數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法：圖的遍歷過程中，搜索方法的不同

1 引言

遍歷是指從某個節(jié)點出發(fā)，按照一定的的搜索路線，依次訪問對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的全部節(jié)點，且每個節(jié)點僅訪問一次。

在二叉樹基礎(chǔ)中，介紹了對于樹的遍歷。樹的遍歷是指從根節(jié)點出發(fā)，按照一定的訪問規(guī)則，依次訪問樹的每個節(jié)點信息。樹的遍歷過程，根據(jù)訪問規(guī)則的不同主要分為四種遍歷方式：

（1）先序遍歷（2）中序遍歷（3）后序遍歷（4）層次遍歷

類似的，圖的遍歷是指，從給定圖中任意指定的頂點（稱為初始點）出發(fā)，按照某種搜索方法沿著圖的邊訪問圖中的所有頂點，使每個頂點僅被訪問一次，這個過程稱為圖的遍歷。遍歷過程中得到的頂點序列稱為圖遍歷序列。

圖的遍歷過程中，根據(jù)搜索方法的不同，又可以劃分為兩種搜索策略：

（1）深度優(yōu)先搜索（DFS，Depth First Search）（2）廣度優(yōu)先搜索（BFS，Breadth First Search）

2 深度優(yōu)先搜索

2.1 算法思想

深度優(yōu)先搜索思想：假設(shè)初始狀態(tài)是圖中所有頂點均未被訪問，則從某個頂點v出發(fā)，首先訪問該頂點，然后依次從它的各個未被訪問的鄰接點出發(fā)深度優(yōu)先搜索遍歷圖，直至圖中所有和v有路徑相通的頂點都被訪問到。若此時尚有其他頂點未被訪問到，則另選一個未被訪問的頂點作起始點，重復(fù)上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到為止。

2.2 算法特點

深度優(yōu)先搜索是一個遞歸的過程。首先，選定一個出發(fā)點后進行遍歷，如果有鄰接的未被訪問過的節(jié)點則繼續(xù)前進。若不能繼續(xù)前進，則回退一步再前進，若回退一步仍然不能前進，則連續(xù)回退至可以前進的位置為止。重復(fù)此過程，直到所有與選定點相通的所有頂點都被遍歷。

深度優(yōu)先搜索是遞歸過程，帶有回退操作，因此需要使用棧存儲訪問的路徑信息。當訪問到的當前頂點沒有可以前進的鄰接頂點時，需要進行出棧操作，將當前位置回退至出棧元素位置。

2.3 圖解過程

2.3.1 無向圖深度優(yōu)先搜索

以圖2.3.1.1中所示無向圖說明深度優(yōu)先搜索遍歷過程。

圖2.3.1.1

（1）首先選取頂點A為起始點，輸出A頂點信息，且將A入棧，并標記A為已訪問頂點。

（2）A的鄰接頂點有C、D、F，從中任意選取一個頂點前進。這里我們選取C頂點為前進位置頂點。輸出C頂點信息，將C入棧，并標記C為已訪問頂點。當前位置指向頂點C。

（3）頂點C的鄰接頂點有A、D和B，此時A已經(jīng)標記為已訪問頂點，因此不能繼續(xù)訪問。從B或者D中選取一個頂點前進，這里我們選取B頂點為前進位置頂點。輸出B頂點信息，將B入棧，標記B頂點為已訪問頂點。當前位置指向頂點B。

（4）頂點B的鄰接頂點只有C、E，C已被標記，不能繼續(xù)訪問，因此選取E為前進位置頂點，輸出E頂點信息，將E入棧，標記E頂點，當前位置指向E。

（5）頂點E的鄰接頂點均已被標記，此時無法繼續(xù)前進，則需要進行回退。將當前位置回退至頂點B，回退的同時將E出棧。

（6）頂點B的鄰接頂點也均被標記，需要繼續(xù)回退，當前位置回退至C，回退同時將B出棧。

（7）頂點C可以前進的頂點位置為D，則輸出D頂點信息，將D入棧，并標記D頂點。當前位置指向頂點D。

（8）頂點D沒有前進的頂點位置，因此需要回退操作。將當前位置回退至頂點C，回退同時將D出棧。

（9）頂點C沒有前進的頂點位置，繼續(xù)回退，將當前位置回退至頂點A，回退同時將C出棧。

（10）頂點A前進的頂點位置為F，輸出F頂點信息，將F入棧，并標記F。將當前位置指向頂點F。

（11）頂點F的前進頂點位置為G，輸出G頂點信息，將G入棧，并標記G。將當前位置指向頂點G。

（12）頂點G沒有前進頂點位置，回退至F。當前位置指向F，回退同時將G出棧。

（13）頂點F沒有前進頂點位置，回退至A，當前位置指向A，回退同時將F出棧。

（14）頂點A沒有前進頂點位置，繼續(xù)回退，棧為空，則以A為起始的遍歷結(jié)束。若圖中仍有未被訪問的頂點，則選取未訪問的頂點為起始點，繼續(xù)執(zhí)行此過程。直至所有頂點均被訪問。

（15）采用深度優(yōu)先搜索遍歷順序為A->C->B->E->D->F->G。

2.3.2 有向圖深度優(yōu)先搜索

以圖2.3.2.1中所示有向圖說明深度優(yōu)先搜索遍歷過程。

圖2.3.2.1 有向圖

（1）以頂點A為起始點，輸出A，將A入棧，并標記A。當前位置指向A。

（2）以A為尾的邊只有1條，且邊的頭為頂點B，則前進位置為頂點B，輸出B，將B入棧，標記B。當前位置指向B。

（3）頂點B可以前進的位置有C與F，選取F為前進位置，輸出F，將F入棧，并標記F。當前位置指向F。

（4）頂點F的前進位置為G，輸出G，將G入棧，并標記G。當前位置指向G。

（5）頂點G沒有可以前進的位置，則回退至F，將F出棧。當前位置指向F。

（6）頂點F沒有可以前進的位置，繼續(xù)回退至B，將F出棧。當前位置指向B。

（7）頂點B可以前進位置為C和E，選取E，輸出E，將E入棧，并標記E。當前位置指向E。

（8）頂點E的前進位置為D，輸出D，將D入棧，并標記D。當前位置指向D。

（9）頂點D的前進位置為C，輸出C，將C入棧，并標記C。當前位置指向C。

（10）頂點C沒有前進位置，進行回退至D，回退同時將C出棧。

（11）繼續(xù)執(zhí)行此過程，直至棧為空，以A為起始點的遍歷過程結(jié)束。若圖中仍有未被訪問的頂點，則選取未訪問的頂點為起始點，繼續(xù)執(zhí)行此過程。直至所有頂點均被訪問。

2.4 算法分析

當圖采用鄰接矩陣存儲時，由于矩陣元素個數(shù)為n^2，因此時間復(fù)雜度就是O(n^2)。

當圖采用鄰接表存儲時，鄰接表中只是存儲了邊結(jié)點(e條邊，無向圖也只是2e個結(jié)點)，加上表頭結(jié)點為n（也就是頂點個數(shù)），因此時間復(fù)雜度為O(n+e)。

3 廣度優(yōu)先搜索

3.1 算法思想

廣度優(yōu)先搜索思想：從圖中某頂點v出發(fā)，在訪問了v之后依次訪問v的各個未曾訪問過的鄰接點，然后分別從這些鄰接點出發(fā)依次訪問它們的鄰接點，并使得“先被訪問的頂點的鄰接點先于后被訪問的頂點的鄰接點被訪問，直至圖中所有已被訪問的頂點的鄰接點都被訪問到。如果此時圖中尚有頂點未被訪問，則需要另選一個未曾被訪問過的頂點作為新的起始點，重復(fù)上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到為止。

3.2 算法特點

廣度優(yōu)先搜索類似于樹的層次遍歷，是按照一種由近及遠的方式訪問圖的頂點。在進行廣度優(yōu)先搜索時需要使用隊列存儲頂點信息。

3.3 圖解過程

3.3.1 無向圖的廣度優(yōu)先搜索

例如：圖3.3.1.1所示的無向圖，采用廣度優(yōu)先搜索過程。

圖3.3.1.1

（1）選取A為起始點，輸出A，A入隊列，標記A，當前位置指向A。

（2）隊列頭為A，A出隊列。A的鄰接頂點有B、E，輸出B和E，將B和E入隊，并標記B、E。當前位置指向A。

（3）隊列頭為B，B出隊列。B的鄰接頂點有C、D，輸出C、D，將C、D入隊列，并標記C、D。當前位置指向B。

（4）隊列頭為E，E出隊列。E的鄰接頂點有D、F，但是D已經(jīng)被標記，因此輸出F，將F入隊列，并標記F。當前位置指向E。

（5）隊列頭為C，C出隊列。C的鄰接頂點有B、D，但B、D均被標記。無元素入隊列。當前位置指向C。

（6）隊列頭為D，D出隊列。D的鄰接頂點有B、C、E，但是B、C、E均被標記，無元素入隊列。當前位置指向D。

（7）隊列頭為F，F(xiàn)出隊列。F的鄰接頂點有G、H，輸出G、H，將G、H入隊列，并標記G、H。當前位置指向F。

（8）隊列頭為G，G出隊列。G的鄰接頂點有F，但F已被標記，無元素入隊列。當前位置指向G。

（9）隊列頭為H，H出隊列。H的鄰接頂點有F，但F已被標記，無元素入隊列。當前位置指向H。

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（10）隊列空，則以A為起始點的遍歷結(jié)束。若圖中仍有未被訪問的頂點，則選取未訪問的頂點為起始點，繼續(xù)執(zhí)行此過程。直至所有頂點均被訪問。

3.3.2 有向圖的廣度優(yōu)先搜索

以圖3.3.2.1所示的有向圖為例進行廣度優(yōu)先搜索。

圖3.3.2.1

（1）選取A為起始點，輸出A，將A入隊列，標記A。

（2）隊列頭為A，A出隊列。以A為尾的邊有兩條，對應(yīng)的頭分別為B、C，則A的鄰接頂點有B、C。輸出B、C，將B、C入隊列，并標記B、C。

（3）隊列頭為B，B出隊列。B的鄰接頂點為C，C已經(jīng)被標記，因此無新元素入隊列。

（4）隊列頭為C，C出隊列。C的鄰接頂點有E、F。輸出E、F，將E、F入隊列，并標記E、F。

（5）隊列頭為E，E出隊列。E的鄰接頂點有G、H。輸出G、H，將G、H入隊列，并標記G、H。

（6）隊列頭為F，F(xiàn)出隊列。F無鄰接頂點。

（7）隊列頭為G，G出隊列。G無鄰接頂點。

（8）隊列頭為H，H出隊列。H鄰接頂點為E，但是E已被標記，無新元素入隊列。

（9）隊列為空，以A為起始點的遍歷過程結(jié)束，此時圖中仍有D未被訪問，則以D為起始點繼續(xù)遍歷。選取D為起始點，輸出D，將D入隊列，標記D。

（10）隊列頭為D，D出隊列，D的鄰接頂點為B，B已被標記，無新元素入隊列。

（11）隊列為空，且所有元素均被訪問，廣度優(yōu)先搜索遍歷過程結(jié)束。廣度優(yōu)先搜索的輸出序列為：A->B->E->C->D->F->G->H。

3.4 算法分析

假設(shè)圖有V個頂點，E條邊，廣度優(yōu)先搜索算法需要搜索V個節(jié)點，時間消耗是O(V)，在搜索過程中，又需要根據(jù)邊來增加隊列的長度，于是這里需要消耗O(E)，總得來說，效率大約是O(V+E)。

4 總結(jié)

圖的遍歷主要就是這兩種遍歷思想，深度優(yōu)先搜索使用遞歸方式，需要棧結(jié)構(gòu)輔助實現(xiàn)。廣度優(yōu)先搜索需要使用隊列結(jié)構(gòu)輔助實現(xiàn)。在遍歷過程中可以看出，對于連通圖，從圖的任意一個頂點開始深度或廣度優(yōu)先遍歷一定可以訪問圖中的所有頂點，但對于非連通圖，從圖的任意一個頂點開始深度或廣度優(yōu)先遍歷并不能訪問圖中的所有頂點。