深入卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)背后的數(shù)學(xué)原理

在計算機神經(jīng)視覺技術(shù)的發(fā)展過程中，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成為了其中的重要組成部分，本文對卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)原理進行了介紹。

文章包括四個主要內(nèi)容：卷積、卷積層、池化層以及卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的反向傳播原理。在卷積部分的介紹中，作者介紹了卷積的定義、有效卷積和相同卷積、跨步卷積、3D卷積。

在卷積層部分，作者闡述了連接切割和參數(shù)共享對降低網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學(xué)習(xí)量的作用。在池化層部分，作者介紹了池化的含義以及掩膜的使用。

自動駕駛、智能醫(yī)療、智能零售，這些曾被認(rèn)為不可能實現(xiàn)的事情，在計算機視覺技術(shù)的幫助下，終于在最近成為了現(xiàn)實。今天，自動駕駛和自動雜貨店的夢想不再像以前那樣遙不可及。

事實上，每天我們都在使用計算機視覺技術(shù)幫助我們用人臉解鎖手機，或者對即將發(fā)布到社交媒體上的照片進行自動修飾。

在計算機視覺技術(shù)應(yīng)用這一巨大成功的背后，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）可能是其中最重要的組成部分。

在本文中，我們將逐步理解，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是如何與 CNN 特有的思想?yún)f(xié)作的。本文章包含了相當(dāng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)方程式，但如果您對線性代數(shù)和微積分不熟悉，請不要氣餒。

我的目標(biāo)不是讓您記住那些公式，而是讓您從直覺上去理解這些公式背后隱藏的意義。

01

前言

在之前的系列中，我們學(xué)習(xí)了密集連接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（densely connected neural networks）。

這些網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元被分成組，形成連續(xù)的層，相鄰的兩個層之間的神經(jīng)元相互連接。下圖展示了一個密集連接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的示例。

Figure 1.Densely connected neural network architecture

當(dāng)我們解決分類問題時，如果我們的特征是一組有限的并有明確定義的特征，這種方法是很有效的——例如，根據(jù)足球運動員在比賽期間所記錄的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，預(yù)測該運動員的位置。

但是，當(dāng)使用照片來進行預(yù)測時，情況會變得更加復(fù)雜。我們當(dāng)然可以將每個像素的亮度視為一個單獨的特征，并將其作為輸入傳遞給我們的密集網(wǎng)絡(luò)（dense network）。

不幸的是，為了使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠處理典型的智能手機照片，該網(wǎng)絡(luò)必須包含數(shù)千萬甚至數(shù)億個神經(jīng)元。

我們也可以通過縮小照片的尺寸來進行處理手機照片，但是這樣做會使我們丟失很多有價值的信息。

可以發(fā)現(xiàn)，這種傳統(tǒng)策略的性能很差，因此我們需要一種新的、更加聰明的方法來盡可能多地使用數(shù)據(jù)，并同時減少必要的計算和參數(shù)的數(shù)量。CNN 閃亮登場的時候到了。

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數(shù)字圖像的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

首先花一點時間來解釋一下數(shù)字圖像的存儲方式。數(shù)字圖像實際上是巨大的數(shù)字矩陣。矩陣中的每個數(shù)字對應(yīng)于其像素的亮度。

在 RGB 模型中，彩色圖像由三個矩陣組成，分別對應(yīng)三個顏色通道——紅，綠，藍。而在黑白圖像中，我們只需要一個矩陣。

矩陣中的每個數(shù)字的取值區(qū)間都是 0 到 255。該范圍是存儲圖像信息的效率（256個值剛好適合1個字節(jié)）與人眼的靈敏度（我們區(qū)分同種顏色的灰度級別的數(shù)量極限）之間的折衷。

Figure 2.Data structure behind digitalimages

03

卷積

核卷積（kernel convolution）不僅僅用于 CNN，它還是許多其他計算機視覺算法的關(guān)鍵要素。

核卷積就是將一個小數(shù)字矩陣（濾波器，也稱作 kernel 或 filter）在圖像上進行滑動，并根據(jù) kernel 的值，對圖像矩陣的值進行轉(zhuǎn)換的過程。對圖像經(jīng)過卷積操作后得到的輸出稱為特征映射（feature map）。

特征映射的值的計算公式如下，其中 f 代表輸入圖像，h 代表濾波器 。結(jié)果矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別用 m 和 n 表示。

Figure 3.Kernel convolution example

將 kernel 放在選定的像素上后，我們從 kernel 中依次取出每個值，并將它們成對地與圖像中的相應(yīng)值相乘。

最后，我們將每個核運算后的結(jié)果元素相加，并將求和結(jié)果放在輸出特征圖中的正確位置上。

上圖從微觀角度詳細(xì)地展示了這一運算的過程，但在完整圖像上實施該運算的結(jié)果可能更加有趣。圖4展示了使用幾個不同 kernel 的卷積結(jié)果。

Figure 4.Finding edges with kernel convolution

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有效卷積&相同卷積（Valid and Same Convolution）

正如我們在圖3中看到的，當(dāng)我們使用 3x3 的 kernel 對 6x6 圖像執(zhí)行卷積時，我們得到 4x4 的特征映射。

這是因為在這個圖像中，只有16個位置可以將 kerenl 完整地放在這張圖像中。由于每次執(zhí)行卷積時我們的圖像都會縮小，因此在我們的圖像完全消失之前，我們只能進行有限次數(shù)的卷積。

另外，如果對 kernel 在圖像中移動的過程進行觀察，我們就會發(fā)現(xiàn)圖像外圍像素的影響遠(yuǎn)小于圖像中心像素的影響。

這樣會導(dǎo)致我們失去圖像中包含的一些信息。下圖展示了像素位置的改變對特征圖的影響。

Figure 5.Impact of pixelposition

為了解決這兩個問題，我們可以使用額外的邊框來填充圖像（padding）。例如，如果使用 1像素進行填充，我們將圖像的大小增加到 8x8，因此使用 3x3 的 kernel 的卷積，其輸出尺寸將為 6x6 。

在實踐中，我們通常用零值來填充額外的邊界。根據(jù)是否使用填充，我們將處理兩種類型的卷積—— Valid 和 Same。

Valid —— 使用原始圖像，Same —— 使用原始圖像并使用它周圍的邊框，以便使輸入和輸出的圖像大小相同。

在第二種情況下，填充寬度應(yīng)滿足以下等式，其中 p 是填充尺寸，f 是 kernel 尺寸（通常是奇數(shù)）。

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跨步卷積（Strided Convolution）

Figure 6.Example of strided convolution

在前面的例子中，我們總是每次將 kernel 移動一個像素，即步長為1。步長也可以視為卷積層的超參數(shù)之一。

圖 6 展示了使用更大步長時的卷積運算。在設(shè)計 CNN 架構(gòu)時，如果希望感知域重疊較少，或者希望讓特征圖的空間維度更小，我們可以增加步長。

輸出矩陣的尺寸（考慮填充和步長時）可以使用以下公式計算。

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過渡到第三個維度

體積卷積（Convolution over volume）是一個非常重要的概念，這不僅使我們能夠處理彩色圖像，而且更為重要的是，我們能夠在單層網(wǎng)絡(luò)中使用多個 kernel 。

第一個規(guī)則是 kernel 和圖像必須具有相同數(shù)量的通道。一般而言，圖像的處理過程和圖3的示例非常相似，但是這次我們是將三維空間中的值對相乘。

如果想在同一個圖像上使用多個 kernel，首先我們要分別對每個 kernel 執(zhí)行卷積，然后將結(jié)果從頂層向下進行疊加，最后將它們組合成一個整體。

輸出張量的尺寸（可以稱為3D矩陣）滿足以下等式，其中：n?- 圖像大小，f ?- 濾波器大小，nc ?- 圖像中的通道數(shù)，p - 填充大小，s - ?步幅大小，nf? - kernel 的數(shù)量。

Figure 7.Convolution overvolume

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卷積層

接下來我們將用前面學(xué)到的知識來構(gòu)建 CNN 的一個層。我們將要用到的方法幾乎與構(gòu)建密集神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時用到的相同，唯一有區(qū)別的地方是，我們不再使用簡單的矩陣乘法，而是使用卷積。

前向傳播包括兩個步驟。第一步是計算中間值 Z：首先將前一層的輸入數(shù)據(jù)與張量 W（包含濾波器）進行卷積，然后將運算后的結(jié)果加上偏差 b 。

第二步是將中間值 Z 輸入到非線性激活函數(shù)中（使用 g 表示該激活函數(shù)）。下面展示了矩陣形式的數(shù)學(xué)公式。

如果您對公式中的任何部分不太清楚，我強烈推薦您去閱讀一下我之前的文章，文中詳細(xì)討論了密集連接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的具體內(nèi)容。

下文的插圖很好地展示了公式中各張量的維數(shù)，以助于理解。

Figure 8.Tensors dimensions

連接切割和參數(shù)共享（Connections Cutting and Parameters Sharing）

在本文的開頭曾提到，由于需要學(xué)習(xí)大量的參數(shù)，密集連接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理圖像方面的能力很差，而卷積卻為該問題提供了一種解決方案，下面我們一起來看看卷積是如何優(yōu)化圖像處理的計算的。

在下圖中，我們用一種略微不同的方式對 2D 卷積進行了可視化——用數(shù)字 1-9 標(biāo)記的神經(jīng)元構(gòu)成輸入層，用于接收輸入圖像的像素亮度，單元 A-D 表示經(jīng)過卷積計算后得到的特征映射。

最后，I-IV 表示來自 kernel 的后續(xù)值，這些值是需要網(wǎng)絡(luò)進行學(xué)習(xí)的。

Figure 9.Connections cutting and parameters sharing

現(xiàn)在，讓我們關(guān)注卷積層的兩個非常重要的屬性。第一，從圖中可以看到，并非兩個相鄰層中的所有神經(jīng)元都相互連接。

例如，神經(jīng)元 1 僅影響 A 的值。第二，我們可以發(fā)現(xiàn)一些神經(jīng)元使用了相同的權(quán)重。這兩個屬性意味著在 CNN 中我們需要學(xué)習(xí)的參數(shù)要少得多。

值得一提的是，kernel 中的任一單值都會影響輸出特征映射的每一個元素——這在反向傳播的過程中是至關(guān)重要的。

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卷積層的反向傳播（Convolutional Layer Backpropagation）

任何曾經(jīng)試圖從頭開始編寫神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的人都知道，前向傳播還不到最終成功的一半。當(dāng)你開始向回推算時，真正的樂趣才剛剛開始。

如今，我們不需要為反向傳播而煩惱——因為深度學(xué)習(xí)框架已經(jīng)為我們做好了，但是我覺得有必要弄明白它背后發(fā)生的事情。

就像在密集連接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中一樣，我們的目標(biāo)是計算導(dǎo)數(shù)，然后在梯度下降的過程中，用這些導(dǎo)數(shù)去更新我們的參數(shù)值。

在下面的計算中，我們將用到鏈?zhǔn)椒▌t —— 這在我之前的文章中提到過。我們想要評估參數(shù)的變化對結(jié)果特征映射的影響，以及隨之對最終結(jié)果的影響。

在開始詳細(xì)討論之前，我們需要將數(shù)學(xué)符號統(tǒng)一 —— 為了表示方便，我不會使用偏導(dǎo)數(shù)的完整符號，而是用下面提到的縮符號。

但是請記住，當(dāng)我使用這種表示法時，這將始終代表著成本函數(shù)的偏導(dǎo)。

Figure 10.Input and output data for a single convolution layer in forward and backward propagation

我們的任務(wù)是計算 dW [1] 和 db [l] （它們是與當(dāng)前層參數(shù)相關(guān)的導(dǎo)數(shù)），以及 dA[l-1]（它將被傳遞給前一層）。

如圖10所示，dA[l] 作為輸入，張量 dW 和 W，db 和 b 以及 dA 和 A 的維度分別相同。第一步是求激活函數(shù)關(guān)于輸入張量的導(dǎo)數(shù)，將其結(jié)果記為 dZ [1] 。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，該運算的結(jié)果將在后面用到。

現(xiàn)在，我們需要處理卷積自身的反向傳播。為了實現(xiàn)這個目標(biāo)，我們將利用一個稱為全卷積的矩陣運算，該運算的可視化解釋如下圖所示。

請注意，在此過程中我們要使用 kernel，而我們之前用到的 kernel 是該 kernel 旋轉(zhuǎn)了180度所得到的。

該操作可以用以下公式表示，其中 kernel 由 W 表示，dZ[m,n] 是一個標(biāo)量，該標(biāo)量屬于從前一層所獲得的偏導(dǎo)數(shù)。

Figure 11.Full convolution

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池化層（Pooling Layers）

除了卷積層之外，CNN 經(jīng)常使用一個稱為池化層的網(wǎng)絡(luò)層，它們主要用于減小張量的大小并加快計算速度。

這個層的結(jié)構(gòu)很簡單，我們只需要將圖像劃分成不同的區(qū)域，然后對每個部分執(zhí)行一些操作即可。

例如，對于最大池化層（Max Pool Layer），我們從每個區(qū)域中選擇一個最大值，并將其放在輸出中的相應(yīng)位置即可。

與卷積層的情況一樣，我們有兩個超參數(shù)——kernel 的尺寸和步長。

最后值得一提是，如果要為多通道圖像執(zhí)行池化操作，則每個通道都應(yīng)該分別執(zhí)行池化操作。

Figure 12.Max poolingexample

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池化層的反向傳播（Pooling Layers Backpropagation）

在本文中，我們僅討論最大池化的反向傳播（max pooling backpropagation），但是通過將該方法稍作調(diào)整，便可運用到其他所有類型的池化層。

由于在池化層這種類型的層中，我們不用更新任何參數(shù)，我們的任務(wù)只是適度地分配梯度值。

前文講到，在最大池化的前向傳播中，我們從每個區(qū)域中選擇最大值并將它們傳輸?shù)较乱粚印?/p>

因此很明顯，在反向傳播期間，梯度不會影響未在前向傳播中使用的矩陣元素。

在實際操作中，該過程是通過創(chuàng)建一個掩膜（mask）來實現(xiàn)的，該掩膜會記住在前向傳播中所使用的元素的位置，隨后我們就可以用該掩膜來傳遞梯度。

Figure 13.Max pooling backwardpass