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感知器PLA是一種最簡單，最基本的線性分類算法（二分類）。其前提是數(shù)據(jù)本身是線性可分的。
模型可以定義為，sign函數(shù)是階躍函數(shù)，閾值決定取0或1。模型選擇的策略，利用經(jīng)驗損失函數(shù)衡量算法性能，由于該算法最后得到一個分離超平面，所以損失函數(shù)可以定義為，由于對于誤分類點，yi和wx+b的正負屬性相反，所以，所以加一個符號，來表征樣例點與超平面的距離。
算法選擇，最終的目標是求損失函數(shù)的最小值，利用機器學(xué)習(xí)中最常用的梯度下降GD或者隨機梯度下降SGD來求解。
SGD算法的流程如下：輸入訓(xùn)練集和學(xué)習(xí)率
1、初始化w0，b0，確定初始化超平面，并確定各樣例點是否正確分類（利用yi和wx+b的正負性關(guān)系）；
2、隨機在誤分類點中選擇一個樣例點，計算L關(guān)于w和b在該點處的梯度值；
3、更新w，b，按照如下方向
；
4、迭代運行，直到滿足停止條件（限定迭代次數(shù)或者定義可接受誤差最大值）；
如上所述，初值的選擇，誤分類點的選擇順序都影響算法的性能和運行時間。PLA是一個很基本的算法，應(yīng)用場景很受限，只是作為一個引子來了解機器學(xué)習(xí)，后面有很多高級的算法，比如SVM和MLP，以及大熱的deep learning，都是感知器的擴展。
對于PLA，還有一個對偶問題，此處，簡單介紹一下對偶問題相關(guān)的知識。
對偶問題：
每一個線性規(guī)劃問題，我們稱之為原始問題，都有一個與之對應(yīng)的線性規(guī)劃問題我們稱之為對偶問題。原始問題與對偶問題的解是對應(yīng)的，得出一個問題的解，另一個問題的解也就得到了。并且原始問題與對偶問題在形式上存在很簡單的對應(yīng)關(guān)系：目標函數(shù)對原始問題是極大化，對對偶問題則是極小化。
原始問題目標函數(shù)中的收益系數(shù)（優(yōu)化函數(shù)中變量前面的系數(shù)）是對偶問題約束不等式中的右端常數(shù)，而原始問題約束不等式中的右端常數(shù)則是對偶問題中目標函數(shù)的收益系數(shù)；原始問題和對偶問題的約束不等式的符號方向相反；原始問題約束不等式系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)置后即為對偶問題的約束不等式的系數(shù)矩陣；原始問題的約束方程數(shù)對應(yīng)于對偶問題的變量數(shù)，而原始問題的變量數(shù)對應(yīng)于對偶問題的約束方程數(shù)；對偶問題的對偶問題是原始問題。
總之他們存在著簡單的矩陣轉(zhuǎn)置，系數(shù)變換的關(guān)系。當(dāng)問題通過對偶變換后經(jīng)常會呈現(xiàn)許多便利，如約束條件變少、優(yōu)化變量變少，使得問題的求解證明更加方便計算可能更加方便。
對偶問題中，此處將w和b看成是x和y的函數(shù)，w和b可表示為
，ni表示更新次數(shù)，模型
，算法流程如下：輸入訓(xùn)練集，學(xué)習(xí)率
1、
；
2、隨機選取誤分類點對，并更新計算
，具體更新，依據(jù)上面的表達式；
3、直至沒有誤分類點，停止計算，返回相應(yīng)的參數(shù)；
原始問題和對偶問題都是嚴格可收斂的，在線性可分的條件下，一定可以停止算法運行，會達到結(jié)果，存在多個解。
如果線性不可分，可以利用口袋算法，每次迭代更新錯誤最小的權(quán)值，且規(guī)定迭代次數(shù)?？诖惴ɑ谪澬牡乃枷?。他總是讓遇到的最好的線拿在自己的手上。 就是我首先手里有一條分割線wt，發(fā)現(xiàn)他在數(shù)據(jù)點（xn，yn）上面犯了錯誤，那我們就糾正這個分割線得到wt+1，我們?nèi)缓笞寃t與wt+1遍歷所有的數(shù)據(jù)，看哪條線犯的錯誤少。
如果wt+1犯的錯誤少，那么就讓wt+1替代wt，否則wt不變。 那怎樣讓算法停下來呢？？——–我們就 自己規(guī)定迭代的次數(shù) 由于口袋算法得到的線越來越好（PLA就不一定了，PLA是最終結(jié)果最好，其他情況就說不準了），所以我們就 自己規(guī)定迭代的次數(shù) 。
感知機python實現(xiàn)代碼
#coding = utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
class showPicture：
def __init__（self，data，w，b）：
self.b = b
self.w = w
plt.figure（1）
plt.title（‘Plot 1’， size=14）
plt.xlabel（‘x-axis’， size=14）
plt.ylabel（‘y-axis’， size=14）
xData = np.linspace（0， 5， 100）
yData = self.expression（xData）
plt.plot（xData， yData， color=‘r’， label=‘y1 data’）
plt.scatter（data［0］［0］，data［0］［1］，s=50）
plt.scatter（data［1］［0］，data［1］［1］，s=50）
plt.scatter（data［2］［0］，data［2］［1］，marker=‘x’，s=50，）
plt.savefig（‘2d.png’，dpi=75）
def expression（self，x）：
y = （-self.b - self.w［0］*x）/self.w［1］
return y
def show（self）：
plt.show（）
class perceptron：
def __init__（self，x，y，a=1）：
self.x = x
self.y = y
self.w = np.zeros（（x.shape［1］，1））
self.b = 0
self.a = 1
def sign（self，w，b，x）：
result = 0
y = np.dot（x，w）+b
return int（y）
def train（self）：
flag = True
length = len（self.x）
while flag：
count = 0
for i in range（length）：
tmpY = self.sign（self.w，self.b，self.x［i，：］）
if tmpY*self.y［i］0：
tmp = self.y［i］*self.a*self.x［i，：］
tmp = tmp.reshape（self.w.shape）
self.w = tmp +self.w
self.b = self.b + self.y［i］
count +=1
if count == 0：
flag = False
return self.w，self.b
#原始數(shù)據(jù)
data = ［［3，3］，［4，3］，［1，1］］
xArray = np.array（［3，3，4，3，1，1］）
xArray = xArray.reshape（（3，2））
yArray = np.array（［1，1，-1］）
#感知機計算權(quán)值
myPerceptron = perceptron（x=xArray，y=yArray）
weight，bias = myPerceptron.train（）
#畫圖
picture = showPicture（data，w=weight，b=bias）
picture.show（）
責(zé)任編輯：ct
工商網(wǎng)監(jiān)
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