就這么簡單！任意模擬范圍的有效分辨率計算

　　摘要：實(shí)際應(yīng)用中，多數(shù)情況下只會用到數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器量程的一部分。如果輸入信號范圍只占轉(zhuǎn)換器量程范圍的一半或四分之一，則很容易計算出有效分辨率。如果不是這樣，計算將變得復(fù)雜。本文介紹在任何輸入范圍下的有效分辨率計算。

　　作為轉(zhuǎn)換器量程一部分的電壓裕量

　　模擬系統(tǒng)通常留出一定的裕量來調(diào)整增益誤差、漂移、設(shè)計容限或適應(yīng)配套設(shè)備的狀況。在模擬和數(shù)字之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換時，我們也需要在數(shù)字部分保留一定的裕量。以0至10V的工業(yè)控制電壓為例，如果我們只允許ADC量化最大10V的電壓，那么，所有下行設(shè)備必須限制在10V，否則將丟失信息。因此，工業(yè)控制中通常允許5%甚至20%的裕量。

　　其它系統(tǒng)，例如視頻系統(tǒng)，視頻信號中往往包含同步信號。1VP-P視頻信號中包括700mV有用視頻信號和300mV的同步脈沖。如果利用12位ADC對這樣的信號進(jìn)行數(shù)字轉(zhuǎn)換，視頻本身僅占用整個量程的70%，或者說4096個量化編碼中只使用了2867個編碼。現(xiàn)在，假設(shè)保留裕量為5%，則有效使用范圍更低。

　　因此，在模擬和數(shù)字之間轉(zhuǎn)換時，我們必須保證數(shù)字部分能夠應(yīng)對系統(tǒng)裕量。這一點(diǎn)很重要，但代價是降低了有效分辨率。

　　任意模擬范圍的有效分辨率計算

　　我們首先從兒童的數(shù)學(xué)練習(xí)開始——這么簡單嗎?

　　我兒子最近問了我一道數(shù)學(xué)題。大致內(nèi)容如下。我有一張巨大的紙，將其剪成兩半;我將兩張紙摞在一起，那么總厚度將為原來的2倍?，F(xiàn)在，我又將這摞紙裁成兩半，并再次將其摞在一起，此時的總厚度為最初單張紙的4倍。依此類推，重復(fù)以上過程多少次之后，摞起來的紙的高度可以到達(dá)月亮?

　　他需要推導(dǎo)的公式與計算有效分辨率的公式非常相似，公式中使用了對數(shù)。

　　以電壓為0至10V、20%裕量的工業(yè)控制為例，實(shí)際范圍為0至12V。如果采用16位DAC，那么0至10V信號的有效分辨率是多少?

　　我們知道，對于R位分辨率的DAC，其階梯數(shù)為2R。所以，定義N為階梯數(shù)：

　　N = 2R

　　我們需要求出R，所以需要用到對數(shù)計算。在等式兩側(cè)取對數(shù)：

　　Log(N) = R × Log(2)

　　式子簡化為：

　　R = Log(N)/Log(2)

　　返回工業(yè)控制的例子，對于0至10V范圍，實(shí)際上僅使用了階梯數(shù)的10/12 = 0.833倍。在16位系統(tǒng)中，碼值為54613。將該數(shù)字代入公式，即可計算出有效分辨率：

　　R = Log(54613)/Log(2) = 15.7

　　所以，如果留出20%裕量，有效分辨率會降低大約0.3位。

　　實(shí)際上，就位數(shù)而言，減少的位數(shù)與原始分辨率無關(guān)。我們可以通過所用編碼與可用編碼之比得出減少的位數(shù)。

　　Δr = Log(r)/Log(2)

　　因此，在以上700mV視頻和300mV同步信號的視頻例子中，使用了0.7倍的可用編碼：

　　Δr = Log(0.7)/Log(2) = -0.51

　　結(jié)果損失了0.51位。所以，在12位系統(tǒng)中，有效分辨率為11.49位，在16位系統(tǒng)中為15.49位。

　　對于那些想知道剪多少次紙后才能從地球到達(dá)月球的人，可以進(jìn)行以下計算：紙摞的高度T = p × 2C，式中：p為單張紙的厚度，C為剪紙的次數(shù)。注意到相似性了嗎?按照相同的方式，我們可求解出C，于是C = Log(T/p)/Log(2)。

　　如何完成我兒子的家庭作業(yè)呢?我測得一張打印紙的厚度為0.11mm。月球與地球的距離大約為300,000km。所以，我們需要剪紙的次數(shù)為Log(3 × 1011/0.11)/Log(2) = 42次。好，我們現(xiàn)在動手...所需的時間并不長嘛。所需剪紙的次數(shù)少得讓人難以置信。

　　結(jié)論

　　任何進(jìn)行模擬和數(shù)字信號相互轉(zhuǎn)換的系統(tǒng)中，必定有一定的裕量，這通常會降低系統(tǒng)的有效分辨率。本文推導(dǎo)的公式能夠在已知模擬信號占數(shù)字范圍的比例的條件下，計算出有效分辨率。實(shí)際上，正如示例所示，即使采用留出較大的裕量開銷，所減少的有效分辨率也不到1位。