什么是拉普拉斯變換

什么是拉普拉斯變換

拉普拉斯變換：拉普拉斯變換（英文：Laplace Transform)，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。

如果定義： f(t),是一個(gè)關(guān)于t,的函數(shù)，使得當(dāng)t<0,時(shí)候，f(t)=0,；s, 是一個(gè)復(fù)變量；

mathcal 是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，它代表對(duì)其對(duì)象進(jìn)行拉普拉斯積分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯變換結(jié)果。

則f(t),的拉普拉斯變換由下列式子給出：

F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt

拉普拉斯逆變換，是已知F(s),，求解f(t),的過(guò)程。用符號(hào) mathcal ^ ,表示。

拉普拉斯逆變換的公式是：

對(duì)于所有的t>0,；

f(t)

= mathcal ^? left

=frac? int_ ^? F(s),e^? ,ds

c,是收斂區(qū)間的橫坐標(biāo)值，是一個(gè)實(shí)常數(shù)且大于所有F(s),的個(gè)別點(diǎn)的實(shí)部值。
為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見(jiàn)信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（見(jiàn)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見(jiàn)控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。

? 用 f(t)表示實(shí)變量t的一個(gè)函數(shù)，F(xiàn)(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復(fù)變量s＝σ＋j&owega;的一個(gè)函數(shù)，其中σ和&owega; 均為實(shí)變數(shù),j2＝-1。F(s)和f(t)間的關(guān)系由下面定義的積分所確定：


如果對(duì)于實(shí)部σ ＞σc的所有s值上述積分均存在，而對(duì)σ ≤σc時(shí)積分不存在，便稱 σc為f(t)的收斂系數(shù)。對(duì)給定的實(shí)變量函數(shù) f(t)，只有當(dāng)σc為有限值時(shí)，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習(xí)慣上,常稱F(s)為f(t)的象函數(shù),記為F(s)＝L[f(t)];稱f(t)為F(s)的原函數(shù),記為ft＝L-1[F(s)]。

? 函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì)? 利用定義積分，很容易建立起原函數(shù) f(t)和象函數(shù) F(s)間的變換對(duì)，以及f(t)在實(shí)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算與F(s)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì)。