戶輕松耦合基于 BEM 和 FEM 的聲學(xué)模型

對(duì)于內(nèi)存足夠的較小模型，有限元法通常更快。利用輻射條件或 PML的傳統(tǒng)方法適合模擬開放的輻射域。

壓力聲學(xué)，邊界元 接口可用于替代基于 FEM 的輻射條件/PML 以及遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算特征。參見下圖中的模型示例。

在貝塞爾面板教學(xué)模型中，壓力聲學(xué)，邊界元口被用來(lái)模擬開放空間。邊界元接口可以有效地替代原本需要的輻射條件（或 PML）和遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算特征。圖片展示了 FEM 域（多個(gè)點(diǎn)源位于該域內(nèi)）內(nèi)的表面聲壓級(jí)，以及外部 BEM 域在特定范圍內(nèi)的三個(gè)截面的聲壓級(jí)。

BEM 模型的后處理

當(dāng)使用 BEM 接口求解問(wèn)題時(shí)，所得的解由邊界上的因變量——相當(dāng)于未知場(chǎng)變量——組成，其中包括壓力 p 及其法向?qū)?shù)；也就是法向通量變量 pabe.pbam1.bemflux。域內(nèi)的解是以計(jì)算積分內(nèi)核為基礎(chǔ)的，這是 BEM 的核心。

邊界上定義了專用的邊界變量。該變量在外部和內(nèi)部邊界上擁有不同定義；在外部邊界上，它等于因變量。在內(nèi)部邊界上，則被定義為向上和向下壓力相關(guān)變量（pabe.p_up 和 pabe.p_down），因?yàn)榇颂帀毫κ遣贿B續(xù)的；比如內(nèi)部硬聲場(chǎng)壁 邊界。此外，所有邊界上都有預(yù)定義后處理變量，必要時(shí)，這些變量能夠?qū)⑦吔缱兞颗c基于內(nèi)核計(jì)算的變量的屬性組合在一起。

如下圖所示，我們可以在繪圖的替換表達(dá)式 列表中找到上述變量以及所有其他后處理變量。

用戶界面截圖顯示了一部分預(yù)定義后處理變量的列表。

在域內(nèi)對(duì) BEM 解進(jìn)行后處理時(shí)，必須使用上文提到的 BEM 積分內(nèi)核計(jì)算來(lái)重構(gòu)壓力場(chǎng)。為了使 BEM 解更易于可視化，我們可以在柵格上自動(dòng)執(zhí)行內(nèi)核計(jì)算，從而生成專用的數(shù)據(jù)集。下面幾段討論了可用于繪制聲學(xué)結(jié)果的數(shù)據(jù)集。

三維柵格 和二維柵格 數(shù)據(jù)集專門求解沒(méi)有網(wǎng)格的域。這些數(shù)據(jù)集在待求解的區(qū)域建立了由點(diǎn)組成的規(guī)則柵格。柵格的尺寸和邊界以及解析度（柵格間距）均可修改。對(duì)波動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行可視化時(shí)，充足的空間解析度非常重要。然而，解析度不應(yīng)過(guò)大，否則會(huì)增加渲染時(shí)間。

柵格數(shù)據(jù)集還有其他用途，例如用作切面圖或表面圖的輸入數(shù)據(jù)集。在求解 BEM 模型時(shí)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)生成柵格數(shù)據(jù)集和多切面圖，并將其應(yīng)用到默認(rèn)的繪圖中。柵格數(shù)據(jù)集還能用作截面、截線或者截點(diǎn)的輸入。

只要勾選僅計(jì)算全局定義的表達(dá)式 選項(xiàng)，就可以直接利用參數(shù)化曲線和表面計(jì)算 BEM 的解。

BEM 變量被用作輸入時(shí)，我們可以直接使用專門的聲學(xué)繪圖。相關(guān)示例包括用于繪制空間響應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng) 圖（不一定是遠(yuǎn)場(chǎng)，實(shí)際上可以是任何距離）以及方向性 圖。舉例來(lái)說(shuō)，聲壓級(jí)變量 pabe.Lp 可以用作表達(dá)式。

用戶界面截圖顯示了上文提及的一些不同的數(shù)據(jù)集。重要設(shè)置已突出顯示。

上方截圖摘自揚(yáng)聲器輻射：BEM 聲學(xué)教學(xué)模型。該模型求解輻射問(wèn)題，并且創(chuàng)建了多數(shù)常見繪圖和結(jié)果可視化效果。

下圖顯示了利用揚(yáng)聲器表面的柵格繪制在三個(gè)切面上的聲壓級(jí)。為了表現(xiàn)后處理與可視化工具的通用性，圖片還沿著使用參數(shù)化曲線 三維數(shù)據(jù)集創(chuàng)建的參數(shù)化螺旋曲線繪制了聲壓級(jí)結(jié)果。

“揚(yáng)聲器輻射：BEM 聲學(xué)”教學(xué)模型以多種方式顯示聲壓級(jí)結(jié)果。

使用邊界元法的兩種特殊情況

接下來(lái)，我們將討論使用邊界元法時(shí)兩種需要特別考慮的情況。

第 1 種情況：半空間輻射問(wèn)題

很多聲學(xué)應(yīng)用都涉及了一種情況：換能器位于一個(gè)無(wú)限擋板內(nèi)，并朝向半空間輻射。大多數(shù)情況下，此類裝置不能使用 BEM，至少在包含無(wú)限擋板的情況下絕對(duì)不行。非無(wú)限擋板可以使用內(nèi)部硬聲場(chǎng)壁 等邊界條件來(lái)創(chuàng)建。

我們通常習(xí)慣使用無(wú)限硬聲場(chǎng)邊界 特征。該邊界條件不能用于像揚(yáng)聲器驅(qū)動(dòng)器立著的擋板那樣“中間有一個(gè)洞”的邊界。因?yàn)?BEM 方程基于全空間格林函數(shù)，所以無(wú)限對(duì)稱平面或無(wú)限壁條件意味著平面或壁必須無(wú)限延伸，而且不能有開口。基本上，如果邊界在物理場(chǎng)接口中擁有對(duì)應(yīng)的選擇，且選擇處于活動(dòng)狀態(tài)，那么這些邊界必須位于無(wú)限邊界條件的同一側(cè)或者位于無(wú)限邊界條件上。否則將產(chǎn)生非物理結(jié)果。

針對(duì)如何設(shè)置無(wú)限擋板，我的一般建議是將基于 FEM 的物理場(chǎng)接口同遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算特征及 PML 或輻射條件結(jié)合使用。揚(yáng)聲器驅(qū)動(dòng)器的集總模型就是一個(gè)例子。這種設(shè)置通?？斓枚?！

壓力聲學(xué)，邊界元接口的用戶界面。物理場(chǎng)頂層設(shè)置了無(wú)限邊界條件（突出顯示）。選定任意條件后，生成的平面將顯示在“圖形窗口”中。

第 2 種情況：內(nèi)邊值問(wèn)題

內(nèi)邊值問(wèn)題——特別是沒(méi)有或產(chǎn)生很少損耗的銳共振問(wèn)題——很難使用 BEM進(jìn)行求解。問(wèn)題的原因不在于方法本身，而是因?yàn)槭褂昧说蠼馄鱽?lái)高效求解底層矩陣系統(tǒng)。基于 FEM 的模型使用迭代求解器時(shí)也會(huì)出現(xiàn)相同的問(wèn)題。

在靠近銳共振的地方，任何細(xì)微的變化都會(huì)導(dǎo)致壓力變化，但是我們很難捕捉這種變化來(lái)確保收斂。如果可能的話，遇到這些情況時(shí)，建議結(jié)合使用 FEM 和直接求解器，或者添加真實(shí)的帶損耗的邊界條件，例如阻抗條件。

關(guān)于 BEM 的結(jié)語(yǔ)

在 COMSOL Multiphysics 軟件環(huán)境中，BEM 是對(duì) FEM 的實(shí)用補(bǔ)充。眾多從事聲學(xué)建模的工程師都期望著增加這項(xiàng)功能。我們希望你會(huì)喜歡“聲學(xué)模塊”的這項(xiàng)新增功能。

下一步操作

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