關(guān)于分段多項式近似的DDFS研究及FPGA實現(xiàn)的設(shè)計過程淺析

0 引言

感應(yīng)式磁力儀基于法拉第電磁感應(yīng)原理，用于探測近地空間的低頻交變磁場 ，它通常自帶標(biāo)準(zhǔn)信號源，用于在軌定標(biāo)。高質(zhì)量的定標(biāo)檢測信號，是保證感應(yīng)式磁力儀探測到的變化磁場波形和頻譜信息科學(xué)性的前提。直接數(shù)字頻率合成技術(shù) （Direct Digital Frequency Synthesis，DDFS）于1971年被J.Tierney首次提出。DDFS采用數(shù)字技術(shù)，以相位為出發(fā)點進(jìn)行頻率的合成，具有高穩(wěn)定性，高分辨率和較小的相位噪聲，DDFS的性能指標(biāo)遠(yuǎn)超傳統(tǒng)頻率合成技術(shù)，因此廣泛應(yīng)用于數(shù)字通信和精密儀器中。利用直接數(shù)字頻率合成技術(shù)能為感應(yīng)式磁力儀提供高精度的標(biāo)準(zhǔn)定標(biāo)信號源。

DDFS輸出信號的頻率表示為：

其中FCW為頻率控制字，傳統(tǒng)方法的相幅映射結(jié)構(gòu)基于查找表ROM。ROM容量隨輸出的位寬D成指數(shù)增長 。為了減少ROM容量，將相位累加器的位寬截斷并保留高W位，作為相幅映射的輸入位寬。由于相位截斷，會使合成信號的無雜散動態(tài)范圍（Spurious Free Dynamic Range，SFDR）有明顯的下降。非量化輸出的SFDR為所截斷字長的線性函數(shù) ，可近似為：

D為輸出信號的位寬，SFDR應(yīng)大于量化信噪比。利用三角函數(shù)四分之一象限對稱性的象限壓縮方法，能進(jìn)一步減少查找表容量，節(jié)省75%的資源使用。

僅依賴對相位字的截斷和象限壓縮，無法可觀地減小查找表容量。多種其他幅相映射方法被廣泛研究，通常分為兩大類：

ROM壓縮算法的角分解法 和ROM-Less的幅相轉(zhuǎn)換技術(shù)。ROM-Less型DDFS擺脫了大容量查找表的限制，利用邏輯運(yùn)算，將相位轉(zhuǎn)為幅度。如旋轉(zhuǎn)角算法（CORDIC算法） ，泰勒級數(shù)展開算法 ，分段線性插值 和分段多項式近似法 。

在分段多項式近似方法中，隨分段多項式近似算法階數(shù)和分段數(shù)的增加，在得到更小幅度誤差和高SFDR同時，增加了硬件資源占用和功率消耗。因此平衡分段多項式近似算法的分段數(shù)與最高階，是算法硬件實現(xiàn)平衡性能與資源占用的關(guān)鍵。

1 分段多項式近似算法方法研究

用不等分的兩段四階偶次冪多項式近似為目標(biāo)函數(shù)，以區(qū)間壓縮方法為前提，擬合余弦函數(shù)的前四分之一周期。相位分段點α將［0，π/2］分為兩段，擬合目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為：

pij（i=1，2，j=0，2，4）表示為第i段，j階的系數(shù)。最大幅度誤差MAE和SFDR是評價DDFS輸出信號的兩個重要指標(biāo)，MAE降低到0時，理論上SFDR為無窮大。由于量化位寬和硬件資源的限制，在實際的硬件電路中無法實現(xiàn)。可通過減小MAE來增大SFDR。

α值固定時，通過最小均方MMSE得到對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)最小誤差的多項式系數(shù)：

在相位點為α=π/3處，取得最MMSE，最大絕對誤差為2.1×10-4《2-12。表1為擬合結(jié)果多項式的系數(shù)。

f（x）的SFDR理論上限可通過傅里葉級數(shù)展開獲得，由于所合成的余弦信號為偶對稱信號，且有四分之一象限的對稱性，因此只有奇數(shù)的余弦諧波系數(shù)非零。

圖1為式（4）算法的傅里葉變換頻譜圖，圖中所示理論上的SFDR上限為94.98 dBc。

基于單段四階偶次冪多項式相幅映射輸出的SFDR理論上限為74.352 dBc 。上述近似算法輸出信號的SFDR大于該上限超過20 dBc。

2 基于定點數(shù)的相幅映射設(shè)計

用霍納法則實現(xiàn)4階偶次多項式可減少一個乘法器使用，降低運(yùn)算復(fù)雜度。

本文所設(shè)計的DDFS結(jié)構(gòu)理論上SFDR最大值為94.98 dBc，根據(jù)式（2）尋址位寬W應(yīng)有W》94.98，取W=16，根據(jù)式（3）輸出D為15位。上述DDFS結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

2.1 固定系數(shù)乘法器優(yōu)化

數(shù)字電路對于2的整數(shù)次冪運(yùn)算能簡化為邏輯左移或者右移，

式中，hik∈{-1，+1}，dik∈{…，-2，-1，0，+1，+2，…}。M的最大值受被乘數(shù)的字長制約，應(yīng)盡可能取小以降低結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。圖3所示為量化位寬為14的乘法器優(yōu)化，其中虛線表示流水線級。

產(chǎn)生π/2弧度所需的固定系數(shù)乘法器如圖4所示。

2.2 平方電路優(yōu)化

平方運(yùn)算優(yōu)化分解為并行舍位運(yùn)算，代替運(yùn)算后的簡單截取，降低電路的復(fù)雜性 。圖2中所需的平方電路輸入為15位，輸出為16位。

改進(jìn)4級流水線的平方電路如圖5右所示。與直接截斷相比僅有1 LSB的舍入誤差，小于2-15。

量化誤差對于SFDR的影響是非線性的，利用Nelder-Mead非線性單純形法來重新計算式（12）中參數(shù)，優(yōu)化后系數(shù)見表2。

圖6為定點量化后輸出信號的頻譜，SFDR為約為93.03 dbc，與用浮點數(shù)計算下的理論SFDR最大值相差約2 dBc。因此本文的設(shè)計方法可在不明顯增加硬件資源消耗的前提下，改善合成信號的SFDR。

3 FPGA仿真與結(jié)果分析

為了驗證上述算法設(shè)計的結(jié)構(gòu)DDFS的有效性，以ISE為開發(fā)平臺，基于Xillinx spatan-6系列 XC6SLX16 FPGA進(jìn)行系統(tǒng)仿真驗證。

圖7為FCW=127時將程序下載到FPGA中，利用虛擬邏輯分析儀chipscope在線采集到的波形數(shù)據(jù)。

表3列給出了本文設(shè)計方法與其他基于FPGA的DDFS實現(xiàn)的比較。

與文獻(xiàn)［7］算法相比，本文方法在使用更少硬件資源的情況下，能得到輸出誤差更小，并有更大運(yùn)算頻率的輸出信號。與文獻(xiàn)［11］～文獻(xiàn)［13］相比，在得到同等SFDR水平下，本文所用硬件資源有所減少，同時不影響最大運(yùn)算頻率。

4 結(jié)論

本文利用最小均方法得到的不等分的兩段四階偶次冪多項式為目標(biāo)函數(shù)擬合的余弦函數(shù)，可產(chǎn)生大于單段情況下約20 dBc的無雜散動態(tài)范圍。根據(jù)所得SFDR的上界，分析選擇最優(yōu)的相幅映射輸入和輸出位寬。優(yōu)化了固定系數(shù)乘法器和平方器，通過Nelder-Mead非線性單純形法來減少量化，舍入和截斷所產(chǎn)生的誤差。與理論上界差值僅為2 dBc，同時該DDFS結(jié)構(gòu)在得到同等SFDR水平下，與其他設(shè)計方法比減少了資源使用，該設(shè)計方法為新一代天基星載感應(yīng)式磁力儀的高精度定標(biāo)信號源提供了新的設(shè)計思路。