關(guān)聯(lián)矩陣與節(jié)點(diǎn)電流定律

根據(jù)第一章中介紹的圖論知識(shí)可知，實(shí)際電路結(jié)構(gòu)可用一個(gè)有向圖來(lái)具體描述。如某一電路的有向圖如圖7-2-1所示，把有向圖各節(jié)點(diǎn)和支路編號(hào)，然后依次把各支路與相應(yīng)連接點(diǎn)的連接信息用數(shù)字形式記憶下來(lái)。根據(jù)這些信息可完整描述電路的聯(lián)接關(guān)系，若把這些信息輸入計(jì)算機(jī)，則計(jì)算機(jī)就會(huì)根據(jù)這些信息自動(dòng)識(shí)別電路關(guān)系，并應(yīng)用基爾霍夫定律建立相應(yīng)的電路方程，進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算。

圖 7-2-1

電路中支路與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系可用關(guān)聯(lián)矩陣來(lái)描述。設(shè)電路的節(jié)點(diǎn)數(shù)為，支路數(shù)為b。依次給節(jié)點(diǎn)和支路編號(hào)（節(jié)點(diǎn)編號(hào)用一圓圈加以區(qū)別），然后把有向圖用一個(gè)階矩陣來(lái)表示，記為。矩陣的行對(duì)應(yīng)于有向圖的節(jié)點(diǎn)，矩陣的列對(duì)應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)的支路。中的元素作如下定義：

??? （7-2-1）

?

式中，稱為電路的節(jié)點(diǎn)—支路關(guān)聯(lián)矩陣。例如對(duì)于圖7-2-1所示的電路，可寫出關(guān)聯(lián)矩陣為：

??????

關(guān)聯(lián)矩陣的每一列對(duì)應(yīng)于一條支路，每一支路必連接于二個(gè)節(jié)點(diǎn)，且方向?yàn)橐贿M(jìn)一出。因此的每一列中只包含二個(gè)非零元素＋1和－1，如上面關(guān)聯(lián)矩陣所示。如果把所有行的元素按列相加，則得到全零的行，因此矩陣的行不是彼此獨(dú)立的。對(duì)于中任一行元素可以通過(guò)把除該行以外的所有行相加并變號(hào)而獲得。

如果把的任一行劃去，剩下的矩陣為階矩陣，記作A。由上分析可知，用該新矩陣A來(lái)代替同樣能充分描述有向圖的連接關(guān)系，矩陣A稱為降價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣，劃去的行對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)即為參考節(jié)點(diǎn)，上圖中若以節(jié)點(diǎn)④為參考點(diǎn)，則其降價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣為

?

?

在實(shí)際應(yīng)用中通常采用降價(jià)關(guān)聯(lián)矩陣形式，因此在一般敘述中往往略去“降價(jià)”二字。關(guān)聯(lián)矩陣可由給定的網(wǎng)絡(luò)有向圖得出，同樣當(dāng)給定關(guān)聯(lián)矩陣A后也可推導(dǎo)出它所代表的有向圖。

關(guān)聯(lián)矩陣A的每一行是相互獨(dú)立的，每行之間是線性無(wú)關(guān)的，A的秩等于矩陣的行數(shù)。實(shí)際上由A的元素的定義可知，關(guān)聯(lián)矩陣的每一行反映了該節(jié)點(diǎn)的電流平衡關(guān)系式。A中線性獨(dú)立的n行代表了網(wǎng)絡(luò)中個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流平衡關(guān)系。

下面分析關(guān)聯(lián)矩陣A與支路電流，支路電壓，節(jié)點(diǎn)電位之間的關(guān)系。設(shè)網(wǎng)絡(luò)各支路電流為，支路電流方向與有向圖支路方向一致，用矩陣形式表示的支路電流列向量為。

若用關(guān)聯(lián)矩陣A左乘支路電流列向量i，可得一n行的列向量矩陣。由關(guān)聯(lián)矩陣的定義可知，該列向量中每一行的元素之和恰為離開該節(jié)點(diǎn)的支路電流與流入該節(jié)點(diǎn)的支路電流之代數(shù)和，且離開節(jié)點(diǎn)時(shí)電流為正，流入節(jié)點(diǎn)時(shí)電流為負(fù)。由基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律可知，節(jié)點(diǎn)電流代數(shù)和恒為零。因此可得A左乘i后其值為零向量，即有：

????????? ????????（7-2-2）

該式反映了網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)的電流平衡關(guān)系，稱為矩陣形式的基爾霍夫電流定律。對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)交流電路分析，上式可寫為：

????? ????????????（7-2-3）

對(duì)于圖7-2-1所示的網(wǎng)絡(luò)，設(shè)支路電流列向量為，該網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)矩陣已寫出，用A左乘i可得：

?

由式可見，的乘積列向量其實(shí)為n個(gè)節(jié)點(diǎn)的KCL方程式。

??????

在用節(jié)點(diǎn)電壓法解題時(shí)要用到節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓之間的關(guān)系。下面分析節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓之間關(guān)系的矩陣形式。設(shè)網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)電壓的列向量為，（式中為使節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓相區(qū)別，在下標(biāo)中用一加圈數(shù)字表示節(jié)點(diǎn)），參考節(jié)點(diǎn)的電壓為零。支路電壓列向量為。若用關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣左乘節(jié)點(diǎn)電壓列向量，可得一個(gè)b 行的列矩陣。前已指出，A中每一列只包含二個(gè)元素（若支路連接于參考節(jié)點(diǎn)，則該列只包含一個(gè)元素），反映支路所連接的二個(gè)節(jié)點(diǎn)，且為一正一負(fù)，即支路方向離開節(jié)點(diǎn)為正，反之為負(fù)。因此與乘積的列向量第一行中只包含該支路離開節(jié)點(diǎn)的電壓與指向節(jié)點(diǎn)的電壓之差，即為該支路的支路電壓值。因此左乘的值即為支路電壓列向量u，即有：

??? ?????????????（7-2-4）

對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)交流電路有：

??????????? ????（7-2-5）

對(duì)于圖7-2-1所示的網(wǎng)絡(luò)，其節(jié)點(diǎn)電壓列向量為，用左乘，得

????

?

式（7-2-4）反映了節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓之間的關(guān)系。