蒙特卡洛模擬優(yōu)缺點

　　蒙特卡羅模擬簡介

　　蒙特·卡羅方法（Monte Carlo method），也稱統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計算方法。是指使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)）來解決很多計算問題的方法。與它對應(yīng)的是確定性算法。蒙特·卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟學(xué)，計算物理學(xué)（如粒子輸運計算、量子熱力學(xué)計算、空氣動力學(xué)計算）等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

　　蒙特卡羅模擬因摩納哥著名的賭場而得名。它能夠幫助人們從數(shù)學(xué)上表述物理、化學(xué)、工程、經(jīng)濟學(xué)以及環(huán)境動力學(xué)中一些非常復(fù)雜的相互作用。

　　數(shù)學(xué)家們稱這種表述為“模式”，而當(dāng)一種模式足夠精確時， 他能產(chǎn)生與實際操作中對同一條件相同的反應(yīng)。但蒙特卡羅模擬有一個危險的缺陷： 如果必須輸入一個模式中的隨機數(shù)并不像設(shè)想的那樣是隨機數(shù)， 而卻構(gòu)成一些微妙的非隨機模式， 那么整個的模擬（及其預(yù)測結(jié)果）都可能是錯的。

　　蒙特卡羅法優(yōu)點：

　　1.方法的誤差與問題的維數(shù)無關(guān)。

　　2.對于具有統(tǒng)計性質(zhì)問題可以直接進行解決。

　　3.對于連續(xù)性的問題不必進行離散化處理

　　蒙特卡羅法缺點：

　　1.對于確定性問題需要轉(zhuǎn)化成隨機性問題。

　　2.誤差是概率誤差。

　　3.通常需要較多的計算步數(shù)N.

　　蒙特卡羅方法的缺點及其改進

　　我們知道，蒙特卡羅方法是非常好用來做積分的。如果要算一個函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)的積分，我們可通過計算機利用蒙特卡羅方法來計算出積分近似值。即先估計一個比f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)最大值還要大的c，（必須保證f（x）在區(qū)間［a，b］不小于0）然后不斷地在二維矩形區(qū)域［a，b］×［0，c］內(nèi)隨機產(chǎn)生隨機數(shù)對（e，f），判斷f與f（e）的大小，并統(tǒng)計f《f（e）的數(shù)量n，當(dāng)產(chǎn)生點的數(shù)量N足夠大時，計算出n/N*（b-a）*c，這就是函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)的積分值。

　　對蒙特卡羅方法的改進：如果要算一個函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)的積分，令s=0，我們可以在區(qū)間［a，b］內(nèi)產(chǎn)生N個隨機數(shù)e，賦值：s+=f（e）/N（之所以這樣做是為了防止溢出），當(dāng)N足夠大時，計算s*（b-a），這就是函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)的積分值。 改進方法的優(yōu)點：

　　1.維度降低，節(jié)省一半產(chǎn)生隨機數(shù)的時間，

　　2.相對精度更高，由于蒙特卡羅方法矩形上界需要估計，因此帶來了一定的不確定性，估計值取得過大，顯著提升計算時間，估計值取得過小，就會出現(xiàn)計算錯誤。而改進方法不需要估計！

　　3.改進方法可以求解蒙特卡羅方法所不能計算的積分，求解范圍更大，如果積分函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)是無界的，或者積分函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］內(nèi)有負值，蒙特卡羅方法就無法求解。

　　蒙特卡羅模擬基本原理及思想

　　當(dāng)所要求解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，它們可以通過某種“試驗”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個隨機變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模擬，即進行一種數(shù)字模擬實驗。它是以一個概率模型為基礎(chǔ)，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結(jié)果，作為問題的近似解?？梢园衙商乜_解題歸結(jié)為三個主要步驟：構(gòu)造或描述概率過程；實現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種估計量。

　　蒙特卡羅模擬的應(yīng)用

　　通常蒙特卡羅模擬通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機數(shù)來解決數(shù)學(xué)上的各種問題。對于那些由于計算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，蒙特卡羅模擬是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特卡羅模擬在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用就是蒙特卡羅積分。

　　蒙特卡羅算法表示采樣越多，越近似最優(yōu)解。舉個例子，假如筐里有100個蘋果，讓我每次閉眼拿1個，挑出最大的。于是我隨機拿1個，再隨機拿1個跟它比，留下大的，再隨機拿1個……我每拿一次，留下的蘋果都至少不比上次的小。拿的次數(shù)越多，挑出的蘋果就越大，但我除非拿100次，否則無法肯定挑出了最大的。這個挑蘋果的算法，就屬于蒙特卡羅算法。告訴我們樣本容量足夠大，則最接近所要求解的概率。

　　蒙特卡羅模擬在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟學(xué)，生物醫(yī)學(xué)，計算物理學(xué)（如粒子輸運計算、量子熱力學(xué)計算、空氣動力學(xué)計算）等領(lǐng)域也應(yīng)用廣泛。

　　計算機技術(shù)的發(fā)展，使得蒙特卡羅模擬在最近10年得到快速的普及?，F(xiàn)代的蒙特卡羅模擬，已經(jīng)不必親自動手做實驗，而是借助計算機的高速運轉(zhuǎn)能力，使得原本費時費力的實驗過程，變成了快速和輕而易舉的事情。它不但用于解決許多復(fù)雜的科學(xué)方面的問題，也被項目管理人員經(jīng)常使用。

　　借助計算機技術(shù)，蒙特卡羅模擬實現(xiàn)了兩大優(yōu)點：

　　一是簡單，省卻了繁復(fù)的數(shù)學(xué)報導(dǎo)和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握；

　　二是快速。簡單和快速，是蒙特卡羅方法在現(xiàn)代項目管理中獲得應(yīng)用的技術(shù)基礎(chǔ)

　　蒙特卡洛法之MATLAB實現(xiàn)

　　蒙特卡洛法（隨機取樣法）也稱為計算機隨機模擬方法，它源于世界著名的賭城——Monte Carlo。它是基于對大量事件的統(tǒng)計結(jié)果來實現(xiàn)一些確定性問題的計算。使用蒙特卡洛法必須使用計算機生成相關(guān)分布的隨機數(shù)。

　　eg：

　　y = x^2 ，y = 12 - x與X軸在第一象限與X軸圍成一個曲邊三角形。設(shè)計一個隨機試驗，求該圖形的近似值。

　　其圖形如下圖所示：

　　x=0:0.25:12

　　y1=x.^2;

　　y2=12-x;

　　plot（x，y1，x，y2）

　　xlabel（‘x’）;ylabel（‘y’）;

　　legend（‘y1=x^2’，‘y2=12-x’）;

　　title（‘王晨繪制’）;

　　axis（［0 15 0 15］）;

　　text（3，9，‘交點’）;

　　grid on12345678910

　　設(shè)計的隨機試驗的思想如下：在矩形區(qū)域［0，12］*［0.9］上產(chǎn)生服從均與分布的10^7個隨機點，統(tǒng)計隨機點落在曲邊三角形內(nèi)的個數(shù)，則曲邊三角形的面積近似于上述矩形的面積乘以頻率

　　x=unifrnd（0，12，［1，10000000］）;

　　y=unifrnd（0，9，［1，10000000］）;

　　frequency=sum（y《x.^2 & x《=3）+sum（y《12-x & x》=3）

　　area=12*9*frequency/10^71234

　　其結(jié)果如下圖所示：