如何選擇優(yōu)化器及其優(yōu)化 - 全文

在很多機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的應(yīng)用中，我們發(fā)現(xiàn)用的最多的優(yōu)化器是 Adam，為什么呢？

下面是 TensorFlow 中的優(yōu)化器：

在 keras 中也有 SGD，RMSprop，Adagrad，Adadelta，Adam 等。
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我們可以發(fā)現(xiàn)除了常見的梯度下降，還有 Adadelta，Adagrad，RMSProp 等幾種優(yōu)化器，都是什么呢，又該怎么選擇呢？

在 Sebastian Ruder 的這篇論文中給出了常用優(yōu)化器的比較，本文將梳理：
每個(gè)算法的梯度更新規(guī)則和缺點(diǎn)
為了應(yīng)對(duì)這個(gè)不足而提出的下一個(gè)算法
超參數(shù)的一般設(shè)定值
幾種算法的效果比較
選擇哪種算法

優(yōu)化器算法簡(jiǎn)述
首先來看一下梯度下降最常見的三種變形 BGD，SGD，MBGD，
這三種形式的區(qū)別就是取決于我們用多少數(shù)據(jù)來計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度，
這樣的話自然就涉及到一個(gè) trade－off，即參數(shù)更新的準(zhǔn)確率和運(yùn)行時(shí)間。

1. Batch gradient descent

梯度更新規(guī)則:

BGD 采用整個(gè)訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)來計(jì)算 cost function 對(duì)參數(shù)的梯度：

缺點(diǎn):

由于這種方法是在一次更新中，就對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)集計(jì)算梯度，所以計(jì)算起來非常慢，遇到很大量的數(shù)據(jù)集也會(huì)非常棘手，而且不能投入新數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)更新模型
for i in range(nb_epochs):
params_grad = evaluate_gradient(loss_function, data, params)
params = params - learning_rate * params_grad
我們會(huì)事先定義一個(gè)迭代次數(shù) epoch，首先計(jì)算梯度向量 params_grad，然后沿著梯度的方向更新參數(shù) params，learning rate 決定了我們每一步邁多大。

Batch gradient descent 對(duì)于凸函數(shù)可以收斂到全局極小值，對(duì)于非凸函數(shù)可以收斂到局部極小值。

2. Stochastic gradient descent

梯度更新規(guī)則:

和 BGD 的一次用所有數(shù)據(jù)計(jì)算梯度相比，SGD 每次更新時(shí)對(duì)每個(gè)樣本進(jìn)行梯度更新， 對(duì)于很大的數(shù)據(jù)集來說，可能會(huì)有相似的樣本，這樣 BGD 在計(jì)算梯度時(shí)會(huì)出現(xiàn)冗余， 而 SGD 一次只進(jìn)行一次更新，就沒有冗余，而且比較快，并且可以新增樣本。

for i in range(nb_epochs):
np.random.shuffle(data)
for example in data:
params_grad = evaluate_gradient(loss_function, example, params)
params = params - learning_rate * params_grad

看代碼，可以看到區(qū)別，就是整體數(shù)據(jù)集是個(gè)循環(huán)，其中對(duì)每個(gè)樣本進(jìn)行一次參數(shù)更新。

缺點(diǎn):

但是 SGD 因?yàn)楦卤容^頻繁，會(huì)造成 cost function 有嚴(yán)重的震蕩。

BGD 可以收斂到局部極小值，當(dāng)然 SGD 的震蕩可能會(huì)跳到更好的局部極小值處。

當(dāng)我們稍微減小 learning rate，SGD 和 BGD 的收斂性是一樣的。

3. Mini-batch gradient descent

梯度更新規(guī)則:

MBGD 每一次利用一小批樣本，即 n 個(gè)樣本進(jìn)行計(jì)算。這樣它可以降低參數(shù)更新時(shí)的方差，收斂更穩(wěn)定。另一方面可以充分地利用深度學(xué)習(xí)庫(kù)中高度優(yōu)化的矩陣操作來進(jìn)行更有效的梯度計(jì)算。

和 SGD 的區(qū)別是每一次循環(huán)不是作用于每個(gè)樣本，而是具有 n 個(gè)樣本的批次
for i in range(nb_epochs):
np.random.shuffle(data)
for batch in get_batches(data, batch_size=50):
params_grad = evaluate_gradient(loss_function, batch, params)
params = params - learning_rate * params_grad

超參數(shù)設(shè)定值:

n 一般取值在 50～256

缺點(diǎn):

不過 Mini-batch gradient descent 不能保證很好的收斂性，

learning rate 如果選擇的太小，收斂速度會(huì)很慢，如果太大，loss function 就會(huì)在極小值處不停地震蕩甚至偏離。
有一種措施是先設(shè)定大一點(diǎn)的學(xué)習(xí)率，當(dāng)兩次迭代之間的變化低于某個(gè)閾值后，就減小 learning rate，不過這個(gè)閾值的設(shè)定需要提前寫好，這樣的話就不能夠適應(yīng)數(shù)據(jù)集的特點(diǎn)。

此外，這種方法是對(duì)所有參數(shù)更新時(shí)應(yīng)用同樣的 learning rate，如果我們的數(shù)據(jù)是稀疏的，我們更希望對(duì)出現(xiàn)頻率低的特征進(jìn)行大一點(diǎn)的更新。

另外，對(duì)于非凸函數(shù)，還要避免陷于局部極小值處，或者鞍點(diǎn)處，因?yàn)榘包c(diǎn)周圍的error 是一樣的，所有維度的梯度都接近于0，SGD 很容易被困在這里。

鞍點(diǎn)就是：一個(gè)光滑函數(shù)的鞍點(diǎn)鄰域的曲線，曲面，或超曲面，都位于這點(diǎn)的切線的不同邊。

例如這個(gè)二維圖形，像個(gè)馬鞍：在x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲，鞍點(diǎn)就是（0，0）

為了應(yīng)對(duì)上面的三點(diǎn)挑戰(zhàn)就有了下面這些算法。

［應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn) 1］

4. Momentum

SGD 在 ravines 的情況下容易被困住， ravines 就是曲面的一個(gè)方向比另一個(gè)方向更陡，這時(shí) SGD 會(huì)發(fā)生震蕩而遲遲不能接近極小值：

梯度更新規(guī)則:

Momentum 通過加入 γv_t?1 ，可以加速 SGD， 并且抑制震蕩

當(dāng)我們將一個(gè)小球從山上滾下來時(shí)，沒有阻力的話，它的動(dòng)量會(huì)越來越大，但是如果遇到了阻力，速度就會(huì)變小。

加入的這一項(xiàng)，可以使得梯度方向不變的維度上速度變快，梯度方向有所改變的維度上的更新速度變慢，這樣就可以加快收斂并減小震蕩。

超參數(shù)設(shè)定值:

一般 γ 取值 0.9 左右。

缺點(diǎn):

這種情況相當(dāng)于小球從山上滾下來時(shí)是在盲目地沿著坡滾，如果它能具備一些先知，例如快要上坡時(shí)，就知道需要減速了的話，適應(yīng)性會(huì)更好。

5. Nesterov accelerated gradient

梯度更新規(guī)則:

用 θ?γv_t?1 來近似當(dāng)做參數(shù)下一步會(huì)變成的值，則在計(jì)算梯度時(shí)，不是在當(dāng)前位置，而是未來的位置上

超參數(shù)設(shè)定值:

γ 仍然取值 0.9 左右。

效果比較:

藍(lán)色是 Momentum 的過程，會(huì)先計(jì)算當(dāng)前的梯度，然后在更新后的累積梯度后會(huì)有一個(gè)大的跳躍。

而 NAG 會(huì)先在前一步的累積梯度上(brown vector)有一個(gè)大的跳躍，然后衡量一下梯度做一下修正(red vector)，這種預(yù)期的更新可以避免我們走的太快。

NAG 可以使 RNN 在很多任務(wù)上有更好的表現(xiàn)。

目前為止，我們可以做到，在更新梯度時(shí)順應(yīng) loss function 的梯度來調(diào)整速度，并且對(duì) SGD 進(jìn)行加速。

我們還希望可以根據(jù)參數(shù)的重要性而對(duì)不同的參數(shù)進(jìn)行不同程度的更新。

［應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn) 2］
6. Adagrad
這個(gè)算法就可以對(duì)低頻的參數(shù)做較大的更新，對(duì)高頻的做較小的更新，也因此，對(duì)于稀疏的數(shù)據(jù)它的表現(xiàn)很好，很好地提高了 SGD 的魯棒性，例如識(shí)別 Youtube 視頻里面的貓，訓(xùn)練 GloVe word embeddings，因?yàn)樗鼈兌际切枰诘皖l的特征上有更大的更新。

梯度更新規(guī)則:

其中 g 為：t 時(shí)刻參數(shù) θ_i 的梯度

如果是普通的 SGD， 那么 θ_i 在每一時(shí)刻的梯度更新公式為：

但這里的 learning rate η 也隨 t 和 i 而變：

其中 G_t 是個(gè)對(duì)角矩陣， (i,i) 元素就是 t 時(shí)刻參數(shù) θ_i 的梯度平方和。

Adagrad 的優(yōu)點(diǎn)是減少了學(xué)習(xí)率的手動(dòng)調(diào)節(jié)

超參數(shù)設(shè)定值:

一般 η 就取 0.01。

缺點(diǎn):

它的缺點(diǎn)是分母會(huì)不斷積累，這樣學(xué)習(xí)率就會(huì)收縮并最終會(huì)變得非常小。

7. Adadelta

這個(gè)算法是對(duì) Adagrad 的改進(jìn)，

和 Adagrad 相比，就是分母的 G 換成了過去的梯度平方的衰減平均值，

這個(gè)分母相當(dāng)于梯度的均方根 root mean squared (RMS) ，所以可以用 RMS 簡(jiǎn)寫：

其中 E 的計(jì)算公式如下，t 時(shí)刻的依賴于前一時(shí)刻的平均和當(dāng)前的梯度：

梯度更新規(guī)則:

此外，還將學(xué)習(xí)率 η 換成了 RMS[Δθ]，這樣的話，我們甚至都不需要提前設(shè)定學(xué)習(xí)率了：

超參數(shù)設(shè)定值:

γ 一般設(shè)定為 0.9，

8. RMSprop
RMSprop 是 Geoff Hinton 提出的一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率方法。

RMSprop 和 Adadelta 都是為了解決 Adagrad 學(xué)習(xí)率急劇下降問題的，

梯度更新規(guī)則:

RMSprop 與 Adadelta 的第一種形式相同：

超參數(shù)設(shè)定值:

Hinton 建議設(shè)定 γ 為 0.9, 學(xué)習(xí)率 η 為 0.001。

9. Adam
這個(gè)算法是另一種計(jì)算每個(gè)參數(shù)的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的方法。

除了像 Adadelta 和 RMSprop 一樣存儲(chǔ)了過去梯度的平方 vt 的指數(shù)衰減平均值 ，也像 momentum 一樣保持了過去梯度 mt 的指數(shù)衰減平均值：

如果 mt 和 vt 被初始化為 0 向量，那它們就會(huì)向 0 偏置，所以做了偏差校正， 通過計(jì)算偏差校正后的 mt 和 vt 來抵消這些偏差：

梯度更新規(guī)則:

超參數(shù)設(shè)定值:

建議 β1 ＝ 0.9，β2 ＝ 0.999，? ＝ 10e?8

實(shí)踐表明，Adam 比其他適應(yīng)性學(xué)習(xí)方法效果要好。

效果比較

下面看一下幾種算法在鞍點(diǎn)和等高線上的表現(xiàn)：

上面兩種情況都可以看出，Adagrad, Adadelta, RMSprop 幾乎很快就找到了正確的方向并前進(jìn)，收斂速度也相當(dāng)快，而其它方法要么很慢，要么走了很多彎路才找到。

由圖可知自適應(yīng)學(xué)習(xí)率方法即 Adagrad, Adadelta, RMSprop, Adam 在這種情景下會(huì)更合適而且收斂性更好。

如何選擇

如果數(shù)據(jù)是稀疏的，就用自適用方法，即 Adagrad, Adadelta, RMSprop, Adam。

RMSprop, Adadelta, Adam 在很多情況下的效果是相似的。

Adam 就是在 RMSprop 的基礎(chǔ)上加了 bias-correction 和 momentum，

隨著梯度變的稀疏，Adam 比 RMSprop 效果會(huì)好。

整體來講，Adam 是最好的選擇。

很多論文里都會(huì)用 SGD，沒有 momentum 等。SGD 雖然能達(dá)到極小值，但是比其它算法用的時(shí)間長(zhǎng)，而且可能會(huì)被困在鞍點(diǎn)。

如果需要更快的收斂，或者是訓(xùn)練更深更復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，需要用一種自適應(yīng)的算法。