控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法--二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

在分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性常被視為一種基準(zhǔn)。雖然在實(shí)際中幾乎沒(méi)有二階系統(tǒng)，而是三階或更高階系統(tǒng)，但是它們有可能用二階系統(tǒng)去近似，或者其響應(yīng)可以表示為一、二階系統(tǒng)響應(yīng)的合成。因此，將對(duì)二階系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行重點(diǎn)討論。

典型的二階系統(tǒng)的方框圖如圖3-6所示，它由一個(gè)非周期環(huán)節(jié)和一個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

令

則

從上式不難求得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為

(3-12)

式中?ζ ：阻尼比

????ωn：無(wú)阻尼自然振蕩角頻率

振蕩角頻率ωd的單位本為rad/s，但因弧度本身無(wú)量綱，只表示比值的概念。在研究控制系統(tǒng)時(shí)習(xí)慣上寫(xiě)為s-1，同時(shí)也常簡(jiǎn)稱(chēng)ωd為頻率。

由式（3-12）可知，系統(tǒng)極點(diǎn)的實(shí)部為σ，它控制著時(shí)間響應(yīng)的暫態(tài)分量是發(fā)散還是衰減，以及暫態(tài)分量隨時(shí)間的變化率。當(dāng)σ>0時(shí)，暫態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)而發(fā)散，當(dāng)σ<0時(shí)，暫態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減。由于σ＝-ζωn，且ωn不可能為負(fù)值，所以，又可以看出，當(dāng) ζ<0時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)將隨時(shí)間增長(zhǎng)而發(fā)散，而當(dāng) ζ>0時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)才能隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減。

當(dāng)阻尼比ζ=1時(shí)，系統(tǒng)具有兩重實(shí)極點(diǎn)，于是系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)中沒(méi)有周期分量，暫態(tài)響應(yīng)將隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律而單調(diào)衰減。此時(shí)稱(chēng)系統(tǒng)處于臨界阻尼情況。

當(dāng)ζ=0時(shí)，系統(tǒng)將具有一對(duì)純虛數(shù)極點(diǎn)，其值為s₁,s₂=±jω此時(shí)稱(chēng)系統(tǒng)處于無(wú)阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)將是恒定振幅的周期函數(shù)，并且將 稱(chēng)為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率，或簡(jiǎn)稱(chēng)為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。

當(dāng)0< ζ<1時(shí)，系統(tǒng)具有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)將是振幅隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù)，此時(shí)稱(chēng)系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。

在圖3-7中表示出當(dāng) 為不同值時(shí)，相應(yīng)系統(tǒng)極點(diǎn)的分布與階躍響應(yīng)的圖形。

(a) ζ>1（左半平面有相異實(shí)根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(b) ζ=1（左半平面有相同實(shí)根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(c)0< ζ<1（左半平面有帶負(fù)實(shí)根的共軛虛根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(d)ζ =0（虛軸上帶共軛虛根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(e)0>ζ >-1（右半平面有帶正實(shí)根的共軛虛根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(f) ζ<-1（右半平面有相異正實(shí)根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

圖3-8說(shuō)明系統(tǒng)極點(diǎn)的位置與ζ 、ωn 、σ及ωd之間的關(guān)系。對(duì)于標(biāo)出的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)ωn是從極點(diǎn)到s平面原點(diǎn)的徑向距離，σ是極點(diǎn)的實(shí)部，ωd是極點(diǎn)的虛部，而阻尼比ζ等于極點(diǎn)到s平面原點(diǎn)間徑向線與負(fù)實(shí)軸之間夾角的余弦，即 ζ=cosθ

阻尼比ζ是二階系統(tǒng)的重要特征參量。

下面分析過(guò)阻尼、臨界阻尼和負(fù)阻尼三種情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

(1) 欠阻尼情況( 0< ζ<1 )

????此時(shí)

式中 ,ωd頻率叫阻尼自然頻率。對(duì)于單位階躍輸入，C(s)可以寫(xiě)成

為求出上式的拉普拉斯反變換，將上式寫(xiě)成下列形式

其拉普拉斯反變換為

（3-13）

由上式可以看出，暫態(tài)振蕩頻率為阻尼自然頻率，它是隨阻尼比ζ而變化的。這一系統(tǒng)的誤差信號(hào)，是輸入量與輸出量之差，即

顯然，這個(gè)誤差信號(hào)為一阻尼正弦振蕩。穩(wěn)態(tài)時(shí)或t=∞時(shí)，輸入量與輸出量之間不存在誤差。

如果阻尼比ζ等于零，那么系統(tǒng)的響應(yīng)變?yōu)闊o(wú)阻尼等幅振蕩。將ζ=0值代入（3-13），便可得到零阻尼情況下的響應(yīng)c(t)，即

從上式可以看出，ωn代表系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率。即如果阻尼系數(shù)減少到零時(shí)，系統(tǒng)將以頻率ωn振動(dòng)。如果線性系統(tǒng)具有一定阻尼，就不可能通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到無(wú)阻尼自然頻率，而只能得到阻尼自然頻率ωd，ωd 等于 。阻尼自然頻率總是低于無(wú)阻尼自然頻率ωd。ζ值增大時(shí)，阻尼自然頻率ωd將減小。如果ζ增加到大于1，系統(tǒng)的響應(yīng)將變成過(guò)阻尼，因而不再產(chǎn)生振蕩。

(2) 臨界阻尼情況（ζ=1）

如果C(s)/R(s)的兩個(gè)極點(diǎn)接近相等，則系統(tǒng)可近似看作臨界阻尼系統(tǒng)。對(duì)于單位階躍輸入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示為

上式的拉普拉氏反變換為：

(3) 過(guò)阻尼情況（ζ>1）

這種情況下，C(s)/R(s)的兩個(gè)極點(diǎn)是兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)。對(duì)于單位階躍輸入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以寫(xiě)成

其拉普拉斯反變換為

式中 ，而 ，顯然，這時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)包含著兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)。

當(dāng)ζ遠(yuǎn)大于1時(shí)，在兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)中，一個(gè)比另一個(gè)衰減的要快得多，因此衰減得比較快的指數(shù)項(xiàng)（相應(yīng)于較小時(shí)間常數(shù)的指數(shù)項(xiàng)），就可以忽略不計(jì)。也就是說(shuō)，如果-s2與j 軸的距離比-s1要近得多（即|s₁|>>|s₂| ），那么在近似解中，可以忽略-s1，因?yàn)榉匠讨邪瑂1的項(xiàng)比包含s2的項(xiàng)衰減得快的多，所以-s1對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，比-s2對(duì)系統(tǒng)的影響要小得多，因此忽略-s1是合理的。因此可以將C(s)/R(s)近似地表示為

這一近似函數(shù)形式是根據(jù)下述條件直接得到的，即原來(lái)的函數(shù)C(s)/R(s)與近似函數(shù)的初始值和最終值，兩者是完全相同的。

對(duì)于近似傳遞函數(shù)C(s)/R(s)，其單位階躍響應(yīng)可表示為

其時(shí)間響應(yīng)c(t)為

在過(guò)阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是隨時(shí)間推移而單調(diào)增長(zhǎng)，最后在t→∞時(shí)趨于穩(wěn)態(tài)值，所以最大超調(diào)量是零，調(diào)整時(shí)間可以用近似的單位階躍響應(yīng)估算，如借用一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的性質(zhì)，可以認(rèn)為響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%所需的調(diào)整時(shí)間

工程上，如果ζ》1.5時(shí)，使用上述近似式已有足夠的準(zhǔn)確度了。

當(dāng)系統(tǒng)為欠阻尼情況下，即0< ζ<1時(shí)，二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、最大超調(diào)量Mp的計(jì)算公式按式（3-13）可表示如下。

上升時(shí)間tr 令c(t)=1，代入式（3-13）中，即可求得tr。這時(shí)有

或

所以

（3-14）

由上式可見(jiàn)，如欲減小tr，當(dāng)ζ一定時(shí)，需增大ωn ，反之，若ωn一定時(shí)，則需減小ζ。

峰值時(shí)間tp 出現(xiàn)第一個(gè)峰時(shí)，單位階躍響應(yīng)隨時(shí)間的變化率為零。為求tp，可將式（3-13）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，并令其為零。于是得

由此可知：

??n=0、1、2、……

到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)應(yīng)有

故得

（3-15）

最大超調(diào)量Mp 最大超調(diào)量發(fā)生在t=tp，因此，令式（3-13）中的t=tp，并將tp值代入，即得以百分比表示的超調(diào)量

（3-16）

調(diào)整時(shí)間ts 對(duì)于欠阻尼二階系統(tǒng)，暫態(tài)響應(yīng)可由式（3-13）求得為

曲線 ，是系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的暫態(tài)響應(yīng)曲線的包絡(luò)線，響應(yīng)曲線c(t)總是包含在一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)，如圖3-9所示。包絡(luò)線的時(shí)間常數(shù)為1/(ζωn)。這樣，當(dāng)采用5%允許誤差時(shí)，有

1+=1.05

由上式得

當(dāng)0< ζ< 0.8時(shí)，則有

當(dāng)采用2%允許誤差時(shí)，則可推導(dǎo)得出

3.5.3二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)

當(dāng)輸入信號(hào)r(t)為單位脈沖函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的拉普拉斯變換為1，即R(s)=1。則二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)C(s)為

這個(gè)方程的拉普拉斯反變換，就是時(shí)域響應(yīng)解c(t)，這時(shí)當(dāng)0≤ζ<1時(shí)，

c(t)=??(t≥0)

當(dāng)ζ=1時(shí)

c(t)=??(t≥0)

當(dāng)ζ>1時(shí)

c(t)=??(t≥0)

不同ζ時(shí)單位脈沖響應(yīng)曲線見(jiàn)圖3-10。對(duì)ζ≥1的情況，單位脈沖響應(yīng)總是正值或在t=∞時(shí)為零。這時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)必是單調(diào)增長(zhǎng)的。

由于單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，所以單位脈沖響應(yīng)曲線與時(shí)間軸第一次相交的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間必是峰值時(shí)間tp，而從t=0至t=tp這一段曲線與時(shí)間軸所包圍的面積將等于1+Mp（參見(jiàn)圖3-11），而且單位脈沖響應(yīng)曲線與時(shí)間軸包圍的面積代數(shù)和為1。

3-10 圖示系統(tǒng)中 ζ=0.6，ωn =5弧度/秒。當(dāng)系統(tǒng)受到單位階躍輸入信號(hào)作用時(shí)，試求上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、最大超調(diào)量Mp和調(diào)整時(shí)間ts。

解：根據(jù)給定的 ζ和 ωn值，可以求得ωd = =4和 σ=ζωn =3。

1． 上升時(shí)間tr

上升時(shí)間為：

tr= =

式中β為： 弧度

因此，可求得上升時(shí)間tr為：tr= = 秒

2． 峰值時(shí)間tp

峰值時(shí)間為：

tp= = =0.785秒

3． 最大超調(diào)量Mp

最大超調(diào)量為：

Mp= = =0.095

因此，最大超調(diào)量百分比為9.5%。

4． 調(diào)整時(shí)間ts

對(duì)于2%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)，調(diào)整時(shí)間為：

ts= =4/3=1.33秒

對(duì)于5%允許誤差標(biāo)準(zhǔn)，調(diào)整時(shí)間為：

ts= =3/3=1秒