狀態(tài)變量過濾器電路運(yùn)算公式和函數(shù)頻率案例及設(shè)計深度摘要

狀態(tài)變量濾波器是一種多反饋濾波器電路，可以產(chǎn)生所有三種濾波器響應(yīng)，低通，高通來自同一個有源濾波器設(shè)計的帶通。

狀態(tài)變量濾波器使用三個（或更多）運(yùn)算放大器電路（有源元件）級聯(lián)在一起產(chǎn)生單個濾波器輸出，但如果需要，還可以添加一個額外的求和放大器，以產(chǎn)生第四個陷波濾波器輸出響應(yīng)。

狀態(tài)變量濾波器二階RC有源濾波器由兩個相同的運(yùn)算放大器積分器組成，每個積分器用作一階單極點低通濾波器，一個求和放大器，我們可以圍繞它設(shè)置濾波器增益及其阻尼反饋網(wǎng)絡(luò)。來自所有三個運(yùn)算放大器級的輸出信號被反饋到輸入端，允許我們定義電路的狀態(tài)。

狀態(tài)變量濾波器設(shè)計的主要優(yōu)點之一是所有三個過濾主要參數(shù)，增益（ A ），轉(zhuǎn)角頻率，? C ，過濾器 Q 可以調(diào)整或在不影響濾波器性能的情況下獨立設(shè)置。

實際上如果設(shè)計正確，-3dB轉(zhuǎn)角頻率（?c）指向低通幅度響應(yīng)和高通幅度響應(yīng)應(yīng)與帶通階段的中心頻率點相同。即? LP（-3dB） 等于? HP（-3dB） 等于?<子> BP（中心） 。此外，帶通濾波器響應(yīng)的阻尼因子（ζ）應(yīng)等于1 / Q，因為Q將設(shè)置為-3dB，（0.7071）。

雖然濾波器提供低通（LP），高通（HP）和帶通（BP）輸出這類濾波器電路的主要應(yīng)用是作為狀態(tài)可變帶通濾波器設(shè)計，其中心頻率由兩個RC整數(shù)設(shè)定。 / p>

雖然我們之前已經(jīng)看到帶通濾波器的特性可以通過簡單地將低通濾波器與高通濾波器級聯(lián)在一起來獲得，但狀態(tài)可變帶通濾波器的優(yōu)勢在于它們可以被調(diào)諧到高度選擇性（高Q值）在中心頻率點提供高增益。

有幾種狀態(tài)可變?yōu)V波器設(shè)計可用，所有這些都基于標(biāo)準(zhǔn)濾波器設(shè)計，可提供反相和非反相變化。但是，基本濾波器設(shè)計對于兩種變化都是相同的，如下面的框圖表示所示。

狀態(tài)變量濾波器框圖

然后我們可以從上面的基本框圖中看到狀態(tài)變量過濾器有三個可能的輸出，V HP ，V BP 和V LP ，三個運(yùn)算放大器各一個。通過增加第四個運(yùn)算放大器也可以實現(xiàn)陷波濾波器響應(yīng)。

通過恒定輸入電壓，V IN ，求和放大器的輸出產(chǎn)生高通響應(yīng)也成為第一個RC積分器的輸入。該積分器的輸出產(chǎn)生帶通響應(yīng)，該響應(yīng)成為第二個RC積分器的輸入，在其輸出端產(chǎn)生低通響應(yīng)。因此，可以找到每個輸出相對于輸入電壓的單獨傳遞函數(shù)。

因此，基本的非反相狀態(tài)變量濾波器設(shè)計如下：

狀態(tài)可變?yōu)V波器電路

并且狀態(tài)變量濾波器的三個輸出的幅度響應(yīng)將看起來像：

狀態(tài)變量過濾器的歸一化響應(yīng)

其中一個主要狀態(tài)變量濾波器的設(shè)計元素是它使用兩個運(yùn)算放大器積分器。正如我們在積分器教程中看到的那樣，運(yùn)算放大器集成器在其反饋環(huán)路中使用電容形式的頻率相關(guān)阻抗。使用電容時，輸出電壓與輸入電壓的積分成正比，如圖所示。

運(yùn)算放大器積分電路

為了簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，這也可以在頻域中重寫為：

輸出電壓 Vout 是一個常數(shù) 1 / RC 乘以輸入電壓的積分 Vin 與時間有關(guān)。積分器產(chǎn)生相位滯后，負(fù)號（ - ）表示180° o 相移，因為輸入信號直接連接到運(yùn)算放大器的反相輸入端。

對于上面的運(yùn)算放大器 A2 ，其輸入信號連接到前一個運(yùn)算放大器的輸出， A1 所以它的輸入以 V HP 給出，其輸出為 V BP 。然后從上面，運(yùn)算放大器 A2 的表達(dá)式可寫為：

然后通過重新排列此公式，我們可以找到反轉(zhuǎn)積分器的傳遞函數(shù)， A2

運(yùn)算放大器A2傳遞函數(shù)

完全相同的假設(shè)可以如上所述找到其他運(yùn)算放大器積分器的傳遞函數(shù)， A3

運(yùn)算放大器A3傳遞函數(shù)

所以兩個運(yùn)算放大器集成商 A2 和 A3 級聯(lián)連接在一起，所以第一個輸出（ V BP ）成為第二個的輸入。因此我們可以看到帶通響應(yīng)是通過積分高通響應(yīng)產(chǎn)生的，低通響應(yīng)是通過積分帶通響應(yīng)產(chǎn)生的。因此， V HP 和 V LP 之間的傳遞函數(shù)如下：

請注意，每個積分器級都提供反相輸出，但總和輸出為正，因為它們是反相積分器。如果使用與 R 和 C 完全相同的值，使得兩個電路具有相同的積分器時間常數(shù)，則可以將兩個放大器電路視為具有一個單個積分器電路轉(zhuǎn)角頻率? C 。

除了兩個積分電路外，濾波器還有一個差分求和放大器，提供其加權(quán)求和投入。這里的優(yōu)點是求和放大器的輸入 A1 將振蕩反饋，阻尼和輸入信號組合到濾波器，因為所有三個輸出都被反饋到求和輸入。

放大器求和電路

運(yùn)算放大器， A1 作為加法器 - 減法器連接電路。也就是說它將輸入信號 V IN 與運(yùn)算放大器的 V BP 輸出相加A2 并從中減去運(yùn)算放大器 A3 的 V LP 輸出，因此：

和

作為差分輸入，運(yùn)算放大器的 + V 和 -V 是相同的，即： + V - V ，我們可以重新排列上面的兩個表達(dá)式找到 A1 輸出的傳遞函數(shù)，高通輸出。

我們從上面知道， V BP 和 V LP 是兩個積分器的輸出， A2 和 A3 。通過將 A2 和 A3 的積分器方程代入上式，我們得到狀態(tài)變量濾波器的傳遞函數(shù)為：

狀態(tài)變量過濾傳遞函數(shù)

我們之前說過狀態(tài)變量過濾器產(chǎn)生三個過濾器響應(yīng)，低通，高通和帶通，帶通響應(yīng)是一個非常窄的高Q濾波器，這很明顯在上面的SVF傳遞函數(shù)中，因為它類似于標(biāo)準(zhǔn)的二階響應(yīng)。

歸一化的二階傳遞函數(shù)

濾波器轉(zhuǎn)角頻率，? C

如果我們使積分器的輸入電阻和反饋電容相同，那么狀態(tài)變量濾波器轉(zhuǎn)角頻率可以輕松調(diào)整情感總體 Q 。同樣，可以在不改變轉(zhuǎn)角頻率的情況下改變 Q 的值。然后轉(zhuǎn)角頻率為：

狀態(tài)可變?yōu)V波器轉(zhuǎn)角頻率

如果我們使反饋電阻 R3 和 R4 相同的值，那么從狀態(tài)變量濾波器輸出的每個濾波器的轉(zhuǎn)角頻率成為：

然后通過改變調(diào)諧電阻器來完成狀態(tài)變量轉(zhuǎn)角頻率的調(diào)節(jié)， R 或電容， C 。

狀態(tài)變量濾波器的特點不僅在于它們各自的輸出響應(yīng)，還在于濾波器“Q “，品質(zhì)因素。 Q 與帶通濾波器幅度響應(yīng)曲線的“銳度”有關(guān)， Q 越高，輸出響應(yīng)越高或越尖銳，導(dǎo)致濾波器具有高選擇性。

對于帶通濾波器， Q 定義為中心頻率除以濾波器-3dB帶寬，即 Q =?c/ BW 。但 Q 也可以從上述傳遞函數(shù)的分母中找到，因為它是阻尼因子（ζ）的倒數(shù)。然后 Q 給出為：

狀態(tài)變量過濾器的Q因子

同樣，如果電阻 R3 且 R4 相等且兩個積分器組件 R 且 C 相等，則最終的平方根表達(dá)式將減少為：√ 1 或簡單地 1 ，因為分子和分母相互抵消。

狀態(tài)變量過濾器示例No1

設(shè)計一個狀態(tài)變量過濾器，它有一個角（自然無阻尼）頻率，? C 1kHz，品質(zhì)因數(shù) Q 為10.假設(shè)頻率確定電阻和電容相等。確定濾波器的直流增益并繪制得到的電路和波特圖。

我們上面說過，如果電阻器 R 和反饋電容器， C 是相同的值，即 R = R 和 C = C ，濾波器的截止或轉(zhuǎn)角頻率點簡單地給出：

濾波器的拐角頻率

我們可以為電阻器或電容器選擇一個值來查找值另一個。如果我們?yōu)殡娙萜骷僭O(shè)一個合適的 10nF 值，那么電阻器的值將為：

給予 C = 10nF 且 R =15.9kΩ，或16kΩ到最接近的首選值。

的值> Q 以10給出。這與濾波器阻尼系數(shù)有關(guān)：

在上面的狀態(tài)變量傳遞函數(shù)中，2ζ部分是取而代之的是電阻器組合給出：

我們從上面知道 R =16kΩ和 C = 10nF ，但如果我們假設(shè)兩個反饋電阻 R3 且 R4 相同且等于10kΩ，那么上面的等式減少到：

假設(shè)輸入電阻值合適， R1 表示 1kΩ，然后我們可以找到 R2 的值，如下所示：

從標(biāo)準(zhǔn)化傳輸上面的函數(shù)，DC通帶增益定義為 A o ，并且從等效狀態(tài)變量濾波器傳遞函數(shù)，這相當(dāng)于：

SVF濾波器DC通帶增益

因此濾波器的直流電壓增益計算為1.9，基本上等于 R2 / R3 。此外，? C 時濾波器的最大增益可以計算如下： A o xQ ，如下所示。

SVF濾波器最大增益

狀態(tài)變量濾波電路

然后是國家的設(shè)計可變?yōu)V波器電路將： R =16kΩ， C = 10nF ， R1 =1kΩ， R2 =19kΩ和 R3 = R4 =10kΩ如圖所示。

狀態(tài)變量濾波器設(shè)計

我們現(xiàn)在可以在1到1MHz的頻率范圍內(nèi)繪制狀態(tài)變量濾波器電路的各個輸出響應(yīng)曲線到波特圖上，如圖所示。

狀態(tài)變量濾波器波特圖

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然后我們從上面的濾波器響應(yīng)曲線可以看出，濾波器電路的直流增益為5.57dB這相當(dāng)于開環(huán)電壓增益， A o 或1.9，如上所述。該響應(yīng)還表明，由于Q的值，輸出曲線在拐角頻率處的最大電壓增益達(dá)到峰值25.6dB。由于 Q 還將帶通濾波器中心頻率與其帶寬相關(guān)聯(lián)，因此濾波器的帶寬將為： f o / 10 = 100Hz 。

我們在這個狀態(tài)變量過濾器教程中已經(jīng)看到，我們可以使用多反饋技術(shù)來產(chǎn)生所有三個濾波器響應(yīng)，而不是產(chǎn)生一種頻率響應(yīng)的有源濾波器。 ，低通，高通和帶通同時來自同一個有源濾波器設(shè)計。

但同樣如在三個基本濾波器響應(yīng)中，我們可以在上面的基本狀態(tài)變量濾波器設(shè)計中添加一個額外的運(yùn)算放大器電路，以產(chǎn)生類似于標(biāo)準(zhǔn)陷波濾波器的第四個輸出響應(yīng)。

陷波濾波器設(shè)計

陷波濾波器濾波器基本上與帶通濾波器相反，因為它拒絕或停止特定頻段。然后陷波濾波器也稱為“帶阻濾波器”。為了從基本狀態(tài)可變?yōu)V波器設(shè)計中獲得陷波濾波器的響應(yīng)，我們必須使用另一個運(yùn)算放大器求和放大器 A4 將高通和低通輸出響應(yīng)加在一起，如圖所示。

陷波濾波器電路

這里為了簡單起見我們假設(shè)兩個輸入電阻， R5 和 R6 以及反饋電阻 R7 都具有相同的10kΩ值，與對于 R3 和 R4 。因此，這使陷波濾波器的增益為1，單位。

陷波濾波器和帶通濾波器的輸出響應(yīng)與帶通響應(yīng)的中心頻率相關(guān)，等于陷波濾波器的零響應(yīng)點，在本例中為1kHz。

此外，陷波的帶寬由電路 Q 確定，與通帶響應(yīng)完全相同。因此，向下的峰值等于中心頻率除以-3dB帶寬，即陷波兩側(cè)-3dB點之間的頻率差。請注意，品質(zhì)因數(shù) Q 與陷波的實際深度無關(guān)。

這種基本的陷波濾波器（帶阻）設(shè)計只有兩個輸入應(yīng)用于其求和放大器，低通輸出， V LP 和高通輸出， V HP 。但是，我們還有兩個信號可用于基本狀態(tài)變量濾波器電路，帶通輸出， V BP 和輸入信號本身， V IN 。

如果這兩個信號中的一個也用作陷波濾波器求和放大器的輸入以及低通和高通信號，那么可以控制陷波的深度。

根據(jù)您想要如何控制陷波濾波器部分的輸出，將取決于您將使用的兩個可用信號中的哪一個。如果需要在無阻尼固有頻率? o 時輸出陷波從負(fù)響應(yīng)變?yōu)檎憫?yīng)，則帶通輸出信號 V BP 將被使用。

同樣，如果要求輸出陷波僅在其向下負(fù)深度變化，則輸入信號 V 。如果通過可變電阻器將這兩個附加信號中的任何一個連接到運(yùn)算放大器求和放大器，則可以完全控制陷波的深度和方向。考慮下面修改的陷波濾波器電路。

可變陷波濾波器深度

狀態(tài)變量濾波器摘要

狀態(tài)可變?yōu)V波器，（SVF）電路是一種二階有源RC濾波器設(shè)計，它使用多種反饋技術(shù)產(chǎn)生三種不同的頻率響應(yīng)輸出，即：<來自同一個過濾器的em> Low Pass ， High Pass 和 Band Pass 。狀態(tài)變量濾波器優(yōu)于其他基本濾波器設(shè)計的優(yōu)點是可以獨立調(diào)整三個主要濾波器參數(shù)：增益， Q 和?c。

我們在這里也看到過濾器也很容易調(diào)整，因為轉(zhuǎn)角頻率?c可以通過改變 R 或 C來設(shè)置和調(diào)整不影響濾波器阻尼系數(shù)。但是，在較高的轉(zhuǎn)角頻率和較大的阻尼系數(shù)下，濾波器會變得不穩(wěn)定，因此最好在低 Q ，小于10和低轉(zhuǎn)角頻率下使用。

基本狀態(tài)可變?yōu)V波器設(shè)計使用三個運(yùn)算放大器部分來產(chǎn)生其輸出，但我們也看到，通過增加第四個運(yùn)算放大器部分將低通和高通部分相加，一個陷波（帶阻）濾波器輸出響應(yīng)也可以在所需的中心頻率下實現(xiàn)。