EMC電路設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)公式和電磁理論介紹

EMC是可以藉由數(shù)學(xué)公式來理解的。不過，縱使有數(shù)學(xué)分析方法可以利用，但那些數(shù)學(xué)方程式對(duì)實(shí)際的EMC電路設(shè)計(jì)而言，仍然太過復(fù)雜了。幸運(yùn)的是，在大多數(shù)的實(shí)務(wù)工作中，工程師并不需要完全理解那些復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和存在于EMC規(guī)范中的學(xué)理依據(jù)，只要藉由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，就能夠明白要如何達(dá)到EMC的要求。

本文藉由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式和電磁理論，來說明在印刷電路板上被動(dòng)組件（passive component）的隱藏行為和特性，這些都是工程師想讓所設(shè)計(jì)的電子產(chǎn)品通過EMC標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，事先所必須具備的基本知識(shí)。

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導(dǎo)線和走線

導(dǎo)線（wire）、走線（trace）、固定架等看似不起眼的組件，卻經(jīng)常成為射頻能量的最佳發(fā)射器（亦即，EMI的來源）。每一種組件都具有電感，這包含硅芯片的焊線（bond wire）、以及電阻、電容、電感的接腳。每根導(dǎo)線或走線都包含有隱藏的寄生電容和電感。這些寄生性組件會(huì)影響導(dǎo)線的阻抗大小，而且對(duì)頻率很敏感。依據(jù)LC的值（決定自共振頻率）和走線的長(zhǎng)度，在某組件和走線之間，可以產(chǎn)生自共振（self-resonance），因此，形成一根有效率的輻射天線。

在低頻時(shí)，導(dǎo)線大致上只具有電阻的特性。但在高頻時(shí)，導(dǎo)線就具有電感的特性。因?yàn)樽兂筛哳l后，會(huì)造成阻抗大小的變化，進(jìn)而改變導(dǎo)線或走線與接地之間的EMC設(shè)計(jì)，這時(shí)必需使用接地面（ground plane）和接地網(wǎng)格（ground grid）。

導(dǎo)線和走線的最主要差別只在于，導(dǎo)線是圓形的，走線是長(zhǎng)方形的。導(dǎo)線或走線的阻抗包含電阻R和感抗XL = 2πfL，在高頻時(shí)，此阻抗定義為Z = R + j XL j2πfL，沒有容抗Xc = 1/2πfC存在。頻率高于100 kHz以上時(shí)，感抗大于電阻，此時(shí)導(dǎo)線或走線不再是低電阻的連接線，而是電感。一般而言，在音頻以上工作的導(dǎo)線或走線應(yīng)該視為電感，不能再看成電阻，而且可以是射頻天線。

大多數(shù)天線的長(zhǎng)度是等于某一特定頻率的1/4或1/2波長(zhǎng)（λ）。因此在EMC的規(guī)范中，不容許導(dǎo)線或走線在某一特定頻率的λ/20以下工作，因?yàn)檫@會(huì)使它突然地變成一根高效能的天線。電感和電容會(huì)造成電路的諧振，此現(xiàn)象是不會(huì)在它們的規(guī)格書中記載的。

例如：假設(shè)有一根10公分的走線，R = 57 mΩ，8 nH/cm，所以電感值總共是80 nH。在100 kHz時(shí)，可以得到感抗50 mΩ。當(dāng)頻率超過100 kHz以上時(shí)，此走線將變成電感，它的電阻值可以忽略不計(jì)。因此，此10公分的走線將在頻率超過150 MHz時(shí)，將形成一根有效率的輻射天線。因?yàn)樵?50 MHz時(shí)，其波長(zhǎng)λ= 2公尺，所以λ/20 = 10公分 = 走線的長(zhǎng)度；若頻率大于150 MHz，其波長(zhǎng)λ將變小，其1/4λ或1/2λ值將接近于走線的長(zhǎng)度（10公分），于是逐漸形成一根完美的天線。

電阻

電阻是在上最常見到的組件。電阻的材質(zhì)（碳合成、碳膜、云母、繞線型…等）限制了頻率響應(yīng)的作用和EMC的效果。繞線型電阻并不適合于高頻應(yīng)用，因?yàn)樵趯?dǎo)線內(nèi)存在著過多的電感。碳膜電阻雖然包含有電感，但有時(shí)適合于高頻應(yīng)用，因?yàn)樗慕幽_之電感值并不大。

一般人常忽略的是，電阻的封裝大小和寄生電容。寄生電容存在于電阻的兩個(gè)終端之間，它們?cè)跇O高頻時(shí)，會(huì)對(duì)正常的電路特性造成破壞，尤其是頻率達(dá)到GHz時(shí)。不過，對(duì)大多數(shù)的應(yīng)用電路而言，在電阻接腳之間的寄生電容不會(huì)比接腳電感來得重要。

當(dāng)電阻承受超高電壓極限（overvoltage stress）考驗(yàn)時(shí)，必須注意電阻的變化。如果在電阻上發(fā)生了「靜電釋放（ESD）」現(xiàn)象，則會(huì)發(fā)生有趣的事。如果電阻是表面黏著（surface mount）組件，此電阻很可能會(huì)被電弧打穿。如果電阻具有接腳，ESD會(huì)發(fā)現(xiàn)此電阻的高電阻（和高電感）路徑，并避免進(jìn)入被此電阻所保護(hù)的電路。其實(shí)，真正的保護(hù)者是此電阻所隱藏的電感和電容特性。

電容

電容一般是應(yīng)用在電源總線（power bus），提供去耦合（decouple）、旁路（bypass）、和維持固定的直流電壓和電流（bulk）之功能。真正單純的電容會(huì)維持它的電容值，直到達(dá)到自共振頻率。超過此自共振頻率，電容特性會(huì)變成像電感一樣。這可以由公式：Xc=1/2πfC來說明，Xc是容抗（單位是Ω）。例如：10μf的電解電容，在10 kHz時(shí)，容抗是1.6Ω；在100 MHz時(shí)，降到160μΩ。因此在100 MHz時(shí)，存在著短路（short circuit）效應(yīng)，這對(duì)EMC而言是很理想的。但是，電解電容的電氣參數(shù)：等效串聯(lián)電感（equivalent series inductance；ESL）和等效串聯(lián)電阻（equivalent series esistance；ESR），將會(huì)限制此電容只能在頻率1 MHz以下工作。

電容的使用也和接腳電感與體積結(jié)構(gòu)有關(guān)，這些因素決定了寄生電感的數(shù)目和大小。寄生電感存在于電容的焊線之間，它們使電容在超過自共振頻率以上時(shí)，產(chǎn)生和電感一樣的行為，電容因此失去了原先設(shè)定的功能。

電感

電感是用來控制內(nèi)的EMI。對(duì)電感而言，它的感抗是和頻率成正比的。這可以由公式：XL = 2πfL來說明，XL是感抗（單位是Ω）。例如：一個(gè)理想的10 mH電感，在10 kHz時(shí)，感抗是628Ω；在100 MHz時(shí)，增加到6.2 MΩ。因此在100 MHz時(shí)，此電感可以視為開路（open circuit）。在100 MHz時(shí)，若讓一個(gè)訊號(hào)通過此電感，將會(huì)造成此訊號(hào)質(zhì)量的下降（這是從時(shí)域來觀察）。和電容一樣，此電感的電氣參數(shù)（線圈之間的寄生電容）限制了此電感只能在頻率1 MHz以下工作。

問題是，在高頻時(shí)，若不能使用電感，那要使用什么呢？答案是，應(yīng)該使用「鐵粉珠（ferrite bead）」。鐵粉材料是鐵鎂或鐵鎳合金，這些材 料具有高的導(dǎo)磁系數(shù)（permeability），在高頻和高阻抗下，電感內(nèi)線圈之間的電容值會(huì)最小。鐵粉珠通常只適用于高頻電路，因?yàn)樵诘皖l時(shí)，它們基本上是保有電感的完整特性（包含有電阻和抗性分量），因此會(huì)造成線路上的些微損失。在高頻時(shí)，它基本上只具有抗性分量（jωL），并且抗性分量會(huì)隨著頻率上升而增加，如附圖一所示。實(shí)際上，鐵粉珠是射頻能量的高頻衰減器。

其實(shí)，可以將鐵粉珠視為一個(gè)電阻并聯(lián)一個(gè)電感。在低頻時(shí)，電阻被電感「短路」，電流流往電感；在高頻時(shí)，電感的高感抗迫使電流流向電阻。

本質(zhì)上，鐵粉珠是一種「耗散裝置（dissipative device）」，它會(huì)將高頻能量轉(zhuǎn)換成熱能。因此，在效能上，它只能被當(dāng)成電阻來解釋，而不是電感。

變壓器

變壓器通常存在于電源供應(yīng)器中，此外，它可以用來對(duì)數(shù)據(jù)訊號(hào)、I/O連結(jié)、供電接口做絕緣。根據(jù)變壓器種類和應(yīng)用的不同，在一次側(cè)（primary）和二次側(cè)（secondary）線圈之間，可能有屏蔽物（shield）存在。此屏蔽物連接到一個(gè)接地的參考源，是用來防止此兩組線圈之間的電容耦合。

變壓器也廣泛地用來提供共模（common mode；CM）絕緣。這些裝置根據(jù)通過其輸入端的差模（differential mode；DM）訊號(hào)，來將一次側(cè)線圈和二次側(cè)線圈產(chǎn)生磁性連結(jié)，以傳遞能量。其結(jié)果是，通過一次側(cè)線圈的CM電壓會(huì)被排拒，因此達(dá)到共模絕緣的目的。不過，在制造變壓器時(shí)，在一次側(cè)和二次側(cè)線圈之間，會(huì)有訊號(hào)源電容存在。當(dāng)電路頻率增加時(shí)，電容耦合能力也會(huì)增強(qiáng)，因此破壞了電路的絕緣效果。若有足夠的寄生電容存在的話，高頻的射頻能量（來自快速瞬變、ESD、雷擊……等）可能會(huì)通過變壓器，導(dǎo)致在絕緣層另一端的電路，也會(huì)接收到此瞬間變化的高電壓或高電流。

上面已經(jīng)針對(duì)各種被動(dòng)組件的隱藏特性做了詳盡的說明，底下將解釋為何這些隱藏特性會(huì)在中造成EMI。

淺談電磁理論

上述的被動(dòng)組件具有隱藏特性，而且會(huì)在中產(chǎn)生射頻能量，但為何會(huì)如此呢？為了了解其原由，必須明白Maxwell方程式。Maxwell的四個(gè)方程式說明了電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的關(guān)系，而且它們是從Ampere定律、Faraday定律、和Gauss定律推論而來的。這些方程式描述了在一個(gè)閉回路環(huán)境中，電磁場(chǎng)強(qiáng)度和電流密度的特性，而且需要使用高等微積分來計(jì)算。因?yàn)镸axwell方程式非常的復(fù)雜，在此僅做簡(jiǎn)要的說明。其實(shí)，布線工程師并不需要完全了解Maxwell方程式的詳細(xì)知識(shí)，只要了解其中的重點(diǎn)，就能完成EMC設(shè)計(jì)。完整的Maxwell方程式條列如下：

第一定律：電通量（electric flux）（來自Gauss定律）

第二定律：磁通量（magnetic flux）（來自Gauss定律）

第三定律：電位（electric potential）（來自Faraday定律）

第四定律：電流（electric current）（來自Ampere定律）

在上述的方程式中，J、E、B、H是向量。此外，與Maxwell方程式相關(guān)的基本物理觀念有：

●Maxwell方程式說明了電荷、電流、磁場(chǎng)和電場(chǎng)之間的交互作用。

●可用「Lorentz力」來形容電場(chǎng)和磁場(chǎng)施加在帶電粒子上的物理作用力。

●所有物質(zhì)對(duì)其它物質(zhì)都具有一種組成關(guān)系。這包含：

1. 導(dǎo)電率（conductivity）：電流與電場(chǎng)的關(guān)系（物質(zhì)的奧姆定律）：J=σE。

2. 導(dǎo)磁系數(shù)：磁通量和磁場(chǎng)的關(guān)系：B=μH。

3. 介電常數(shù)（dielectric constant）：電荷儲(chǔ)存和一個(gè)電場(chǎng)的關(guān)系：D=εE。

J = 傳導(dǎo)電流密度，A/m2

σ= 物質(zhì)的導(dǎo)電率

E = 電場(chǎng)強(qiáng)度，V/m

D = 電通量密度，coulombs/ m2

ε= 真空電容率（permittivity），8.85 pF/m

B = 磁通量密度，Weber/ m2或Tesla

H = 磁場(chǎng)，A/m

μ= 媒材的導(dǎo)磁系數(shù)，H/m

依據(jù)Gauss定律，Maxwell的第一方程式也稱作「分離定理（divergence theorem）」。它可以用來說明由于電荷的累積，所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)（electrostatic field）E。這種現(xiàn)象，最好在兩個(gè)邊界之間做觀察：導(dǎo)電的和不導(dǎo)電的。根據(jù)Gauss定律，在邊界條件下的行為，會(huì)產(chǎn)生導(dǎo)電的圍籠（也稱作Faraday cage），充當(dāng)成一個(gè)靜電的屏蔽。在一個(gè)被Faraday箱包圍的封閉區(qū)域，其外部四周的電磁波是無法進(jìn)入此區(qū)域的。若在Faraday箱內(nèi)有一個(gè)電場(chǎng)存在，則在其邊界處，此電場(chǎng)所產(chǎn)生的電荷是集中在邊界內(nèi)側(cè)的。在邊界外側(cè)的電荷會(huì)被內(nèi)部電場(chǎng)排拒在外。

Maxwell的第二方程式表示，在自然界沒有磁荷（magnetic charge）存在，只有電荷存在，也就是說沒有單一磁極（magnetic monopole）存在。雖然，目前的統(tǒng)一場(chǎng)理論（Grand Unified Theory）預(yù)測(cè)有很少的磁荷存在，但迄今都無法從實(shí)驗(yàn)中證明。這些電荷是帶正電的或負(fù)電的。磁場(chǎng)是透過電流和電場(chǎng)的作用產(chǎn)生的。由于電流和電場(chǎng)的發(fā)射，使它們成為輻射能量的來源點(diǎn)。磁場(chǎng)在電流四周形成一個(gè)封閉的循環(huán)，而磁場(chǎng)是由電流產(chǎn)生的。

Maxwell的第三方程式也稱作「感應(yīng)的Faraday定律」，說明當(dāng)磁場(chǎng)環(huán)繞著一個(gè)封閉的電路時(shí)，此磁場(chǎng)會(huì)使此封閉電路產(chǎn)生電流。第三方程式和第四方程式是相伴的。第三方程式表示變動(dòng)的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)。磁場(chǎng)通常存在于變壓器或線圈，例如：馬達(dá)、發(fā)電機(jī)…等。第三和第四方程式的交互作用，正是EMC的主要焦點(diǎn)。兩者一起來說，它們說明了耦合的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是如何以光速輻射或傳播。這個(gè)方程式也說明了「集膚效應(yīng)（skin effect）」的概念，它可以預(yù)測(cè)「磁屏蔽（magnetic shielding）」的有效性。此外，它也說明了電感的特性，而電感允許天線能合理地存在。

Maxwell的第四方程式也稱作Ampere定律。此方程式說明了產(chǎn)生磁場(chǎng)的兩個(gè)來源。第一個(gè)來源是，電流以傳輸電荷的形式在流動(dòng)。第二個(gè)來源是，當(dāng)變動(dòng)的電場(chǎng)環(huán)繞著一個(gè)封閉的電路時(shí)，會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。這些電和磁的來源，說明了電感和電磁的作用。在此方程式中，J就代表以電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的分量；就是以電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的分量。

綜合而言，Maxwell方程式可以說明在中，EMI是如何產(chǎn)生的。是一個(gè)會(huì)隨時(shí)間改變電流大小的環(huán)境，而這些微積分方程式正是要對(duì)發(fā)生EMI的根源做解析。靜電荷分布會(huì)產(chǎn)生靜電場(chǎng)，而不是磁場(chǎng)。固定電流會(huì)同時(shí)產(chǎn)生靜磁場(chǎng)和靜電場(chǎng)。時(shí)變（time-varying）電流會(huì)同時(shí)產(chǎn)生電場(chǎng)和磁場(chǎng)。

靜電場(chǎng)會(huì)儲(chǔ)存能量，這是電容的基本功能：累積和保有電荷。固定的電流源是電感的基本功能和概念。

電和磁的來源

前面已經(jīng)提到，變動(dòng)中的電流會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，靜電荷分布會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，下面將進(jìn)一步討論電流和輻射電場(chǎng)之間的關(guān)系。我們必須檢視電流源的結(jié)構(gòu)，并觀察它是如何影響輻射訊號(hào)的。此外，我們也必須要注意，當(dāng)距離電流源越遠(yuǎn)時(shí)，訊號(hào)強(qiáng)度會(huì)越低。

時(shí)變電流存在于兩種結(jié)構(gòu)中：1.磁的來源（是封閉回路），2.電的來源（是雙極天線）。首先探討磁的來源。

一個(gè)電路包含有一個(gè)頻率源（振蕩器）和一個(gè)負(fù)載。我們可以看到有一個(gè)回傳電流（return current），在此電路沿著封閉回路流動(dòng)著。這個(gè)封閉回路是由走線和射頻電流的回傳路徑組成的。我們可以利用仿真軟件，來建立此訊號(hào)走線的模型，并評(píng)估此模型所產(chǎn)生的輻射電場(chǎng)。此回路所產(chǎn)生的電場(chǎng)是下面四個(gè)變量的函數(shù)。

1.回路中的電流振幅：電場(chǎng)大小和存在于訊號(hào)走線的電流大小成正比。

2.回路的極性和測(cè)量裝置的關(guān)系：如果測(cè)量裝置的天線也是呈回路狀（loop），回路電流的極性必須和測(cè)量裝置的天線之極性相同，如此才能測(cè)量到正確的回路電流。例如：如果測(cè)量裝置是使用雙極（dipole）天線，則回路電流的極性必須和它一樣，兩者的極性都必須是垂直的（vertical polarization）。

3.回路的大?。喝绻芈贩浅５男。ū然芈酚嵦?hào)或工作頻率的波長(zhǎng)小很多），則電磁場(chǎng)的強(qiáng)度將和回路面積成正比。如果回路越大，在天線端所測(cè)量到的頻率就越低。對(duì)特定的回路面積而言，此天線會(huì)在特定的頻率下共振。

4.距離：電磁場(chǎng)強(qiáng)度下降的比率，是決定于來源端和天線之間的距離。此外，此距離也決定所產(chǎn)生的是電場(chǎng)或者是磁場(chǎng)。當(dāng)距離比較短時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度和距離的平方成反比。當(dāng)距離比較長(zhǎng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)電磁平面波（plane wave）。此平面波強(qiáng)度和距離成正比。在平面波上，電場(chǎng)向量和磁場(chǎng)向量相交點(diǎn)的位置，大約在1/6波長(zhǎng)的地方（也可使用λ/2π來表示，波長(zhǎng)（λ）= 300/f）。1/6波長(zhǎng)和EMI的「點(diǎn)源（point source）」相關(guān)，「點(diǎn)源」是指電磁波發(fā)射的起源。接收端天線越大，1/6波長(zhǎng)的值可以越大。

總結(jié)

和大多數(shù)的電子工程設(shè)計(jì)一樣，EMC設(shè)計(jì)是需要細(xì)心的思慮的。閱讀本文時(shí)，讀者應(yīng)該同時(shí)參照平時(shí)所執(zhí)行的EMC實(shí)務(wù)工作，如此就可能會(huì)發(fā)現(xiàn)許多過去未曾注意到的地方，而這些地方往往就是EMI最容易發(fā)生的處所。

在強(qiáng)調(diào)產(chǎn)品迅速上市的時(shí)代里，工程師所承受的壓力與日俱增。使用良好的EMI模擬工具雖然可以協(xié)助我們快速地達(dá)成任務(wù)；但若過度依賴這些工具，恐怕會(huì)在一些非常特殊的情況或環(huán)境下，無法舉一反三。所以，擁有深厚的理論基礎(chǔ)，將可以彌補(bǔ)常態(tài)的實(shí)務(wù)工作之不足。
來源；21ic