背包問題九講

c語言相關(guān)的重要知識(shí)點(diǎn)

P01： 01背包問題

題目

有N件物品和一個(gè)容量為V的背包。第i件物品的費(fèi)用是c［i］，價(jià)值是w［i］。求解將哪些物品裝入背包可使價(jià)值總和最大。

基本思路

這是最基礎(chǔ)的背包問題，特點(diǎn)是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

用子問題定義狀態(tài)：即f［i］［v］表示前i件物品恰放入一個(gè)容量為v的背包可以獲得的最大價(jià)值。則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程便是：

f［i］［v］=max{f［i-1］［v］，f［i-1］［v-c［i］］+w［i］}

這個(gè)方程非常重要，基本上所有跟背包相關(guān)的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細(xì)解釋一下：“將前i件物品放入容量為v的背包中”這個(gè)子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那么就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那么問題就轉(zhuǎn)化為“前i-1件物品放入容量為v的背包中”，價(jià)值為f［i-1］［v］；如果放第i件物品，那么問題就轉(zhuǎn)化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c［i］的背包中”，此時(shí)能獲得的最大價(jià)值就是f［i-1］［v-c［i］］再加上通過放入第i件物品獲得的價(jià)值w［i］。

優(yōu)化空間復(fù)雜度

以上方法的時(shí)間和空間復(fù)雜度均為O（VN），其中時(shí)間復(fù)雜度應(yīng)該已經(jīng)不能再優(yōu)化了，但空間復(fù)雜度卻可以優(yōu)化到O。

先考慮上面講的基本思路如何實(shí)現(xiàn)，肯定是有一個(gè)主循環(huán)i=1..N，每次算出來二維數(shù)組f［i］［0..V］的所有值。那么，如果只用一個(gè)數(shù)組f［0..V］，能不能保證第i次循環(huán)結(jié)束后f［v］中表示的就是我們定義的狀態(tài)f［i］［v］呢？f［i］［v］是由f［i-1］［v］和f［i-1］［v-c［i］］兩個(gè)子問題遞推而來，能否保證在推f［i］［v］時(shí)（也即在第i次主循環(huán)中推f［v］時(shí)）能夠得到f［i-1］［v］和f［i-1］［v-c［i］］的值呢？事實(shí)上，這要求在每次主循環(huán)中我們以v=V..0的順序推f［v］，這樣才能保證推f［v］時(shí)f［v-c［i］］保存的是狀態(tài)f［i-1］［v-c［i］］的值。偽代碼如下：

for i=1..N

for v=V..0

f［v］=max{f［v］，f［v-c［i］］+w［i］};

其中的f［v］=max{f［v］，f［v-c［i］］}一句恰就相當(dāng)于我們的轉(zhuǎn)移方程f［i］［v］=max{f［i-1］［v］，f［i-1］［v-c［i］］}，因?yàn)楝F(xiàn)在的f［v-c［i］］就相當(dāng)于原來的f［i-1］［v-c［i］］。如果將v的循環(huán)順序從上面的逆序改成順序的話，那么則成了f［i］［v］由f［i］［v-c［i］］推知，與本題意不符，但它卻是另一個(gè)重要的背包問題P02最簡捷的解決方案，故學(xué)習(xí)只用一維數(shù)組解01背包問題是十分必要的。

事實(shí)上，使用一維數(shù)組解01背包的程序在后面會(huì)被多次用到，所以這里抽象出一個(gè)處理一件01背包中的物品過程，以后的代碼中直接調(diào)用不加說明。

過程ZeroOnePack，表示處理一件01背包中的物品，兩個(gè)參數(shù)cost、weight分別表明這件物品的費(fèi)用和價(jià)值。

procedure ZeroOnePack（cost，weight）

for v=V..cost

f［v］=max{f［v］，f［v-cost］+weight}

注意這個(gè)過程里的處理與前面給出的偽代碼有所不同。前面的示例程序?qū)懗蓈=V..0是為了在程序中體現(xiàn)每個(gè)狀態(tài)都按照方程求解了，避免不必要的思維復(fù)雜度。而這里既然已經(jīng)抽象成看作黑箱的過程了，就可以加入優(yōu)化。費(fèi)用為cost的物品不會(huì)影響狀態(tài)f［0..cost-1］，這是顯然的。

有了這個(gè)過程以后，01背包問題的偽代碼就可以這樣寫：

for i=1..N

ZeroOnePack（c［i］，w［i］）;

初始化的細(xì)節(jié)問題

我們看到的求最優(yōu)解的背包問題題目中，事實(shí)上有兩種不太相同的問法。有的題目要求“恰好裝滿背包”時(shí)的最優(yōu)解，有的題目則并沒有要求必須把背包裝滿。一種區(qū)別這兩種問法的實(shí)現(xiàn)方法是在初始化的時(shí)候有所不同。

如果是第一種問法，要求恰好裝滿背包，那么在初始化時(shí)除了f［0］為0其它f［1..V］均設(shè)為-∞，這樣就可以保證最終得到的f［N］是一種恰好裝滿背包的最優(yōu)解。

如果并沒有要求必須把背包裝滿，而是只希望價(jià)格盡量大，初始化時(shí)應(yīng)該將f［0..V］全部設(shè)為0。

為什么呢？可以這樣理解：初始化的f數(shù)組事實(shí)上就是在沒有任何物品可以放入背包時(shí)的合法狀態(tài)。如果要求背包恰好裝滿，那么此時(shí)只有容量為0的背包可能被價(jià)值為0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的背包均沒有合法的解，屬于未定義的狀態(tài)，它們的值就都應(yīng)該是-∞了。如果背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個(gè)合法解“什么都不裝”，這個(gè)解的價(jià)值為0，所以初始時(shí)狀態(tài)的值也就全部為0了。

這個(gè)小技巧完全可以推廣到其它類型的背包問題，后面也就不再對(duì)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移之前的初始化進(jìn)行講解。