詳解一種基于保角形變換的電磁波導(dǎo)波結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

引言

Pendry et al.［1］提出了一個(gè)很有趣的想法，這個(gè)想法就是用坐標(biāo)變換（即變換光學(xué)）的思想達(dá)到調(diào)控電磁波的能力。很不幸的是，基于坐標(biāo)變換的電磁波導(dǎo)波器件大多數(shù)的相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率往往是非均勻各向異性材料［2］［3］［4］，這給實(shí)現(xiàn)帶來(lái)了很大的困難。保角形變換是光學(xué)變換的一種特例，它在二維情形下可以做到各向同性材料。在保角形變換后，拉普拉斯方程本身成了一個(gè)系數(shù)，二維亥姆霍茲方程在保角形變換后使得該系數(shù)反映在折射率的變化，也就是說(shuō)在保角形變換后，如果折射率隨著系數(shù)發(fā)生變化，那么滿足同樣的波動(dòng)方程，從而達(dá)到調(diào)控電磁波的能力。在本文中，我們用基于保角形變換理論設(shè)計(jì)了一款電磁波導(dǎo)波結(jié)構(gòu)，它的材料是非均勻各向同性的，這在實(shí)現(xiàn)上降低了難度。

1、保角形光學(xué)變換理論

換坐標(biāo)變換前的空間為w，該空間的折射率為1；坐標(biāo)變換后的空間為z，該空間的折射率為n，則z空間的折射率：［5］［6］ n=|dw/dz|，光學(xué)理論已經(jīng)提出好幾年了，雖然它的想法很新穎，但是因?yàn)楦鶕?jù)該想法設(shè)計(jì)的大多數(shù)電磁器件的電參數(shù)為非均勻各向異性，很多學(xué)者專家不斷簡(jiǎn)化參數(shù)，論文參考文獻(xiàn)［7］根據(jù)對(duì)數(shù)保角形變換設(shè)計(jì)了可以轉(zhuǎn)彎的波導(dǎo)轉(zhuǎn)接器件，但是我們認(rèn)為它并不能達(dá)到完美的轉(zhuǎn)接效果，因?yàn)榭臻g折射率的截?cái)?，必然帶?lái)散射，在本篇論文中我們基于共形變換原理設(shè)計(jì)各向同性非均勻的導(dǎo)波轉(zhuǎn)接器件。雖然光學(xué)變換理論在導(dǎo)波結(jié)構(gòu)中的推廣已經(jīng)好多年了，電參數(shù)為均勻各向異性的電磁波導(dǎo)波器件也已經(jīng)實(shí)現(xiàn)，基于對(duì)數(shù)的保角形變換的導(dǎo)波轉(zhuǎn)彎的結(jié)構(gòu)也已經(jīng)實(shí)現(xiàn)，我們認(rèn)為它不能做到真正的波導(dǎo)轉(zhuǎn)接結(jié)構(gòu)，包括很復(fù)多函數(shù)在導(dǎo)波結(jié)構(gòu)中很難應(yīng)用，因?yàn)樵谶吔绲牡胤綍?huì)發(fā)生空間折射率的截?cái)?，從而達(dá)不到完美的轉(zhuǎn)接效果。在本篇論文中，我們就是通過(guò)尋找一些可行的設(shè)計(jì)函數(shù)，使得基于保角形變換的這種導(dǎo)波結(jié)構(gòu)變得很可行。但是我們的導(dǎo)波結(jié)構(gòu)因?yàn)楹瘮?shù)的求解問(wèn)題，導(dǎo)致波導(dǎo)的轉(zhuǎn)接只能發(fā)生在一直前進(jìn)的情形下，這也是我們本篇論文的局限性。我們通過(guò)將中間某個(gè)區(qū)域彎曲，而離開(kāi)這個(gè)區(qū)域?qū)РńY(jié)構(gòu)又恢復(fù)到原來(lái)的情形，在數(shù)學(xué)上可以表示為：

z=f（w）

（1）

或者為

w=g（z）

（2）

條件（1）和條件（2）只要折射率接近于一的地方截?cái)啵虚g在保角形變換后發(fā)生彎曲，就可以做到繞過(guò)在波導(dǎo)前進(jìn)方向遇到的障礙物。

2、導(dǎo)波結(jié)構(gòu)具體設(shè)計(jì)（單位m）

根據(jù)上面的要求我們的設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)它的表達(dá)式為：

z2=w2+k （3）

（4）

在上面的表達(dá)式中我們k=0.03。

圖1、w空間到z空間的變換（坐標(biāo)按著上面的坐標(biāo)系標(biāo)注）

圖2、保角形變換前H10模Ez分布圖（f=4.6GHz）

圖3、保角形變換后H10模Ez分布圖（f=4.6GHz）

圖4、三維情形下保角形變換前后H10模Ez分布圖（f=4.6GHz）

圖5、三維情形下保角形變換后的折射率分布圖

上面三維情況下中間為保角形變換區(qū)域，在離開(kāi)光學(xué)變換區(qū)折射率接近于一的區(qū)域，高度為寬度的一半，而在橫截面上與二維情形相同。兩邊是在折射率接近于一時(shí)截?cái)啵梢钥吹竭M(jìn)行保角形變換后的可以達(dá)到非常好的波導(dǎo)轉(zhuǎn)接結(jié)構(gòu)，因?yàn)楸＝切巫儞Q理論是嚴(yán)格的根據(jù)麥克斯韋方程推導(dǎo)的結(jié)果，而我們只是在折射率接近于一的地方截?cái)?，所以這種導(dǎo)波結(jié)構(gòu)只要在原來(lái)的空間的矩形波導(dǎo)中可以傳輸，那么保角形變換后仍然可以非常好的傳輸。從上面的實(shí)行保角形變換和不實(shí)行保角形變換對(duì)比中可以更加清楚的看出共形變換可以使波導(dǎo)繞過(guò)某一個(gè)區(qū)域，電磁波仍然可以很好地傳輸，當(dāng)然，只是局限于矩形波導(dǎo)的H10模，但是在導(dǎo)波通信中矩形波導(dǎo)一直都是用該主模模式，所以這不能算是這種方法的局限性，只要滿足方程式（1），（2）兩個(gè)條件，那么運(yùn)用當(dāng)今的計(jì)算機(jī)技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)繞過(guò)各種形狀的導(dǎo)波結(jié)構(gòu)，我們也相信隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，方程的可解性提高以后，我們也可以做到任意的導(dǎo)波結(jié)構(gòu)，因?yàn)槲覀儧](méi)有優(yōu)良的計(jì)算機(jī)，我們希望人們?nèi)ヌ剿鬟@個(gè)問(wèn)題。我們認(rèn)為這種方法可以推廣到介質(zhì)波導(dǎo)中，下面這幅圖的中間場(chǎng)集中區(qū)域和上面二維波導(dǎo)相同，中間的折射率由原空間的2變?yōu)楝F(xiàn)在空間的折射率：

兩邊的區(qū)域折射率為一，頻率為3GHz。

圖6、二維介質(zhì)波導(dǎo)Ez分布圖

從上面的這幅圖我們同樣看到我們的基于共形變換的設(shè)計(jì)方法不僅局限于矩形波導(dǎo)，對(duì)于介質(zhì)波導(dǎo)，如果電磁場(chǎng)集中于某一個(gè)區(qū)域只對(duì)該區(qū)進(jìn)行保角形變換同樣適用，當(dāng)然，還可以用到等離子體波導(dǎo)中，金屬的上面為介質(zhì)，在等離子體波導(dǎo)中，金屬的介電常數(shù)為負(fù)數(shù)，要使得基于保角變換的光學(xué)變換理論更有效，那么金屬的介電常數(shù)絕對(duì)值要遠(yuǎn)大于介質(zhì)的介電常數(shù)，保證電磁波在金屬中很快的衰減，而在介質(zhì)中進(jìn)行共形變換。

（5）

（6）

仿真參數(shù)如下：

1）.Co=0.03，金屬的相對(duì)介電常數(shù)為-50，原來(lái)的介質(zhì)空間折射率為1，頻率4GHz。

2）。原來(lái)的介質(zhì)空間的幾何結(jié)構(gòu)如下所示：

3）。上面的w空間的區(qū)域經(jīng)過(guò)下面的共形變換：，變成圖6中間的區(qū)域，中間的折射率已經(jīng)是變換后z方向電場(chǎng)的分布圖，而兩邊的折射率截?cái)嗪鬄?，從而在等離子體波導(dǎo)下面可以放置障礙物。

仿真結(jié)果如下所示：

圖7、二維等離子體波導(dǎo)進(jìn)行保角形變換后的Ez分布圖

圖8、二維介質(zhì)波導(dǎo)電參數(shù)仍然保持原w空間的參數(shù)的Ez分布圖

顯然上面的等離子體波導(dǎo)是一個(gè)不實(shí)用的模型，因?yàn)樗念l率非常低，金和銀只有在頻率遠(yuǎn)高于本仿真頻率才能顯示負(fù)相對(duì)介電常數(shù)，但是麥克斯韋方程本身具有的相似性原理特性，我們很容易將頻率變換到對(duì)應(yīng)的頻率，并調(diào)整對(duì)應(yīng)的幾何參數(shù)和Co的大小，從上面的仿真中我們可以看到共形變換理論的價(jià)值不僅僅體現(xiàn)在波導(dǎo)中，等離子體波導(dǎo)中，還有介質(zhì)波導(dǎo)中。

3、結(jié)論

本文基于保角形變換理論設(shè)計(jì)了導(dǎo)波結(jié)構(gòu)中電磁波的在原來(lái)前進(jìn)方向繞過(guò)某一個(gè)障礙物時(shí)的轉(zhuǎn)接問(wèn)題，可以看到這種設(shè)計(jì)方法對(duì)于可以用二維分析的場(chǎng)可以做到幾乎非常完美的轉(zhuǎn)接。這種設(shè)計(jì)方法的電參數(shù)（磁導(dǎo)率，相對(duì)介電常數(shù)雖然是非均勻的，但卻是各向同性的。雖然折射率小于一，但是只要將電參數(shù)同時(shí)提高一定的數(shù)值，那么將會(huì)得到所有的折射率都大于一的更容易實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì)，雖然非均勻，但是只要用離散采樣的方式就可以實(shí)際做到。這種方法的局限性在于離開(kāi)障礙物，必須恢復(fù)到原來(lái)空間，這也是本篇論文的主要限制。