永磁同步電機(jī)(PMSM)的FOC閉環(huán)控制詳解

在學(xué)習(xí)FOC控制前，我對于FOC控制完全不懂，只知道中文叫做磁場定向控制，因公司產(chǎn)品開發(fā)需要用到對永磁同步電機(jī)(PMSM)進(jìn)行精確的位置控制，才開始從網(wǎng)上了解什么是FOC，有哪些數(shù)學(xué)公式，控制的過程是怎么樣的，但由于公司沒有人知道這一塊的知識，所以只能一個(gè)人慢慢找資料學(xué)習(xí)，網(wǎng)上有不少關(guān)于FOC的資料，不過講的都不全面，而且有的還會存在錯(cuò)誤，但是不懂的時(shí)候也無法分辨對錯(cuò)，所以走了不少彎路。所以將個(gè)人的學(xué)習(xí)心得記錄于此，與大家分享，由于需要對電機(jī)進(jìn)行位置控制，所以使用了14位分辨率的磁編碼器。

FOC主要是通過對電機(jī)電流的控制實(shí)現(xiàn)對電機(jī)轉(zhuǎn)矩(電流)、速度、位置的控制。通常是電流作為最內(nèi)環(huán)，速度是中間環(huán)，位置作為最外環(huán)。

下圖是電流環(huán)(最內(nèi)環(huán))的控制框圖：

圖一：電流環(huán)

在圖一中，Iq_Ref是q軸(交軸)電流設(shè)定值，Id_Ref是d軸(直軸)電流設(shè)定值，關(guān)于交軸直軸不再介紹，大家自行百度。

Ia, Ib, Ic分別是A相、B相、C相的采樣電流，是可以直接通過AD采樣得到的，通常直接采樣其中兩相，利用公式Ia+Ib+Ic=0計(jì)算得到第三相，電角度θ可以通過實(shí)時(shí)讀取磁編碼器的值計(jì)算得到。

在得到三相電流和電角度后，即可以進(jìn)行電流環(huán)的執(zhí)行了：三相電流Ia, Ib, Ic經(jīng)過Clark變換得到Iα, Iβ；然后經(jīng)過Park變換得到Iq, Id；然后分別與他們的設(shè)定值Iq_Ref, Id_Ref計(jì)算誤差值；然后分別將q軸電流誤差值代入q軸電流PI環(huán)計(jì)算得到Vq，將d軸電流誤差值代入d軸電流PI環(huán)計(jì)算得到Vd；然后對Vq, Vd進(jìn)行反Park變換得到Vα, Vβ；然后經(jīng)過SVPWM算法得到Va, Vb, Vc，最后輸入到電機(jī)三相上。這樣就完成了一次電流環(huán)的控制。

當(dāng)對PMSM進(jìn)行速度控制時(shí)，需要在電流環(huán)外面加一個(gè)速度環(huán)，控制框圖如下：

圖二：速度電流雙環(huán)

在圖二中，Speed_Ref是速度設(shè)定值，ω是電機(jī)的轉(zhuǎn)速反饋，可以通過電機(jī)編碼器計(jì)算得到。

將計(jì)算得到的電機(jī)速度ω與速度設(shè)定值Speed_Ref進(jìn)行誤差值計(jì)算，代入速度PI環(huán)，計(jì)算的結(jié)果作為電流環(huán)的輸入；比較圖二和圖一的電流環(huán)部分可以發(fā)現(xiàn)，圖二中d軸電流被設(shè)定為零(Id_Ref=0)，因?yàn)閐軸電流對于驅(qū)動電機(jī)的轉(zhuǎn)動不會產(chǎn)生輸出力，所以通常情況下都會將d軸電流設(shè)定為零(但不是總是設(shè)定為0的)；當(dāng)Id_Ref=0時(shí)，Iq_Ref就等于了速度環(huán)的輸出；再結(jié)合上面的電流環(huán)，就實(shí)現(xiàn)了速度電流的雙閉環(huán)控制。

當(dāng)對PMSM進(jìn)行位置控制時(shí)，需要在速度電流環(huán)外面加一個(gè)位置環(huán)，控制框圖如下：

圖三：位置速度電流三環(huán)

在圖三中，Position_Ref是位置設(shè)定值，Position(θ)是電機(jī)的當(dāng)前位置，可以通過電機(jī)編碼器得知，位置控制可以分為電角度位置控制和機(jī)械角度位置控制。

將得到的當(dāng)前位置Position(θ)和位置設(shè)定值Position_Ref計(jì)算誤差值代入P環(huán)，輸出作為速度環(huán)的輸入Speed_Ref,在結(jié)合上面的速度電流環(huán)實(shí)現(xiàn)位置速度電流三閉環(huán)控制。

在實(shí)際使用中，由于磁編碼器無法直接返回電機(jī)轉(zhuǎn)速ω，需要計(jì)算一定時(shí)間內(nèi)的磁編碼值變化量來表示電機(jī)的轉(zhuǎn)速ω(M法測速)，假設(shè)1ms的角度變化量為δ個(gè)，則ω=δ/1ms=δ,(單位：個(gè)/ms)，當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速比較快的時(shí)候，這樣的方式是可以的；但是在位置控制的時(shí)候，電機(jī)的速度會很慢，1分鐘的轉(zhuǎn)速可能只有1、2轉(zhuǎn)，用M法測速會存在非常大的誤差，增大單位時(shí)間可以適當(dāng)降低誤差，但隨之而來整個(gè)系統(tǒng)的延遲也會增大。

所以為了避免速度環(huán)節(jié)帶來的誤差以及系統(tǒng)延遲帶來的影響，只使用位置和電流組成的雙環(huán)進(jìn)行控制，不過此時(shí)需要對位置環(huán)做一定的變化，控制框圖如下：

圖四：位置電流雙環(huán)

在圖四中，只使用了位置電流雙環(huán)實(shí)現(xiàn)位置控制。

在位置控制中，會涉及到電機(jī)的啟動加速和剎車減速，所以只有P環(huán)肯定是不夠的，還需要加入I和D實(shí)現(xiàn)PID環(huán)進(jìn)行控制；如果對于位置控制的精度要求不高，允許存在1、2度的誤差的話，可以只使用P和D實(shí)現(xiàn)PD環(huán)控制即可。

以上簡單介紹了電機(jī)控制中的過程，不難發(fā)現(xiàn)，主要包括了PID控制器和FOC控制算法。PID控制器是自動控制中最常用的一種控制算法，應(yīng)用非常廣泛，網(wǎng)上關(guān)于PID的資料也非常多，下面詳細(xì)講解FOC控制算法。

從上面的控制框圖中可以看出，F(xiàn)OC主要包含了電流采樣、坐標(biāo)變換(Clark, Park, 反Park)、SVPWM。

前面講過，三相電流Ia, Ib, Ic是可以通過采樣和公式Ia+Ib+Ic=0得到的，并三相電流的相位差是120°，如下圖：

圖五：三相電流

圖五中Ia, Ib, Ic分別是三相電流。

然后經(jīng)過Clark變換得到Iα, Iβ，如下圖：

圖六：Clark變換

Clark變換是將靜止的三相a, b, c變換成靜止的兩相α, β，由于不知道如何在編輯器中輸入矩陣，所以選擇在word中寫好截圖過來，公式如下：

圖六 1

于是可以推導(dǎo)出：

圖六 2

將Ia+Ib+Ic=0代入上面的公式，可以得到：

圖六 3

我們需要關(guān)心的是Iα和Iβ，所以Clark變化最后的公式就是：

Iα = Ia ;

Iβ = (Ia + 2*Ib) /√3 ;

然后經(jīng)過Park變換得到Iq, Id，他們是相互垂直的并且同時(shí)跟隨著磁場方向在旋轉(zhuǎn)，如下圖：

圖七：Park變換

如圖七所示，Park變換是將靜止的α，β電流變換成旋轉(zhuǎn)的q軸和d軸電流，θ是旋轉(zhuǎn)的角度，也稱為電角度。

以電角度θ為夾角，分別對Iα,Iβ進(jìn)行矢量分解，計(jì)算投影到q軸和d軸上的電流分量，可以得到以下公式：

Iq = Iβcosθ - Iαsinθ

Id = Iαcosθ + Iβsinθ

在計(jì)算得到Iq,Id之后，需要分別跟他們的設(shè)定值計(jì)算誤差，然后分別做PI控制，得到Vq,Vd。

然后對Vq,Vd進(jìn)行反Park變換，如下圖：

圖八：反Park變換

在圖八中，將Vq,Vd反向變換成Vα,Vβ，變換方式與Park變換類似，以電角度θ為夾角，分別對Vq,Vd進(jìn)行矢量分解，計(jì)算投影到α軸和β軸上的電壓分量，可以得到如下公式：

Vα = Vdcosθ - Vqsinθ;

Vβ = Vqcosθ + Vdsinθ;

在得到Vα和Vβ之后，需要通過SVPWM算法計(jì)算Va,Vb,Vc，關(guān)于SVPWM算法，網(wǎng)上有篇文章講解的非常好，叫做《SVPWM的原理及法則推導(dǎo)和控制算法詳解》，詳細(xì)的內(nèi)容可以去看這篇文章，下面就根據(jù)這篇文章做一些總結(jié)性的講解。

SVPWM的全稱是空間矢量脈寬調(diào)制(Space Vector Pulse Width Modulation)，是由三相功率逆變器的六個(gè)功率開關(guān)元件組成的特定開關(guān)模式產(chǎn)生的脈寬調(diào)制波，能夠使輸出電流波形盡可能接近于理想的正弦波形。理論基礎(chǔ)是平均值等效原理，即在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)通過對基本電壓矢量加 以組合，使其平均值與給定電壓矢量相等。

假設(shè)直流母線電壓為Udc，三相相電壓分別為UA，UB，UC，且相互之間的相位差為120°；假設(shè)Um為相電壓有效值，f為電源頻率，則有：

圖八 1

則三相電壓空間矢量相加的合成空間矢量U(t)就可以表示為：

圖八 2

U(t)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的空間矢量，幅值不變，為相電壓峰值，且以角頻率ω=2πf按逆時(shí)針方向均勻旋轉(zhuǎn)，而空間矢量U(t)在三相坐標(biāo)軸(a,b,c)上的投影就是對稱的三相正弦量。

下面討論一下電壓空間矢量：

圖九：三相逆變電路

圖九是一個(gè)三相逆變電路，每一相在同一時(shí)刻只有一個(gè)橋會導(dǎo)通，定義這樣一個(gè)開關(guān)函數(shù)Sx(x=a、b、c)：

上橋臂導(dǎo)通時(shí)，Sx=1；下橋臂導(dǎo)通時(shí)，Sx=0。舉個(gè)例子：假設(shè)a相上橋?qū)ǎ琤和c相下橋?qū)?，那么三相的結(jié)果就是a=1,b=0,c=0，組合的結(jié)果就是U4(100)。

在同一時(shí)刻，如果不同相的上下橋同時(shí)存在導(dǎo)通的橋，那么就會有相電流產(chǎn)生，屬于非零矢量；如果同一時(shí)刻，三相的上橋同時(shí)導(dǎo)通或者三相的下橋同時(shí)導(dǎo)通，此時(shí)并不會有相電流產(chǎn)生，屬于零矢量。所以總共存在6個(gè)非零矢量：U1(001)、U2(010)、U3(011)、U4(100)、U5(101)、U6(110)；以及兩個(gè)零矢量：U0(000)、U7(111)。電壓矢量的坐標(biāo)如下圖所示：

圖十：電壓空間矢量圖

在圖十中，顯示了8個(gè)電壓空間矢量U0 ~ U7，以及六個(gè)扇區(qū)Ⅰ~Ⅵ。

假如Sx(x=a,b,c)=(100)，則此時(shí)Ua=?Udc，Ub=-?Udc，Uc=-?Udc，同理可以得到其他各種組合下的空間電壓矢量，如下表：

圖十一：電壓空間矢量表

結(jié)合圖十和圖十一可知，非零矢量的幅值相同，均為?Udc，相鄰的矢量間隔60°，而兩個(gè)零矢量幅值為0，位于中心。在每一個(gè)扇區(qū)，選擇相鄰兩個(gè)電壓矢量以及零矢量，按照伏秒平衡原則來合成每個(gè)扇區(qū)內(nèi)的任意電壓矢量，即：

圖十一 1

或者等效成下式：

圖十一 2

其中，Uref為期望電壓矢量，T為周期，Tx、Ty、T0分別對應(yīng)兩個(gè)非零矢量Ux、Uy和零矢量U0在一個(gè)周期T內(nèi)的作用時(shí)間，其中U0包括U0和U7兩個(gè)零矢量。由于最終要得到的是作用在三相半橋上的占空比，也就是三個(gè)定時(shí)器通道的捕獲比較寄存器的值，所以我們只要能計(jì)算出Tx、Ty、T0的值，就可以知道三個(gè)捕獲比較寄存器值。

先來看一下當(dāng)Uref在第Ⅰ個(gè)扇區(qū)時(shí)的情況，見下圖：

圖十二：電壓空間矢量位于第Ⅰ扇區(qū)

如圖十二所示，Uref位于U4和U6之間，由正弦定理可得：

圖十二 1

得到以U4、U6、U7及U0合成的Uref的時(shí)間后，接下來就是如何產(chǎn)生實(shí)際的脈寬調(diào)制波形。在SVPWM調(diào)制方案中，零矢量的選擇是最具靈活性的適當(dāng)選擇零矢量，可最大限度的減少開關(guān)次數(shù)，盡可能避免在負(fù)載電流較大的時(shí)刻的開關(guān)動作，最大限度的減少開關(guān)損耗。因此，我們以減少開關(guān)次數(shù)為目標(biāo)，將基本矢量作用順序的分配原則選定為：在每次開關(guān)狀態(tài)轉(zhuǎn)換時(shí)，只改變其中一相的開關(guān)狀態(tài)，并且對零矢量在時(shí)間上進(jìn)行了平均分配，以使產(chǎn)生的PWM對稱，從而有效的降低PWM的諧波分量?？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)U4(100)切換至U0(000)時(shí)，只需改變A相上下一對切換開關(guān)，若由U4(100)切換至U7(111)則需要改變B、C相上下兩對切換開關(guān)，增加了一杯的切換損失。因此要改變電壓矢量U4(100)、U2(010)、U1(001)的大小，需配合零電壓矢量U0(000)，而要改變U6(110)、U3(011)、U5(101)，需要配合零電壓矢量U7(111)。這樣通過在不同扇區(qū)內(nèi)安排不同的開關(guān)切換順序，就可以獲得對稱的輸出波形，其他各扇區(qū)的開關(guān)切換順序下表：

圖十二 2

同樣以第Ⅰ扇區(qū)為例，電壓矢量的先后順序?yàn)閁0、U4、U6、U7、U7、U6、U4、U0，將其畫成a,b,c三相的PWM波形的話就如圖十三所示：

圖十三：第1扇區(qū)三相PWM波形

一般我們在控制PMSM的時(shí)候都會將PWM波形設(shè)定為中央對齊模式，所以在圖十三中，對稱中心的兩邊各個(gè)電壓矢量所占的時(shí)間都是該電壓矢量在整個(gè)周期中所占時(shí)間的一半。

要先實(shí)現(xiàn)SVPWM的實(shí)時(shí)調(diào)制，我們首先要知道Uref所在的扇區(qū)位置，然后才能利用所在扇區(qū)的相鄰電壓矢量和適當(dāng)?shù)牧闶噶縼砗铣呻妷菏噶?。由圖十二可以知道，電壓矢量Uref與α軸的夾角θ決定了Uref所在的扇區(qū)，所以我們只要判斷θ角的大小即可知道Uref所在的扇區(qū)。

由 tanθ=Uβ/Uα，可知 θ=arctan(Uβ/Uα)，當(dāng)Uref位于第Ⅰ扇區(qū)時(shí)，θ滿足0<θ<60°，此時(shí)，Uα>0，Uβ>0，tanθ滿足 00，Uβ>0，√3Uα>Uβ。

同理可以得出Uref位于其他扇區(qū)時(shí)的等價(jià)條件，如下：

Uref位于第Ⅱ扇區(qū)時(shí)的充要條件是：Uβ>0，√3|Uα|

Uref位于第Ⅲ扇區(qū)時(shí)的充要條件是：Uα<0，Uβ>0，-√3Uα>Uβ；

Uref位于第Ⅳ扇區(qū)時(shí)的充要條件是：Uα<0，Uβ<0，√3Uα

Uref位于第Ⅴ扇區(qū)時(shí)的充要條件是：Uβ<0，√3|Uα|<-Uβ；

Uref位于第Ⅵ扇區(qū)時(shí)的充要條件是：Uα>0，Uβ<0，√3Uα>-Uβ；

進(jìn)一步分析以上的條件就可以看出，電壓矢量Uref所在的扇區(qū)完全由Uβ，√3Uα-Uβ，-√3Uα-Uβ三式?jīng)Q定，

因此令：

圖十三 1

再定義，若U1>0，則A=1，否則A=0；若U2>0，則B=1，否則B=0；若U3>0，則C=1，否則C=0。

再令N=4C+2B+A，則可以通過下標(biāo)計(jì)算Uref所在的扇區(qū)。

圖十三 2

接下來就要來計(jì)算合成Uref的相鄰電壓矢量的作用時(shí)間以及零矢量的作用時(shí)間。

假設(shè)Uref位于第Ⅰ扇區(qū)時(shí)(參照圖十二)，用到的電壓矢量是U4和U6，所以就需要計(jì)算T4和T6，以及零電壓矢量的T0和T7。計(jì)算過程如下：

Uα*Ts = |U4|*T4 + |U6|T6cos(π/3)；

Uβ*Ts = |U4|T40 + |U6|T6cos(π/6)；

前面說過，|U4|=|U6|=?Udc，所以有：

UαTs = ?UdcT4 + ?Udc*T6； ①

UβTs = (UdcT6) / √3； ②

解①，②組成的方程組，得：

T4 = (√3/Udc) * Ts * (√3Uα/2 - Uβ/2) = (√3/Udc) * Ts * U2；

T6 = (√3/Udc) * Ts * Uβ = (√3/Udc) * Ts * U1；

又因?yàn)門s=T0+T4+T6+T7，并且T0和T7的給定是靈活的，可以令T0=T7，那么就有：

T0 = T7 = (Ts - T4 - T6) / 2；

這樣就計(jì)算出了Uref位于第Ⅰ扇區(qū)時(shí)各電壓矢量的時(shí)間了。同理可以計(jì)算出位于其他扇區(qū)時(shí)的各電壓矢量時(shí)間：

Uref位于第Ⅱ扇區(qū)時(shí)：

T2 = (-√3/Udc) * Ts * (√3Uα/2 - Uβ/2) = -(√3/Udc) * Ts * U2；

T6 = (-√3/Udc) * Ts * (-√3Uα/2 - Uβ/2) = -(√3/Udc) * Ts * U3；

T0 = T7 = (Ts - T2 - T6) / 2；

Uref位于第Ⅲ扇區(qū)時(shí)：

T2 = (√3/Udc) * Ts * Uβ = (√3/Udc) * Ts * U1；

T3 = (√3/Udc) * Ts * (-√3Uα/2 - Uβ/2) = (√3/Udc) * Ts * U3；

T0 = T7 = (Ts - T2 - T3) / 2；

Uref位于第Ⅳ扇區(qū)時(shí)：

T1 =(-√3/Udc) * Ts * Uβ = -(√3/Udc) * Ts * U1；

T3 = (-√3/Udc) * Ts * (√3Uα/2 - Uβ/2) = -(√3/Udc) * Ts * U2；

T0 = T7 = (Ts - T1 - T3) / 2；

Uref位于第Ⅴ扇區(qū)時(shí)：

T1 = (√3/Udc) * Ts * (-√3Uα/2 - Uβ/2) = (√3/Udc) * Ts * U3；

T5 = (√3/Udc) * Ts * (√3Uα/2 - Uβ/2) = (√3/Udc) * Ts * U2；

T0 = T7 = (Ts - T1 - T5) / 2；

Uref位于第Ⅵ扇區(qū)時(shí)：

T4 = (-√3/Udc) * Ts * (-√3Uα/2 - Uβ/2) = -(√3/Udc) * Ts * U3；

T5 = (-√3/Udc) * Ts * Uβ = -(√3/Udc) * Ts * U1；

T0 = T7 = (Ts - T4 - T5) / 2；

這樣就完成了Uref位于6個(gè)扇區(qū)時(shí)的各電壓矢量時(shí)間的計(jì)算，其中√3/Udc是SVPWM調(diào)制模式下的最大不失真電壓幅值，在計(jì)算定時(shí)器各通道的捕獲比較寄存器值時(shí)可以將√3/Udc直接去掉；Ts是PWM一個(gè)完整周期的時(shí)間，也就是定時(shí)器的計(jì)數(shù)周期。

在圖十三中，整個(gè)PWM周期中，最先發(fā)生的是T0，接下來依次是T4，T6，T7，其中T4，T6是兩個(gè)非零矢量，且T4先于T6發(fā)生，所以我們可以令先發(fā)生的非零矢量時(shí)間為Tx，后發(fā)生的非零矢量時(shí)間為Ty，并且T0=T7，那么就可以得出加載到三個(gè)捕獲比較寄存器上的時(shí)間分別是：

T1 = (Ts - Tx - Ty) / 4；

T2 = T1 + Tx/2；

T3 = T2 + Ty/2；

只要根據(jù)Uref實(shí)際所在的扇區(qū)，確定Tx和Ty實(shí)際所對應(yīng)的電壓矢量，就可以計(jì)算出T1，T2，T3的值；然后再根據(jù)Uref所在的扇區(qū)畫出類似圖十三的三相PWM波形，就可以確定T1，T2，T3分別對應(yīng)到三相A，B，C的哪一個(gè)通道，再賦值給對應(yīng)通道的捕獲比較寄存器，就完成了SVPWM算法。