手把手教系列之IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

　　逸珺編外語(yǔ)：文章寫作過程雖談不上嘔心瀝血，但也可算絞盡腦汁。在此也呼吁粉絲朋友積極參與互動(dòng)，或點(diǎn)在看，或分享，或留言評(píng)論，當(dāng)然如能買杯咖啡，那就更好啦！如果大家對(duì)此類話題感興趣，我會(huì)寫出系列信號(hào)處理文章以答謝各位的厚愛，如果大家對(duì)此類話題不感興趣，就不在花過多時(shí)間整理發(fā)布了。在此感謝各位關(guān)注厚愛！

　　何為IIR濾波器？

　　無限沖激響應(yīng)（IIR：Infinite Impulse Response）是一種適用于許多線性時(shí)不變系統(tǒng)的屬性，這些系統(tǒng)的特征是具有一個(gè)沖激響應(yīng)h（t），該沖激響應(yīng)h（t）不會(huì)在特定點(diǎn)上完全變?yōu)榱悖菬o限期地持續(xù)。這與有限沖激響應(yīng)（FIR：Finite Impulse Response）系統(tǒng)形成對(duì)比，在有限沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)中，對(duì)于某個(gè)有限T，在時(shí)間t》 T時(shí)，沖激響應(yīng)確實(shí)恰好變?yōu)榱?。線性時(shí)不變系統(tǒng)的常見示例是大多數(shù)電子和數(shù)字濾波器。具有此屬性的系統(tǒng)稱為IIR系統(tǒng)或IIR濾波器。對(duì)于什么叫沖激響應(yīng)，這里就不展開解釋了，有興趣的可以查閱相關(guān)書籍。

　　這是常見的教科書式數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)定義，很多人看到這一下就蒙了，能說人話嗎？

　　線性時(shí)不變系統(tǒng)理論俗稱LTI系統(tǒng)理論，源自應(yīng)用數(shù)學(xué)，直接在核磁共振頻譜學(xué)、地震學(xué)、電路、信號(hào)處理和控制理論等技術(shù)領(lǐng)域運(yùn)用。它研究的是線性、非時(shí)變系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)的響應(yīng)。雖然這些系統(tǒng)的軌跡通常會(huì)隨時(shí)間變化（例如聲學(xué)波形）來測(cè)量和跟蹤，但是應(yīng)用到圖像處理和場(chǎng)論時(shí)，LTI系統(tǒng)在空間維度上也有軌跡。因此，這些系統(tǒng)也被稱為線性非時(shí)變平移，在最一般的范圍理論給出此理論。在離散（即采樣）系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)的術(shù)語(yǔ)是線性非時(shí)變平移系統(tǒng)。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統(tǒng)的一個(gè)很好的例子。比如一個(gè)運(yùn)放系統(tǒng)在一定頻帶范圍內(nèi)滿足信號(hào)的時(shí)域疊加，輸入一個(gè)100Hz和200Hz正弦信號(hào)，輸出頻率是這兩種信號(hào)的線性疊加。

　　用數(shù)學(xué)對(duì)LTI系統(tǒng)描述：

　　線性：輸入x1（t），產(chǎn)生響應(yīng) y1（t），而輸入x2（t），產(chǎn)生相應(yīng)y2（t） ， 那么放縮和加和輸入 ax1（t）+bx1（t）， 產(chǎn)生放縮、加和的響應(yīng)ay1（t）+by1（t），其中a和b是標(biāo)量，對(duì)于任意的有：

　　而對(duì)200Hz的正弦信號(hào)，假定其放大倍數(shù)為1.7倍。（做過運(yùn)放電路設(shè)計(jì)的朋友應(yīng)該有經(jīng)驗(yàn)，在其同頻帶其放大倍數(shù)往往并不平坦，也即幅頻響應(yīng)在頻帶內(nèi)不平坦，這是比較常見的）。也即輸入為：

　　那么如果輸入100Hz和200Hz的時(shí)域疊加信號(hào)，則其輸入為：

　　由這些圖可看出，輸入信號(hào)的形狀保持不變，輸出為對(duì)應(yīng)輸入的線性時(shí)域疊加。對(duì)于時(shí)不變，就不用圖描述了，在一個(gè)真實(shí)電路中，如果輸入延遲一定時(shí)間，則響應(yīng)對(duì)應(yīng)延遲相同時(shí)間輸出。

　　上面這么多文字只是為了描述在什么場(chǎng)合可以使用IIR濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字濾波?？偨Y(jié)而言，就是在線性時(shí)不變系統(tǒng)中適用。換言之，在大多數(shù)電路系統(tǒng)中我們都可以嘗試采用IIR濾波器進(jìn)行數(shù)字濾波。

　　那么究竟什么是IIR濾波器呢？從數(shù)字信號(hào)處理的書籍中我們能看到這樣的Z變換信號(hào)流圖：

　　上述數(shù)字濾波器，如果從編程的角度來看，x（n-1），表示上一次的信號(hào)，可能是來自ADC的上次采樣，而y（n-1）則為上一次濾波器的輸出值，對(duì)應(yīng)就比較好理解x（n-N）就表示前第n次輸入樣本信號(hào)，而y（n-M）則為前第M次濾波器的輸出。

　　說了這么多，只是為了更好的理解概念，只有概念理解正確，才能使用正確。概念理解這對(duì)工程師而言，非常之重要。

　　如何設(shè)計(jì)呢？

　　MATLAB提供了非常容易使用的FDATool幫助我們?cè)O(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，真正精彩的地方開始了，讓我們拭目以待究竟如何一步一步設(shè)計(jì)并實(shí)施一個(gè)IIR濾波器。首先打開MATLAB，在命令行中敲fdatool，然后敲回車

　　在設(shè)計(jì)具體，有幾個(gè)相關(guān)概念需要澄清：Fs：采樣率，單位為Hz，真實(shí)部署在系統(tǒng)中，請(qǐng)務(wù)必確保樣本是按照恒定采樣率進(jìn)行采樣，否則將得不到想要的效果。Fpass： 通頻帶，單位為Hz，即系統(tǒng)中期望通過的最高頻率。Fstop： 截至頻率，即幅頻響應(yīng)的-3dB處的頻率，這個(gè)如不理解，請(qǐng)自行查閱相關(guān)書籍。分貝dB： 這是一個(gè)無單位反應(yīng)輸出與輸入倍數(shù)的一個(gè)術(shù)語(yǔ)。電學(xué)中分貝與放大倍數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

　　A（V）（dB）=20lg（Vo/Vi）；電壓增益，Vo 為輸出電壓，Vi為輸入電壓

　　A（I）（dB）=20lg（Io/Ii）；電流增益，Io 為輸出電流，Ii為輸入電流

　　A（p）（dB）=10lg（Po/Pi）；功率增益，Po 為輸出功率，Pi為輸入功率

　　濾波器類型：這里有Butterworth（巴特沃斯）、Chebyshev Type I，Chebyshev Type II、（切比雪夫）、Elipic 等可選。

　　巴特沃斯 Butterworth，也被稱作最大平坦濾波器。巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有紋波。

　　切比雪夫 Chebyshev，是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動(dòng)的濾波器。切比雪夫?yàn)V波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。

　　橢圓 Elliptic，橢圓濾波器是在通帶和阻帶等波紋的一種濾波器。

　　…這里就不一一介紹了，有興趣可以去查信號(hào)處理書籍。

　　就其特點(diǎn)，這里對(duì)其中幾種略作介紹：

　　巴特沃斯具有最平坦的通帶。

　　橢圓濾波器衰減最快，但是通帶、阻帶都有波紋。

　　切比雪夫?yàn)V波器衰減比巴特沃斯快，但比橢圓濾波器慢，波紋區(qū)域可選擇。

　　假設(shè)我們需要設(shè)計(jì)一個(gè)IIR濾波器，采樣率為32000Hz， 有用信號(hào)頻率在10000Hz內(nèi)，設(shè)計(jì)IIR濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字濾波。這里為節(jié)省算力，我們指定濾波器的階數(shù)，也即傳遞函數(shù)中N/M中的最大值，一般而言N大于M。

　　這里指定階數(shù)為8階，類型指定為巴特沃斯型IIR濾波器，輸入階數(shù)8階，采樣率32000Hz，然后點(diǎn)擊Design Filter如下圖所示：

　　除此之外，我們還可以將幅頻與相頻曲線放在一個(gè)頻率坐標(biāo)上去看設(shè)計(jì)結(jié)果：

　　導(dǎo)出濾波器參數(shù)，這里我們選擇，

　　然后就得到了一個(gè)文件，保存2KHz_LPF.fcf，文件名隨你喜歡。

　
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　　所謂直接II型，SOS（second order section）理解很簡(jiǎn)單，本質(zhì)是將IIR Z傳遞函數(shù)分解為上述二階塊的級(jí)聯(lián)形式。

　　部署測(cè)試濾波器

　　到這里，沒有經(jīng)驗(yàn)的朋友可能會(huì)說，這么一堆參數(shù)我該咋用呢？

　　需要自己去寫前面描述的計(jì)算公式嗎？當(dāng)然你也可以這么做，這里就不寫了，ARM的CMSIS庫(kù)已經(jīng)幫大家設(shè)計(jì)好了種類繁多的數(shù)字信號(hào)處理函數(shù)實(shí)現(xiàn)了，而且經(jīng)過了測(cè)試，這里直接拿來用即可。有興趣自己寫也不難，只要理解Z傳遞函數(shù)概念內(nèi)涵，非常容易實(shí)現(xiàn)。這里我們采用32位浮點(diǎn)實(shí)現(xiàn)函數(shù)：

　　arm_biquad_cascade_df1_f32。該函數(shù)位于：

　　CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c

　　CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_f32.c

　　我們來看一看這個(gè)函數(shù)：

　　arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c：

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　　開始測(cè)試：

（編者注：以上是上截圖不完整部分的補(bǔ)充：）

　const float iir_coeffs［5*IIR_SECTION］={

　　0.035416141341387819，2*0.035416141341387819，0.035416141341387819，1.7193929141691948，-0.8610574795347461， 0.031387100113383172，2*0.031387100113383172，0.031387100113383172，1.5237898734101736，-0.64933827386370635， 0.028873109331868367，2*0.028873109331868367，0.028873109331868367，1.4017399331200424，-0.51723237044751591， 0.027673522765052503，2*0.027673522765052503，0.027673522765052503，1.3435020629061745，-0.45419615396638446

　　};

　　static arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;

　　/*假定采樣512個(gè)點(diǎn)*/

（補(bǔ)充完成，接上）
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　　利用csv文件，將模擬數(shù)據(jù)存儲(chǔ)，直接用excel打開，將行數(shù)據(jù)生成曲線圖如下：

　　有興趣也可以寫個(gè)界面直接顯示，甚至繪制出譜線圖，做進(jìn)一步分析。

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　　第一幅圖，為800Hz信號(hào)混入隨機(jī)噪聲的波形

　　第二幅圖，為4000Hz信號(hào)，對(duì)假定系統(tǒng)為無用干擾信號(hào)

　　第三幅圖， 為800Hz 混入隨機(jī)噪聲過濾后，已經(jīng)很好的還原有用信號(hào)頻率

　　第四幅圖， 為800Hz信號(hào)混入隨機(jī)噪聲，同時(shí)疊加4000Hz干擾的波形，對(duì)系統(tǒng)而言，從時(shí)域中，明顯可見，有用信號(hào)已經(jīng)完全扭曲

　　第五幅圖，為800Hz信號(hào)混入隨機(jī)噪聲，同時(shí)疊加4000Hz干擾的輸入，經(jīng)過該低通濾波器后的波形，與第三幅圖基本一樣，已經(jīng)非常好的濾除了干擾信號(hào)。

　　總結(jié)：

　　IIR濾波器在線性時(shí)不變系統(tǒng)中可以很好的解決工程中一般噪聲問題

　　如果需要設(shè)計(jì)帶通、高通濾波器其步驟基本類似，只是濾波器的參數(shù)以及SOS塊個(gè)數(shù)可能不一樣而已

　　需要提醒的時(shí)，IIR的相頻響應(yīng)不線性，如果系統(tǒng)對(duì)相頻響應(yīng)有嚴(yán)格要求，就需要采用其他的數(shù)字濾波器拓?fù)湫问搅?/p>

　　實(shí)際應(yīng)用中，如果階數(shù)不高時(shí)，現(xiàn)在算力強(qiáng)勁的單片機(jī)或者DSP以及可以直接使用浮點(diǎn)處理。

　　如果對(duì)處理速度有嚴(yán)格的實(shí)時(shí)要求，需要在極短時(shí)間進(jìn)行濾波處理，可以考慮降低階數(shù)，或采用定點(diǎn)IIR濾波算法實(shí)現(xiàn)。也或者將文中函數(shù)進(jìn)行匯編級(jí)優(yōu)化。

　　歡迎大家進(jìn)行留言討論。