關(guān)于使用FPGA實現(xiàn)復(fù)雜數(shù)學(xué)函數(shù)的計算的分析

越來越多的關(guān)鍵應(yīng)用都對精確性和計算延遲時間有嚴格的要求。FPGA的靈活性和性能使得它們廣泛應(yīng)用在工業(yè)、科學(xué)、軍事以及其他的許多應(yīng)用場合中，來計算復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題或者傳遞函數(shù)，有許多算法，比如CORDIC算法，可以用來做為超越函數(shù)的計算處理模塊。

CORDIC算法可以用來實現(xiàn)正弦、余弦、乘法、除法、平方根等超越函數(shù)，因此，把CORDIC算法和基本的數(shù)學(xué)模塊結(jié)合起來來計算傳遞函數(shù)，可以得到較為精確的結(jié)果。但是，對于復(fù)雜的傳遞函數(shù)來說，獲得精確結(jié)果的代價是花費更多的設(shè)計和驗證的時間。（參見第79期Xcell期刊，“How to Use the CORDIC Algorithm in Your FPGA”。CORDIC算法在上世紀50年代發(fā)展的簡單介紹，可以參見“CORDIC and the Hustler”這里）

對于復(fù)雜的傳遞函數(shù)，除了在FPGA中實現(xiàn)精確的函數(shù)功能外，還有許多更為有效的處理方法。一個例子就是用FPGA來監(jiān)控鉑電阻溫度計（PRT），并把鉑電阻溫度計的電阻值轉(zhuǎn)換為溫度。這個轉(zhuǎn)換一般會使用Callendar-Van Dusen方程，這個方程可以用來確定0oC~660oC之間的溫度值，方程如下：

其中R0 是0oC時的電阻值，a和b是和PRT相關(guān)的系數(shù)，t表示溫度。事實上，我們是想通過電阻值來轉(zhuǎn)換得到溫度值，因此，我們需要重新整理方程，把溫度值作為方程的結(jié)果。大部分使用PRT的系統(tǒng)會設(shè)計一個電路來測量PRT的電阻值，而在FPGA中使用一個重新整理過的，比之前復(fù)雜得多的方程來計算溫度值，方程如下：

在FPGA中實現(xiàn)這樣一個方程，即使是一個經(jīng)驗豐富的FPGA工程師也會感到氣餒。通過測試，把電阻值和溫度值的對應(yīng)關(guān)系繪圖如下：

如果仔細研究，會發(fā)現(xiàn)這是一個非線性的曲線。

為了減少設(shè)計以及驗證的工作，保證項目進度，許多工程師會尋找其它不同的方式來實現(xiàn)這個函數(shù)。其中一個方式是利用查找表來保存圖表中曲線上的一些點，在這些點之間可以采用線性插值的方式，這個方法可能可以滿足需求，但要依賴于精確度的要求以及查找表中能存儲的點的個數(shù)。但這種方法會引入一個線性插值函數(shù)，這個函數(shù)通常會包括一個無二次冪限制（non-power-of-two）的除法，這會帶來計算的復(fù)雜度。

現(xiàn)在的FPGA器件，比如Xilinx Spartan-6、7-系列Atrix、Kintex以及Virtex等FPGA器件中都會包含更多地傳統(tǒng)意義上的查找表和觸發(fā)器。同時也包含內(nèi)置的DSP slices，Block RAM和一些分散的RAM單元，還有一些象PCIe、以太網(wǎng)端點、高速串行連接等先進的硬IP核，用這些器件可以輕松地實現(xiàn)傳遞函數(shù)。

多項式近似法可以充分利用FPGA器件中豐富的DSP和RAM資源， 使用這項技術(shù)，首先要把數(shù)學(xué)函數(shù)用圖表來表達，可以用MATLAB或者Excel等數(shù)學(xué)工具來遍歷輸入值的范圍，然后就可以得到一個多項式趨勢線，這樣，就可以在FPGA中實現(xiàn)這個方程，而不需要使用電路邏輯直接實現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)序函數(shù)，這種趨勢線近似方程也可以滿足精度的要求。

大部分用來生成多項式趨勢線的數(shù)學(xué)工具都支持選擇多項式的介數(shù)或者項數(shù)，介數(shù)越大，精確度就越高，但在FPGA中就需要實現(xiàn)更多的項數(shù)。用這種方法通過Microsoft Excel來分析PRT曲線，可以獲得下面的4介多項式：

一個多項式方程可能不能滿足傳遞函數(shù)全部輸入范圍的精度要求，那么只需要產(chǎn)生更多的多項式方程，通過產(chǎn)生許多多項式常數(shù)來覆蓋輸入范圍，一旦輸入的值超出了特定的邊界，只需要加載一組新的常數(shù)值就可以了。上述方法依然是有效的。

假設(shè)，我們需要把操作范圍擴展到300 oC，原來的方法就不能滿足設(shè)計要求了，采用剛剛提到的分段的方法，可以通過繪制269oC 到300oC之間的趨勢線來解決這個問題，這樣可以得到另一個多項式方程，該方程可以滿足這個輸出范圍的精度要求。簡言之，分段的實現(xiàn)方法在輸入值沒有超出268oC對應(yīng)的預(yù)定值范圍時，采用的是第一組多項式常數(shù)，而當輸入值超出了268oC對應(yīng)的預(yù)定值范圍時，就采用第二組常數(shù)來保證精度要求。

盡管設(shè)計團隊使用了內(nèi)嵌微處理器的片上系統(tǒng)，比如內(nèi)嵌ARM Cortex-A9 MPCore的Xilinx Zynq可編程SoC器件，但實現(xiàn)傳遞函數(shù)還是具有較大的挑戰(zhàn)，首先，通過處理器執(zhí)行軟件來實現(xiàn)傳遞函數(shù)所花的時間要遠遠大于通過可編程邏輯實現(xiàn)傳遞函數(shù)的運行時間，這樣就會使系統(tǒng)響應(yīng)變慢，事實上，上面提到的傳遞函數(shù)的計算就是一個比較典型的例子，它的數(shù)據(jù)處理應(yīng)該通過Zynq SoC器件的可編程邏輯去實現(xiàn)。