控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型有三種：傳遞函數(shù)、零極點增益和狀態(tài)空間。每種模型均有連續(xù)/離散之分，它們各有特點，有時需在各種模型之間進行轉(zhuǎn)換。本節(jié)主要介紹它們的MATLAB表示及三種模型之間的相互轉(zhuǎn)換。
2.8.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB表示
1． 傳遞函數(shù)模型
當：
則在MATLAB中，直接用分子/分母的系數(shù)表示，即
????????num=[b0，b1，…，bm]；
????????den = [a0，a1，…，an]；
例2-7 用MATLAB表示傳遞函數(shù)為  的系統(tǒng)。
解：在MATLAB環(huán)境下輸入
ng=[1 1]; dg=[1 3 2];
printsys(ng,dg) %此處printsys命令是傳遞函數(shù)顯示命令。
則執(zhí)行后得到如下結(jié)果：
2． 零極點增益模型
當：
 時 |
則在MATLAB中，用[z，p，k]矢量組表示，即
????????z=[z0，z1，…，zm]；
????????p=[p0，p1，…，pn]；
????????k=[k]；
例2-8 用MATLAB表示傳遞函數(shù)為  的系統(tǒng)。
解：在MATLAB環(huán)境下輸入
z=-1; p=[0 -1 -2]; k=1.5;
[num,den]=zp2tf[z,p,k];
printsys(num,den) %此處printsys命令是傳遞函數(shù)顯示命令。
則執(zhí)行后得到如下結(jié)果：
3． 狀態(tài)空間模型
當：
 時 |
則在MATLAB中，該控制系統(tǒng)可用（a，b，c，d）矩陣組表示。
4． 傳遞函數(shù)的部分分式展開
當：
 時 |
在MATLAB中直接用分子/分母的系數(shù)表示時有
????num=[b0，b1，…，bm]；
????den = [a0，a1，…，an]；
則命令
????[r,p,k] = residue(num,den)
將求出兩個多項式Y(jié)(s)和X(s)之比的部分分式展開的留數(shù)、極點和直接項。Y(s)/X(s)的部分分式展開由下式給出：
例2-A2 考慮下列傳遞函數(shù)：
命令 [r,p,k] = residue(num,den)
將給出下列結(jié)果：
[r,p,k]=residue(num,den)
r=
-6.000
-4.000
3.000
p=
-3.000
-2.000
-1.000
k=
2
留數(shù)為列向量r，極點位置為列向量p，直接項是行向量k。以下是Y(s)/X(s)的部分分式展開的MATLAB表達形式：
命令
[num,den] = residue(r,p,k)
執(zhí)行后得到如下結(jié)果：
[num,den]=residue(r,p,k)
num=
2.0000 5.0000 3.0000 6.0000
den=
1.0000 6.0000 11.0000 6.0000
2.8.2離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB表示
1． 傳遞函數(shù)模型：
2． 零極點增益模型：
3． 狀態(tài)空間模型：
2.8.3模型之間的轉(zhuǎn)換
同一個控制系統(tǒng)都可用上述三種不同的模型表示，為分析系統(tǒng)的特性，有必要在三種模型之間進行轉(zhuǎn)換。MATLAB的信號處理和控制系統(tǒng)工具箱中，都提供了模型變換的函：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss，zp2tf，它們的關(guān)系可用圖2-17所示的結(jié)構(gòu)來表示。
 |
圖2-18 三種模型之間的轉(zhuǎn)換 |
說明：
ss2tf命令：將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。
格式為：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
式中，iu為輸入的序號。轉(zhuǎn)換公式為
ss2zp命令：將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成零極點增益模型。
格式為：[Z, P, K]=ss2zp(A, B, C, D, iu)
式中，iu為輸入的序號。
tf2ss命令：將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型。
格式為：[A, B, C, D]=tf2ss(num, den)
tf2zp命令：將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點增益模型。
格式為：[Z, P, K]=tf2zp(num, den)
zp2ss命令：將零極點模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型。
格式為：[A, B, C, D]=zp2ss(Z, P, K)
zp2tf命令：將零極點模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。
格式為：[num, den]=zp2tf(Z, P, K)
2.8.4控制系統(tǒng)建模
對簡單系統(tǒng)的建模可直接采用三種基本模型：傳遞函數(shù)、零極點增益、狀態(tài)空間模型。但實際中經(jīng)常遇到幾個簡單系統(tǒng)組合成一個復(fù)雜系統(tǒng)。常見形式有：并聯(lián)、串聯(lián)、閉環(huán)及反饋等連接。
1． 并聯(lián)：將兩個系統(tǒng)按并聯(lián)方式連接，在MATLAB中可用parallel函數(shù)實現(xiàn)。命令格式為：[nump, denp] = parallel(num1, den1, num2, den2) 其對應(yīng)的結(jié)果為：Gp(s)=G1(s)+G2(s)
2． 串聯(lián)：將兩個系統(tǒng)按串聯(lián)方式連接，在MATLAB中可用series函數(shù)實現(xiàn)。命令格式為：[nums, dens] = series(num1, den1, num2, den2) 其對應(yīng)的結(jié)果為：Gs(s)=G1(s)+G2(s)
3． 閉環(huán)：將系統(tǒng)通過正負反饋連接成閉環(huán)系統(tǒng)，在MATLAB中可用feedback函數(shù)實現(xiàn)。命令格式為：[numf, denf] = feedback(num1, den1, num2, den2, sign) sign為可選參數(shù)，sign=-1為負反饋，而sign=1對應(yīng)為正反饋。缺省值為負反饋。其對應(yīng)的結(jié)果為：
4． 單位反饋：將兩個系統(tǒng)按反饋方式連接成閉環(huán)系統(tǒng)（對應(yīng)于單位反饋系統(tǒng)），在MATLAB中可用cloop函數(shù)實現(xiàn)。命令格式為：[numc, denc] = cloop(num, den, sign) sign為可選參數(shù)，sign=-1為負反饋，而sign=1對應(yīng)為正反饋。缺省值為負反饋。其對應(yīng)的結(jié)果為：
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式中，q為電荷量，C為電容。式（2-5）可改寫為
，
，那么方程（2-6）可以在該點附近展開成泰勒級數(shù)： 
,
附近展開成泰勒級數(shù)。這時方程（2-10）可寫成
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