一文讀懂機(jī)器學(xué)習(xí)的線性代數(shù)（10案例）

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，涉及矢量、矩陣和線性變換。

它是機(jī)器學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，從描述算法操作的符號(hào)到代碼中算法的實(shí)現(xiàn)，都屬于該學(xué)科的研究范圍。

雖然線性代數(shù)是機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域不可或缺的一部分，但二者的緊密關(guān)系往往無法解釋，或只能用抽象概念（如向量空間或特定矩陣運(yùn)算）解釋。

閱讀這篇文章后，你將會(huì)了解到：

如何在處理數(shù)據(jù)時(shí)使用線性代數(shù)結(jié)構(gòu)，如表格數(shù)據(jù)集和圖像。

數(shù)據(jù)準(zhǔn)備過程中用到的線性代數(shù)概念，例如 one-hot 編碼和降維。

深度學(xué)習(xí)、自然語言處理和推薦系統(tǒng)等子領(lǐng)域中線性代數(shù)符號(hào)和方法的深入使用。

讓我們開始吧。

這 10 個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)案例分別是：

Dataset and Data Files 數(shù)據(jù)集和數(shù)據(jù)文件

Images and Photographs 圖像和照片

One-Hot Encoding one-hot 編碼

Linear Regression 線性回歸

Regularization 正則化

Principal Component Analysis 主成分分析

Singular-Value Decomposition 奇異值分解

Latent Semantic Analysis 潛在語義分析

Recommender Systems 推薦系統(tǒng)

Deep Learning 深度學(xué)習(xí)

1. 數(shù)據(jù)集和數(shù)據(jù)文件

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，你可以在數(shù)據(jù)集上擬合一個(gè)模型。

這是表格式的一組數(shù)字，其中每行代表一組觀察值，每列代表觀測(cè)的一個(gè)特征。

例如，下面這組數(shù)據(jù)是鳶尾花數(shù)據(jù)集的一部分

5.1，3.5，1.4，0.2，Iris-setosa

4.9，3.0，1.4，0.2，Iris-setosa

4.7，3.2，1.3，0.2，Iris-setosa

4.6，3.1，1.5，0.2，Iris-setosa

5.0，3.6，1.4，0.2，Iris-setosa

這些數(shù)據(jù)實(shí)際上是一個(gè)矩陣：線性代數(shù)中的一個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

接下來，將數(shù)據(jù)分解為輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)，來擬合一個(gè)監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)模型（如測(cè)量值和花卉品種），得到矩陣（X）和矢量（y）。矢量是線性代數(shù)中的另一個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

每行長(zhǎng)度相同，即每行的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相同，因此我們可以說數(shù)據(jù)是矢量化的。這些行數(shù)據(jù)可以一次性或成批地提供給模型，并且可以預(yù)先配置模型，以得到固定寬度的行數(shù)據(jù)。

2. 圖像和照片

也許你更習(xí)慣于在計(jì)算機(jī)視覺應(yīng)用中處理圖像或照片。

你使用的每個(gè)圖像本身都是一個(gè)固定寬度和高度的表格結(jié)構(gòu)，每個(gè)單元格有用于表示黑白圖像的 1 個(gè)像素值或表示彩色圖像的 3 個(gè)像素值。

照片也是線性代數(shù)矩陣的一種。

與圖像相關(guān)的操作，如裁剪、縮放、剪切等，都是使用線性代數(shù)的符號(hào)和運(yùn)算來描述的。

3. one-hot 編碼

有時(shí)機(jī)器學(xué)習(xí)中要用到分類數(shù)據(jù)。

可能是用于解決分類問題的類別標(biāo)簽，也可能是分類輸入變量。

對(duì)分類變量進(jìn)行編碼以使它們更易于使用并通過某些技術(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)是很常見的。one-hot 編碼是一種常見的分類變量編碼。

one-hot 編碼可以理解為：創(chuàng)建一個(gè)表格，用列表示每個(gè)類別，用行表示數(shù)據(jù)集中每個(gè)例子。在列中為給定行的分類值添加一個(gè)檢查或「1」值，并將「0」值添加到所有其他列。

例如，共計(jì) 3 行的顏色變量：

red

green

blue

。。.

這些變量可能被編碼為：

red， green， blue 1， 0， 0 0， 1， 0 0， 0， 1 。。.

每一行都被編碼為一個(gè)二進(jìn)制矢量，一個(gè)被賦予「0」或「1」值的矢量。這是一個(gè)稀疏表征的例子，線性代數(shù)的一個(gè)完整子域。

4. 線性回歸

線性回歸是一種用于描述變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)學(xué)傳統(tǒng)方法。

該方法通常在機(jī)器學(xué)習(xí)中用于預(yù)測(cè)較簡(jiǎn)單的回歸問題的數(shù)值。

描述和解決線性回歸問題有很多種方法，即找到一組系數(shù)，用這些系數(shù)與每個(gè)輸入變量相乘并將結(jié)果相加，得出最佳的輸出變量預(yù)測(cè)。

如果您使用過機(jī)器學(xué)習(xí)工具或機(jī)器學(xué)習(xí)庫，解決線性回歸問題的最常用方法是通過最小二乘優(yōu)化，這一方法是使用線性回歸的矩陣分解方法解決的（例如 LU 分解或奇異值分解）。

即使是線性回歸方程的常用總結(jié)方法也使用線性代數(shù)符號(hào)：

y = A 。 b

其中，y 是輸出變量，A 是數(shù)據(jù)集，b 是模型系數(shù)。

5. 正則化

在應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)時(shí)，我們往往尋求最簡(jiǎn)單可行的模型來發(fā)揮解決問題的最佳技能。

較簡(jiǎn)單的模型通常更擅長(zhǎng)從具體示例泛化到未見過的數(shù)據(jù)。

在涉及系數(shù)的許多方法中，例如回歸方法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，較簡(jiǎn)單的模型通常具有較小的系數(shù)值。

一種常用于模型在數(shù)據(jù)擬合時(shí)盡量減小系數(shù)值的技術(shù)稱為正則化，常見的實(shí)現(xiàn)包括正則化的 L2 和 L1 形式。

這兩種正則化形式實(shí)際上是系數(shù)矢量的大小或長(zhǎng)度的度量，是直接脫胎于名為矢量范數(shù)的線性代數(shù)方法。

6. 主成分分析

通常，數(shù)據(jù)集有許多列，列數(shù)可能達(dá)到數(shù)十、數(shù)百、數(shù)千或更多。

對(duì)具有許多特征的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模具有一定的挑戰(zhàn)性。而且，從包含不相關(guān)特征的數(shù)據(jù)構(gòu)建的模型通常不如用最相關(guān)的數(shù)據(jù)訓(xùn)練的模型。

我們很難知道數(shù)據(jù)的哪些特征是相關(guān)的，而哪些特征又不相關(guān)。

自動(dòng)減少數(shù)據(jù)集列數(shù)的方法稱為降維，其中也許最流行的方法是主成分分析法（簡(jiǎn)稱 PCA）。

該方法在機(jī)器學(xué)習(xí)中，為可視化和模型創(chuàng)建高維數(shù)據(jù)的投影。

PCA 方法的核心是線性代數(shù)的矩陣分解方法，可能會(huì)用到特征分解，更廣義的實(shí)現(xiàn)可以使用奇異值分解（SVD）。

7. 奇異值分解

另一種流行的降維方法是奇異值分解方法，簡(jiǎn)稱 SVD。

如上所述，正如該方法名稱所示，它是源自線性代數(shù)領(lǐng)域的矩陣分解方法。

該方法在線性代數(shù)中有廣泛的用途，可直接應(yīng)用于特征選擇、可視化、降噪等方面。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中我們會(huì)看到以下兩個(gè)使用 SVD 的情況。

8. 潛在語義分析

在用于處理文本數(shù)據(jù)的機(jī)器學(xué)習(xí)子領(lǐng)域（稱為自然語言處理），通常將文檔表示為詞出現(xiàn)的大矩陣。

例如，矩陣的列可以是詞匯表中的已知詞，行可以是文本的句子、段落、頁面或文檔，矩陣中的單元格標(biāo)記為單詞出現(xiàn)的次數(shù)或頻率。

這是文本的稀疏矩陣表示。矩陣分解方法（如奇異值分解）可以應(yīng)用于此稀疏矩陣，該分解方法可以提煉出矩陣表示中相關(guān)性最強(qiáng)的部分。以這種方式處理的文檔比較容易用來比較、查詢，并作為監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)模型的基礎(chǔ)。

這種形式的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備稱為潛在語義分析（簡(jiǎn)稱 LSA），也稱為潛在語義索引（LSI）。

9. 推薦系統(tǒng)

涉及產(chǎn)品推薦的預(yù)測(cè)建模問題被稱為推薦系統(tǒng)，這是機(jī)器學(xué)習(xí)的一個(gè)子領(lǐng)域。

例如，基于你在亞馬遜上的購買記錄和與你類似的客戶的購買記錄向你推薦書籍，或根據(jù)你或與你相似的用戶在 Netflix 上的觀看歷史向你推薦電影或電視節(jié)目。

推薦系統(tǒng)的開發(fā)主要涉及線性代數(shù)方法。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子就是使用歐式距離或點(diǎn)積之類的距離度量來計(jì)算稀疏顧客行為向量之間的相似度。

像奇異值分解這樣的矩陣分解方法在推薦系統(tǒng)中被廣泛使用，以提取項(xiàng)目和用戶數(shù)據(jù)的有用部分，以備查詢、檢索及比較。

10. 深度學(xué)習(xí)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種非線性機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它受大腦中信息處理元素的啟發(fā)，其有效性已經(jīng)在一系列問題中得到驗(yàn)證，其中最重要的是預(yù)測(cè)建模。

深度學(xué)習(xí)是近期出現(xiàn)的、使用最新方法和更快硬件的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)興，這一方法使得在非常大的數(shù)據(jù)集上開發(fā)和訓(xùn)練更大更深的（更多層）網(wǎng)絡(luò)成為可能。深度學(xué)習(xí)方法通常會(huì)在機(jī)器翻譯、照片字幕、語音識(shí)別等一系列具有挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域取得最新成果。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的執(zhí)行涉及線性代數(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的相乘和相加。如果擴(kuò)展到多個(gè)維度，深度學(xué)習(xí)方法可以處理向量、矩陣，甚至輸入和系數(shù)的張量，此處的張量是一個(gè)兩維以上的矩陣。

線性代數(shù)是描述深度學(xué)習(xí)方法的核心，它通過矩陣表示法來實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)方法，例如 Google 的 TensorFlow Python 庫，其名稱中包含「tensor」一詞。