非線性問題研究中的數(shù)值實(shí)驗(yàn)

一、數(shù)值實(shí)驗(yàn)的過程和特點(diǎn)

傳統(tǒng)意義上的實(shí)驗(yàn)，即現(xiàn)在所稱的實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)，是指用物質(zhì)手段改變研究對象而獲得關(guān)于其性質(zhì)或狀態(tài)的信息。這里稱人們有目的地運(yùn)用電子計(jì)算機(jī)來了解某類客觀事物的性質(zhì)或狀態(tài)的實(shí)踐活動(dòng)為數(shù)值實(shí)驗(yàn)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)不僅僅是求解問題的數(shù)值計(jì)算，重要的是觀察模型條件和參數(shù)變化時(shí)，結(jié)果有何種相應(yīng)變化。關(guān)于后者，[1]中生動(dòng)地描述為“先是創(chuàng)造一個(gè)微小的宇宙，然后觀察它的演化，然后再改動(dòng)這兒，改動(dòng)那兒，改動(dòng)一些性質(zhì)之后，再觀察一遍從頭開始的演化過程?！?/p>

數(shù)值實(shí)驗(yàn)的過程包括個(gè)3基本步驟：

明確數(shù)值實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，設(shè)計(jì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)方案；

選擇和/或編制數(shù)值計(jì)算程序，上機(jī)運(yùn)算；

對計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)字或圖形進(jìn)行理論分析。

新的普適常數(shù)δ的發(fā)現(xiàn)就是上述過程的一個(gè)例子。首先，費(fèi)根鮑姆 (Feigenbaum) 為了找到在區(qū)間迭代映射中進(jìn)入混沌帶的規(guī)律，選擇了一些截然不同的單峰非線性函數(shù)進(jìn)行迭代；其次，在與成千上萬個(gè)數(shù)據(jù)接觸中他發(fā)現(xiàn)δ=4.6692...這個(gè)數(shù)值反復(fù)出現(xiàn)；最后，他用π、e、c、h、k等已知普適常數(shù)做各種組合，以驗(yàn)證δ確是一個(gè)新的普適常數(shù)。此外，他還用重整化群方法在理論上進(jìn)行了論證。需要指出的是，數(shù)值實(shí)驗(yàn)的步驟3至關(guān)重要，計(jì)算機(jī)的大量輸出，若無理論分析，難以說明任何問題。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)具備一些獨(dú)特的性質(zhì)。首先，數(shù)值實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)對象是客觀實(shí)在的理論抽象，是經(jīng)過提煉的數(shù)學(xué)模型，這種抽象的實(shí)驗(yàn)對象往往能突出客觀實(shí)在的特性。例如洛倫茨 (Lorenz) 在研究長期氣象預(yù)報(bào)的困難所在時(shí)，并不直接以大氣現(xiàn)象為實(shí)驗(yàn)對象，而是針對經(jīng)截?cái)嗟牧黧w對流模型進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了后來所稱的“蝴蝶效應(yīng)”，從而揭示了長期氣象預(yù)報(bào)的不可能性。

其次，數(shù)值實(shí)驗(yàn)中的實(shí)驗(yàn)條件可以較精確地加以控制。近現(xiàn)代科學(xué)中的實(shí)驗(yàn)都是受控實(shí)驗(yàn)，需要對實(shí)驗(yàn)條件進(jìn)行控制。實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)由于外界隨機(jī)噪聲背景的干擾和各類測量性誤差的限制，因而很難實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的控制；在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)條件即是所研究數(shù)學(xué)模型中的各種參數(shù)，因而可以達(dá)到很高精度的控制，這在非線性問題研究中也是非常必要的。例如在描述外周期力作用下不含擴(kuò)散項(xiàng)的三分子反應(yīng)的布魯塞爾 (Brussel) 振子模型中，有4個(gè)參數(shù)，外加2個(gè)初值，只有在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中才可能分析某個(gè)參數(shù)對模型混沌性態(tài)的影響。

最后，數(shù)值實(shí)驗(yàn)的一個(gè)特點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)所需的人力物力較少，實(shí)驗(yàn)周期短，實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果可以存盤長期保存，實(shí)驗(yàn)也易于重復(fù)檢驗(yàn)。這些都是實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)無法比擬的。

二、數(shù)值實(shí)驗(yàn)的作用

在非線性問題中，由于理論不完備，實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)難度較大，因此數(shù)值實(shí)驗(yàn)起著非常重要甚至是不可替代的作用。這些作用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)在非線性問題研究中的一個(gè)突出作用是發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象。截?cái)鄬α髂Ｐ统尸F(xiàn)的非周期運(yùn)動(dòng)、非可積非遍歷的非線性耦合雙振子系統(tǒng)從周期運(yùn)動(dòng)到隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的過渡、無碰撞液體中的孤立子、單自由度非線性振子貌似隨機(jī)的混亂定常運(yùn)動(dòng)、2維映射中的奇怪吸引子、單峰非線性閉區(qū)間迭代由倍周期分叉到混沌的普適常數(shù)δ?和α、復(fù)平面上迭代映射形成的分形集，以及迭代求根公式中不同根吸引區(qū)域的復(fù)雜邊界，諸如此類的大量新現(xiàn)象都是由數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的，這已成過去20余年來非線性問題研究的重要特色。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)在非線性問題研究中的另一作用是補(bǔ)充理論結(jié)果，數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以使一些理論結(jié)果定量化。例如在采用漸近法或攝動(dòng)法等近似解析方法研究非線性問題時(shí)，其結(jié)論往往僅當(dāng)問題中某個(gè)小參數(shù)ε充分小時(shí)才適用，對于特定問題，只有用數(shù)值實(shí)驗(yàn)才能定量地確定出ε的容許范圍。數(shù)值實(shí)驗(yàn)還可以揭示理論結(jié)果中有關(guān)條件不成立時(shí)將發(fā)生的情況，如著名的KAM定理?xiàng)l件不成立時(shí)的混沌圖像便是由埃農(nóng) (Hénon) 和福特 (Ford) 等人進(jìn)行大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)而得到的。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)還可以借助具體直觀來提供啟示，激發(fā)靈感。這種作用早在電子計(jì)算機(jī)問世之前就在數(shù)論及低維幾何和拓?fù)涞葦?shù)學(xué)分支中顯示，高斯推測素?cái)?shù)定理就是一例?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)及其圖形顯示技術(shù)使得數(shù)值實(shí)驗(yàn)?zāi)芨行У匕l(fā)揮這種作用。例如完成曼德爾布羅 (Mandelbrot) 集連通性證明的哈伯德 (Hubbard) 后來回憶，在仔細(xì)觀察計(jì)算機(jī)描繪的圖案數(shù)小時(shí)后，他認(rèn)為曼德爾布羅集是連通的，有了正確的結(jié)論便大大減少了證明的困難。此外，計(jì)算機(jī)繪出的各種美麗圖形也能更廣泛地引起研究者的興趣，突出的例子是分形的研究。雖然早在20年代就由朱利亞 (Julia) 開創(chuàng)了復(fù)平面迭代的研究，后又有當(dāng)代數(shù)學(xué)大師阿爾福斯 (Ahlfors) 的參與，但仍因有關(guān)圖形無法用紙和筆繪制出來而不得不偃旗息鼓。直到70年代末曼德爾布羅用計(jì)算機(jī)繪出先前僅在研究者大腦中有想象的圖形，才使分形研究受到普遍關(guān)注。

像實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)一樣，數(shù)值實(shí)驗(yàn)還有檢驗(yàn)理論結(jié)果的作用。有人甚至認(rèn)為“數(shù)值計(jì)算一般可以是理論分析的最終檢驗(yàn)”。早在混沌等非線性問題研究熱潮興起之前，費(fèi)米 (Fermi) 等人就曾用數(shù)值實(shí)驗(yàn)針對非線性振子耦合鏈的動(dòng)力學(xué)行為檢驗(yàn)了波爾茨曼 (Boltzmann) 遍歷性假設(shè)，結(jié)果該系統(tǒng)并沒有出現(xiàn)假設(shè)所預(yù)言的情形，從而知道遍歷性并非是不可積動(dòng)力系統(tǒng)的普遍性質(zhì)。大量非線性問題，如同一偏微分方程的兩個(gè)孤立波相撞后是否保持其形狀不變從而具有孤立子的特征、陣發(fā)混沌與倍周期分叉的關(guān)系、倍周期分叉序列或MSS普適序列在微分方程所控制系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)等，均可用數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)甚至還有可能證明定理，曾將費(fèi)根鮑姆的有關(guān)結(jié)論在計(jì)算機(jī)輔助下予以證明的蘭福德 (Lanford) 正在努力使數(shù)值實(shí)驗(yàn)成為嚴(yán)格證明的方法。

三、理論在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中的作用

現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)已提供大量的論證和實(shí)例表明實(shí)驗(yàn)是不能脫離理論的，數(shù)值實(shí)驗(yàn)作為一種特殊的實(shí)驗(yàn)，理論在其中起著更重要的作用。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)的全部過程都是在理論的指導(dǎo)和配合下實(shí)現(xiàn)的。數(shù)值實(shí)驗(yàn)的對象（數(shù)學(xué)模型）本身便是理論研究的產(chǎn)物，數(shù)值實(shí)驗(yàn)的目的（發(fā)現(xiàn)什么、驗(yàn)證什么等）都直接或間接地與理論的發(fā)展有關(guān)。編制和實(shí)施計(jì)算程序要用到計(jì)算數(shù)學(xué)理論，分析處理計(jì)算機(jī)輸出更需要有較高的理論素養(yǎng)。

理論在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中的作用還表現(xiàn)在，數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果要得到充分重視必須有理論研究的背景，回顧一些重要的數(shù)值實(shí)驗(yàn)被忽視的史實(shí)便可以清楚地看出這一點(diǎn)。仍以費(fèi)米等人的耦合非線性振子數(shù)值研究為例，這是最早的一個(gè)重要數(shù)值實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)已公認(rèn)它的結(jié)果是對當(dāng)時(shí)物理學(xué)基本觀念的挑戰(zhàn)。它一方面否證了遍歷性假設(shè)，另一方面也是現(xiàn)已滲透到數(shù)學(xué)物理每個(gè)分支的孤立子理論的開端。但由于當(dāng)時(shí)的理論研究背景，費(fèi)米等人也僅將它當(dāng)作反常的個(gè)別現(xiàn)象未予以深入研究，有關(guān)論文也沒有正式發(fā)表，10年后才收入費(fèi)米的全集，近20年后在孤立子研究熱潮中重新發(fā)表。[1]中記敘的有關(guān)混沌的一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)亦有類似命運(yùn)。

理論研究與數(shù)值實(shí)驗(yàn)又是互相補(bǔ)充的。例如在研究連續(xù)流動(dòng)攪拌槽反應(yīng)器數(shù)學(xué)模型分叉問題中，厄帕爾 (Uppal) 等人在進(jìn)行大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上給出了系統(tǒng)的5種局部分叉圖，戈盧比茨基 (Golubitsky) 等人應(yīng)用奇異理論予以證實(shí)并發(fā)現(xiàn)2種新的分又圖，他們還指出這些局部結(jié)果有可能推廣到全局，巴拉科泰亞 (Balakotaiah) 等用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述理論結(jié)果可以推廣到全局。這種從數(shù)值實(shí)驗(yàn)到理論分析再到新的數(shù)值實(shí)驗(yàn)的研究模式，在非線性問題研究中有著廣泛的應(yīng)用。

綜上可知，與實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)相比，數(shù)值實(shí)驗(yàn)與理論的關(guān)系更為密切。就數(shù)值實(shí)驗(yàn)的性質(zhì)而言，誠如埃農(nóng)所說：“數(shù)值實(shí)驗(yàn)是名副其實(shí)的實(shí)驗(yàn)，要用實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家而不是數(shù)學(xué)家的心態(tài)描述和評價(jià)?！钡推鋵?shí)施過程而言，則更接近于理論研究?？梢哉J(rèn)為數(shù)值實(shí)驗(yàn)的出現(xiàn)在一定程度上淡化了實(shí)驗(yàn)研究與理論研究的差別。

四、數(shù)值實(shí)驗(yàn)的局限性

任何方法都不是萬能的，數(shù)值實(shí)驗(yàn)也不例外，它也有自身的局限性。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)的局限性首先表現(xiàn)在它完全依賴于問題的數(shù)學(xué)模型。若尚無令人滿意的數(shù)學(xué)模型，如地震過程，數(shù)值實(shí)驗(yàn)便無能為力。若數(shù)學(xué)模型非常復(fù)雜，如湍流，數(shù)值實(shí)驗(yàn)所能起的作用也是很有限的，特別是在大雷諾數(shù)的情況下，計(jì)算量之大使得即使是大尺度精確模擬也不可能，只能借助于大渦模擬等一些特定模式。

必然存在的誤差也反映了數(shù)值實(shí)驗(yàn)的局限性。即使不考慮建立模型本身時(shí)的誤差，數(shù)值實(shí)驗(yàn)也不可避免地存在著截?cái)嗾`差和舍入誤差。數(shù)值運(yùn)算如積分、求導(dǎo)、級數(shù)求和等極限過程，都是強(qiáng)制性近似的，無限多位的實(shí)數(shù)是通過有限位的截尾數(shù)來近似的。已有的相同數(shù)學(xué)模型采用不同算法或在不同機(jī)器上運(yùn)行得到定性相異結(jié)果的報(bào)道表明，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果同計(jì)算方法和工具有關(guān)。斯帕羅 (Sparrow) 在對洛倫茨方程的系統(tǒng)研究中，謹(jǐn)慎地將大多數(shù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)在不同的計(jì)算機(jī)上用不同的算法進(jìn)行，這對于克服誤差產(chǎn)生的局限無疑是必要的，但仍不是充分的。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)的局限性還表現(xiàn)在對計(jì)算工具有相應(yīng)的技術(shù)要求，如運(yùn)算速度、存儲容量、機(jī)器字長、繪圖設(shè)備等，因而一些令人感興趣的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，如奇怪吸引子隨參數(shù)或初值變化的動(dòng)態(tài)顯示，實(shí)施時(shí)仍有相當(dāng)困難。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)的有限性也是一種局限。除上述精度的有限性外，其實(shí)驗(yàn)范圍也是有限的。當(dāng)數(shù)學(xué)模型中變量取值范圍為無限時(shí)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)便缺乏穩(wěn)固的基礎(chǔ)。例如數(shù)值實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)了混沌的時(shí)間歷程時(shí)，并無充分的理由排除這種非周期的時(shí)間歷程可能僅是某周期很長的周期時(shí)間歷程的一部分。數(shù)值實(shí)驗(yàn)往往不得不假設(shè)在一定條件下，有限的部分能夠表明無限的整體的特征。

最后，數(shù)值實(shí)驗(yàn)歸根結(jié)底是個(gè)案研究，它的結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一種特定方程針對其特定參數(shù)和初、邊值條件的解。即使沒有上述諸局限，它也僅能證明一般性的理論結(jié)果，而不能證實(shí)。相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家對蘭福德等人發(fā)展的計(jì)算機(jī)輔助證明持保留態(tài)度并非全無道理。由此也可知，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)蓬勃發(fā)展的近20多年中，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和奇異性等拓?fù)浜蛶缀蔚亩ㄐ岳碚撘灿兄卮筮M(jìn)展并廣泛應(yīng)用于各類具體問題，絕不僅是時(shí)間上的巧合，這恰是對數(shù)值實(shí)驗(yàn)局限性的一種補(bǔ)救。

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