Batch Norm的工作原理2018年被MIT的研究人員推翻

Batch Normalization在2015年被谷歌提出，因?yàn)槟軌蚣铀儆?xùn)練及減少學(xué)習(xí)率的敏感度而被廣泛使用。

但論文中對(duì)Batch Norm工作原理的解釋在2018年被MIT的研究人員推翻，雖然這篇論文在2018年就已經(jīng)提出了，但是我相信還有很多人和我一樣，在網(wǎng)上看相關(guān)博客及paper時(shí)，大部分內(nèi)容還是論文提出前寫(xiě)下的。

現(xiàn)在DL逐漸變成了實(shí)驗(yàn)科學(xué)，一般在發(fā)現(xiàn)性能上的提升后去分析其產(chǎn)生的原因，但這片論文的思想很好，從數(shù)據(jù)、公式等一系列角度去推理，分析出來(lái)了為什么batch Normalization能work。

batch Normalization的提出

拋開(kāi)Norm，我們?cè)谧鎏卣鞴こ虝r(shí)，經(jīng)常會(huì)將輸入進(jìn)行歸一化，否則如果某個(gè)特征數(shù)特別大（比如說(shuō)一個(gè)特征是0-1，一個(gè)特征是0-1000），那第二個(gè)特征很有可能會(huì)對(duì)整個(gè)模型參數(shù)造成很大的影響。或者說(shuō)，當(dāng)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)的分布不一致時(shí)，例如前一個(gè)輸入的各特征范圍是0-1，后一個(gè)是0-100，網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練效果也不會(huì)很好。

所以，就像很多人說(shuō)的一樣，我們希望在deep learn中，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中流過(guò)的數(shù)據(jù)都是獨(dú)立同分布的。

為什么需要獨(dú)立同分布？

我覺(jué)得這事可以從兩方面去解釋，

一方面我們希望對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練后，在測(cè)試集上能夠發(fā)揮很好的性能。那么我們就需要保證訓(xùn)練集和測(cè)試集是來(lái)自同一個(gè)空間，準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，是符合同一分布，這對(duì)同分布提出了要求。此外，在雖然數(shù)據(jù)來(lái)自同一個(gè)空間，但我們并不希望所有數(shù)據(jù)都聚集在空間中的某一小撮，而是希望所有數(shù)據(jù)對(duì)于整個(gè)空間來(lái)說(shuō)都具有一定代表性，因此在采樣的過(guò)程中我們希望是獨(dú)立得去采樣所有的數(shù)據(jù)。

另一方面，其實(shí)是從另一個(gè)角度來(lái)闡述上一段話，如果數(shù)據(jù)之間不是同分布的，比如說(shuō)樣本1所有的特征都處于0-1之間，樣本2處于10-100，那么網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)其實(shí)很難去同時(shí)迎合兩類分布的數(shù)據(jù)。

batch Normalization做了什么？

上面講到了數(shù)據(jù)在最初進(jìn)來(lái)的時(shí)候，都希望是獨(dú)立同分布的。但是batch Normalization的作者覺(jué)得不夠，應(yīng)該在deep learning中的每層都進(jìn)行一次處理，保證在每層都是同分布。

他是這么想的：假設(shè)網(wǎng)絡(luò)有n層，網(wǎng)絡(luò)正在訓(xùn)練，還沒(méi)有收斂。這時(shí)候x1被輸入，經(jīng)過(guò)了第一層，但是第一層還沒(méi)有學(xué)到正確的weight，所以經(jīng)過(guò)weight的矩陣乘法后，第二層的數(shù)會(huì)不會(huì)很亂？會(huì)不會(huì)第二層有些節(jié)點(diǎn)值是個(gè)位數(shù)，有些節(jié)點(diǎn)值蹦到好幾百？細(xì)想一下，確實(shí)挺有可能啊，內(nèi)部的參數(shù)都是隨機(jī)初始化的，那蹦啥結(jié)果確實(shí)不好說(shuō)啊。然后恐怖的事情來(lái)了，第二層這些亂蹦的數(shù)，又輸?shù)搅说谌龑?，那第三層的輸入就是亂蹦的數(shù)，輸出當(dāng)然好不了，以此類推。

所以主要產(chǎn)生了兩個(gè)問(wèn)題：

1.所以在前面的網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有收斂的時(shí)候，后面的網(wǎng)絡(luò)其實(shí)并學(xué)不到什么。一棟大樓底部都是晃的，那上面也好不了。所以必須要等前面的層收斂后，后面層的訓(xùn)練才有效果。

2.因?yàn)橐话銇?lái)說(shuō)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部每層都需要加一層激活來(lái)增加非線性化嘛，那么如果值比較大，它通過(guò)激活以后在S曲線上會(huì)比較接近0或1，梯度很小，收斂會(huì)很慢。

所以batch Normalization就想在每層都加一個(gè)norm進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，讓每層的數(shù)分布相同，變成均值0，方差1的標(biāo)準(zhǔn)分布。高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)化公式就是下面式子中括號(hào)內(nèi)的部分。值減去均值再除以方差，能夠得到均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。至于γ和β，是需要學(xué)習(xí)的兩個(gè)參數(shù)，γ對(duì)數(shù)據(jù)的方差再進(jìn)行一個(gè)縮放，β對(duì)數(shù)據(jù)的均值產(chǎn)生一個(gè)偏移。

為什么歸一化成均值0，方差1后，還要再修改方差和均值？那歸一化還有意義嗎？

這是因?yàn)槲覀儾⒉荒鼙ＷC這層網(wǎng)絡(luò)學(xué)到的特征是什么，如果簡(jiǎn)單的歸一化，很有可能會(huì)被破壞。比如說(shuō)S型激活函數(shù)，如果這層學(xué)到的特征在S的頂端那塊，那么我們做歸一化以后，強(qiáng)行把特征帶到了S的中間位置，特征就被破壞了。要注意γ和β是被訓(xùn)練的參數(shù)，且每層都不一樣，所以針對(duì)每一層的實(shí)際情況，它會(huì)去嘗試恢復(fù)這層網(wǎng)絡(luò)所學(xué)到的特征。

結(jié)果

使用VGG網(wǎng)路，CIFAR10數(shù)據(jù)集（下圖），可以看到與不加相比：

1.訓(xùn)練前期的準(zhǔn)確率要高，也就是收斂更快。

2.減少對(duì)learning rate的敏感度，圖二在lr=0.5時(shí)，不加norm的網(wǎng)絡(luò)直接震蕩了，但加nrom的仍然表現(xiàn)良好。

所以batch normalization其實(shí)原理不是很高深，只是在每層都加了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化，使得數(shù)據(jù)同分布，再對(duì)其方差和均值進(jìn)行一個(gè)變換以恢復(fù)該層捕捉到的特征。最后產(chǎn)生了兩大改變，首先收斂更快，其次對(duì)lr的敏感度降低。

那網(wǎng)絡(luò)內(nèi)每層進(jìn)行一個(gè)歸一化，為啥這么簡(jiǎn)單的一個(gè)思想，一直沒(méi)有被運(yùn)用呢？是researcher想不到嗎？

我相信有很多researcher都嘗試過(guò)將各層都重新標(biāo)準(zhǔn)化，但我相信最后的效果一定不太好，因?yàn)楹芏嗵卣髦匦滦薷臑榫?方差1后，特征的信息會(huì)被丟失。所以作者理論的突破性在歸一化以后又使用γ和β重新將數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行了一個(gè)修改，以此來(lái)找回丟失的特征，當(dāng)然了，只要讓這兩個(gè)參數(shù)能夠自學(xué)習(xí)就可以了。

其實(shí)現(xiàn)在大部分博客沿用的解釋，都是上面這種。包括我之前一直也認(rèn)為是這樣。

但是《How Does Batch Normalizetion Help Optimization》這篇論文認(rèn)為，使用norm后的網(wǎng)絡(luò)收斂更快，lr敏感度更低是對(duì)的，但不是因?yàn)檎撐睦镎f(shuō)的這種原因，而是因?yàn)槊繉拥臉?biāo)準(zhǔn)化使得最后的loss函數(shù)變成了一個(gè)光滑的曲面而造成的最后性能提優(yōu)。下面來(lái)闡述一下思想：

batch Normalization 解釋的反駁

實(shí)驗(yàn)測(cè)試

MIT的研究人員并沒(méi)有在論文的一開(kāi)始就提出了自己的解釋。而是說(shuō)，如果原作者說(shuō)的是對(duì)的，那我們就先按照原作者的思路去驗(yàn)證一下（因?yàn)樯婕皟善猵aper，所以本文將batch normalization的提出者寫(xiě)為原作者，How Does Batch Normalizetion Help Optimization的作者寫(xiě)為來(lái)自MIT的研究人員）：

原作者認(rèn)為是因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)中各層都標(biāo)準(zhǔn)化后使得分布相同，因此造成的性能提優(yōu)。

來(lái)自MIT的研究人員做了三個(gè)實(shí)驗(yàn)作為對(duì)比：不適使用norm的普通網(wǎng)絡(luò)、使用nrom的普通網(wǎng)絡(luò)及添加噪音的Norm網(wǎng)絡(luò)。

Norm網(wǎng)絡(luò)添加噪音是考慮到原作者認(rèn)為是同分布造成的性能提優(yōu)。那么來(lái)自MIT的研究人員就在Norm網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，給各層再手動(dòng)添加噪音，這樣使得第三個(gè)網(wǎng)絡(luò)雖然使用了norm，但每層的分布已經(jīng)被打亂，不再滿足同分布的情況。

下圖中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，即使nrom網(wǎng)絡(luò)添加了噪音，但性能仍然和添加norm的網(wǎng)絡(luò)差不多。

那么最后造成性能提升的原因，肯定不是數(shù)據(jù)同分布這一解釋，也就是說(shuō)原作者給出的解釋是錯(cuò)的，一定有其他的原因。

batch Normalization新解釋的直觀理解

在基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)中，我們都知道在設(shè)計(jì)loss的時(shí)候希望loss函數(shù)是光滑的，這樣我們可以很順利地使用梯度下降來(lái)更新參數(shù)并找到一個(gè)較優(yōu)點(diǎn)。但很多時(shí)候loss并不是我們想象中的那么美好。比如說(shuō)下圖，左邊和右邊都是loss函數(shù)，但是左邊的loss雖然連續(xù)，但并不光滑。在梯度下降過(guò)程中很難保證下降的有效性和快速性，此外也很容易陷入局部最優(yōu)解。而右邊的圖雖然在四個(gè)頂點(diǎn)出也有局部最優(yōu)解，但總體上來(lái)說(shuō)還是非常理想的一個(gè)loss。

MIT的研究人員認(rèn)為batch normalization的有效性在于它將左邊的原始loss轉(zhuǎn)變成了右邊的loss，造成了上文提到的兩種結(jié)果：

1.收斂速度變。

2.對(duì)學(xué)習(xí)率的設(shè)置不再那么敏感。

分析

MIT的研究員定義了兩個(gè)函數(shù)：

第一個(gè)是loss的值的計(jì)算，就是下面第一個(gè)公式，內(nèi)部的loss是當(dāng)前的loss，隨后對(duì)loss求導(dǎo)，再乘以學(xué)習(xí)率，x是內(nèi)部的參數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行一個(gè)更新，隨后將新參數(shù)放入loss函數(shù)中，計(jì)算當(dāng)前l(fā)oss的值。別看這個(gè)公式看起來(lái)有點(diǎn)繞，實(shí)際上就是求當(dāng)前的loss值。

第二個(gè)公式是計(jì)算loss的梯度差，也可以看成loss的二次求導(dǎo)吧（我感覺(jué)）。

論文中之所以提出這兩個(gè)公式，是為了得到兩個(gè)量。

第一個(gè)公式可以得到訓(xùn)練過(guò)程中的loss，那么把每一個(gè)step的loss都拿出來(lái)繪制成一條曲線，該曲線可以認(rèn)為是loss的波動(dòng)情況。我認(rèn)為如果一個(gè)loss函數(shù)本身是比較光滑的，那么第一個(gè)公式求出來(lái)的loss值并不會(huì)有一個(gè)比較大的浮動(dòng)。

第二個(gè)量是計(jì)算loss的梯度差，它可以認(rèn)為山坡在沿著下降的方向走時(shí)，方向改變是否會(huì)較大。也就是說(shuō)，一個(gè)比較好的loss函數(shù)，在每一個(gè)step中，loss所得到的梯度應(yīng)該是不會(huì)浮動(dòng)太大的。就好像從山上往下走，我們向下的方向一般都不會(huì)在瞬間改變太大，而不是說(shuō)往下平滑地走著走著（loss梯度穩(wěn)定），突然前面是個(gè)懸崖（loss梯度驟變），而應(yīng)該是有個(gè)臺(tái)階（loss梯度平滑改變）。

MIT研究人員將使用norm和普通的網(wǎng)絡(luò)對(duì)這兩個(gè)量進(jìn)行了對(duì)比：

可以看到不使用norm的網(wǎng)絡(luò)（紅色），loss的梯度差浮動(dòng)均較大。而使用了norm的網(wǎng)絡(luò)（藍(lán)色）浮動(dòng)很小。也就從側(cè)面印證了普通網(wǎng)絡(luò)的loss比較趨向于左圖。而使用了norm的，loss趨向右圖。

上面這兩個(gè)公式其實(shí)就是整篇論文的核心，MIT的研究人煙也正是基于這兩個(gè)量從而對(duì)原文進(jìn)行了反駁。

1.在論文中使用了L-Lipschitz常數(shù)來(lái)定量loss的光滑程度（也就是公式1干的事），限制了loss的光滑程度，（以下定義來(lái)自百度百科）

L-Lipschitz：直覺(jué)上，利普希茨連續(xù)函數(shù)限制了函數(shù)改變的速度，符合利普希茨條件的函數(shù)的斜率，必小于一個(gè)稱為利普希茨常數(shù)的實(shí)數(shù)（該常數(shù)依函數(shù)而定）。對(duì)于在實(shí)數(shù)集的子集的函數(shù)

，若存在常數(shù)K，使得

，則稱 f 符合利普希茨條件，對(duì)于f 最小的常數(shù)K 稱為 f 的利普希茨常數(shù)。

我個(gè)人覺(jué)得就是換了種說(shuō)法，就是限制loss的一階導(dǎo)數(shù)要小于常數(shù)k。一階導(dǎo)數(shù)在曲線上表現(xiàn)的是斜率必須小于一個(gè)值，也就是說(shuō)斜率不能過(guò)大。在這一條件的限制下，loss的面哪怕下降，也是很緩的。

2.論文使用了另一個(gè)更強(qiáng)的光滑條件來(lái)限制：β-smoothness（也就是公式2干的事）。

β-smoothness限制了就是loss斜率的斜率（可以簡(jiǎn)單看成斜率差）不能超過(guò)一定值。

我認(rèn)為這本質(zhì)上其實(shí)就是二階求導(dǎo)。對(duì)二階求導(dǎo)后的結(jié)果進(jìn)行了一個(gè)限制，使得函數(shù)在二階條件下仍然是一個(gè)較為平滑、不會(huì)大幅度突變的函數(shù)。

也正是因?yàn)槭褂昧薭atch norm的網(wǎng)絡(luò)，它的loss從原先的原始凹凸不平狀態(tài)變成了一個(gè)能滿足L-Lipschitz及β-smoothness兩個(gè)強(qiáng)條件的原因，使得bath norm能夠work。

總結(jié)

原作者提出了batch norm，并造成了兩個(gè)結(jié)果：

1.收斂更快。

2.對(duì)learning rate的敏感度更低（也就是說(shuō)lr的設(shè)置是否合理不會(huì)很大程度地影響最終結(jié)果）。

并且認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)中每層都進(jìn)行了一次同分布，是造成結(jié)果的主要原因。

MIT研究員根據(jù)這一思路，將使用norm的網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)添加高斯噪聲，使得網(wǎng)絡(luò)在添加了norm的同時(shí)又去除了norm所帶來(lái)的同分布效果，但結(jié)果顯示優(yōu)勢(shì)仍然存在，因此對(duì)原作者的解釋進(jìn)行了反駁。

隨后MIT研究人員使用了loss的一階信息和二階信息進(jìn)行了評(píng)估，發(fā)現(xiàn)使用了norm以后的loss在一階和二階上都具有很好的性質(zhì)，由此推斷nrom之所以能產(chǎn)生效果，不是原作者提出的解釋，而是因?yàn)閚orm直接作用了loss函數(shù)，將loss函數(shù)變成了一個(gè)一階、二階均平滑的函數(shù)。