FPGA浮點(diǎn)數(shù)表示及計(jì)算機(jī)數(shù)值表示規(guī)則

定點(diǎn)數(shù)硬件實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但表示的范圍有限，且部分的小數(shù)運(yùn)算IP核只支持浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，因此這里還需要提到浮點(diǎn)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。

通過(guò)介紹FPGA浮點(diǎn)數(shù)的表示方法和用法，進(jìn)而講述計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)的表示規(guī)則，這部分涉及數(shù)電，微機(jī)原理的基礎(chǔ)知識(shí)。

浮點(diǎn)數(shù)需要提到IEEE754標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)數(shù)表示依照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，以IEEE754的單精度浮點(diǎn)數(shù)為例。

IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)為32位，分為符號(hào)位，8位的指數(shù)部分，23位的尾數(shù)部分；

以十進(jìn)制下的12.5為例，首先12.5非負(fù)，所以符號(hào)位為0；

12.5轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，1100.1，將其科學(xué)計(jì)數(shù)法化（正規(guī)化），變成了

可知道此時(shí)2的指數(shù)為3，加上預(yù)設(shè)的偏移值127，得到了130，即1000 0010；這就是指數(shù)部分。

（1.1001）去掉整數(shù)得到尾數(shù)1001，剩余尾數(shù)補(bǔ)0，這就是尾數(shù)部分。

所以最終的IEEE754單精度值為 0 1000 0010 1001 0000 0000 0000 0000 000

整合為16進(jìn)制，為41 48 00 00 。

再以-0.375為例，符號(hào)位為1；

0.375轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，0.011，科學(xué)計(jì)數(shù)法化（正規(guī)化），

可知2的指數(shù)位-2，加上127為125，即0111 1101；

（1.1）去掉整數(shù)得到尾數(shù)1，剩余尾數(shù)補(bǔ)0

最終為1 0111 1101 1000 0000 0000 0000 0000 000

整合為16進(jìn)制，為BE C0 00 00。

反過(guò)來(lái)，通過(guò)浮點(diǎn)數(shù)的16進(jìn)制表示，推出相應(yīng)的10進(jìn)制數(shù)，公式如下：

s是符號(hào)位，決定數(shù)據(jù)的正負(fù)，fration是最后的23位對(duì)應(yīng)的10進(jìn)制小數(shù)，exponent是8位的指數(shù)部分，bias是預(yù)設(shè)的偏移值，32位中為127；

當(dāng)然，這樣的計(jì)算方法沒(méi)有辦法表示0，所以做了特殊規(guī)定，當(dāng)exponent為0時(shí)，相應(yīng)的公式變成了這個(gè)樣子：

當(dāng)fration也為0時(shí)，就表示出0了。當(dāng)exponent為最大值，fration為0，表示正/負(fù)無(wú)窮大；fration不為0會(huì)報(bào)NaN，不是一個(gè)數(shù)。

浮點(diǎn)數(shù)加法：

以正數(shù)相加為例, 0.3 + 0.7 = ?

• 0.3 -> 3E 99 99 99
• 0.7 -> 3F 33 33 33

可以知道，0.3的exponent為125，0.7的exponent為126；兩者的exponent不一致，需要進(jìn)行移位操作保持一致。這里移位的原則是小exponent向大exponent保持一致。所以0.3需要向右移動(dòng)一位，保持exponent一致；

即(1) 0011 0011 0011 0011 0011 001 -> (0) 1001 1001 1001 1001 1001 100

然后進(jìn)行兩者尾數(shù)相加，這部分跟定點(diǎn)數(shù)加法規(guī)則一致。

得到結(jié)果3f 7f ff ff，轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制為0.9999999403953552；也就是說(shuō)在計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)操作過(guò)程中，0.3+0.7不等于1，這也就是為什么編程里面浮點(diǎn)數(shù)不推薦直接做比較的原因，由于浮點(diǎn)數(shù)精度的原因，浮點(diǎn)數(shù)做比較更推薦使用與預(yù)設(shè)值做減法取絕對(duì)值，如果差值在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，則認(rèn)為相等。

如果是正負(fù)相加，負(fù)數(shù)需要取補(bǔ)碼進(jìn)行相加操作，并擴(kuò)展符號(hào)位，觀察結(jié)果的正負(fù)性；如果結(jié)果的整數(shù)部分大于1，要進(jìn)行科學(xué)計(jì)數(shù)法化（正規(guī)化）。

浮點(diǎn)數(shù)乘法：

1. 尾數(shù)相乘，得到結(jié)果，以12.5和-0.375為例，相關(guān)的浮點(diǎn)數(shù)表示在介紹IEEE754環(huán)節(jié)已給出；

12.5 ->41 48 00 00 ; -0.375 -> BE C0 00 00

2. 計(jì)算兩者的exponent差值，得到結(jié)果1；將1中的結(jié)果科學(xué)計(jì)數(shù)法化（正規(guī)化），得到最終的exponent為127+1+1=129；
3. 將兩者的符號(hào)位做異或計(jì)算，得到結(jié)果1，所以最終結(jié)果的符號(hào)位為1；最終結(jié)果為C0 96 00 00，轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制就是-4.6875 。

相對(duì)比而言，浮點(diǎn)數(shù)能夠表示更寬的數(shù)據(jù)范圍，但計(jì)算過(guò)程可能較為復(fù)雜，但是明白它的表示規(guī)則之后，將定點(diǎn)小數(shù)轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)也并不難，這樣就可以用到浮點(diǎn)運(yùn)算的IP核了。

經(jīng)過(guò)各種處理之后的數(shù)據(jù)，為了平衡數(shù)據(jù)精度和資源占用，又需要使用到數(shù)據(jù)截位。