第二章 一元微積分

　　研究一個客觀事物，首先要回答描述這個客觀事物有哪些變量？人們常說對客觀事物進(jìn)行研究，實(shí)際上就是研究這些客觀事物中的變量及其變化規(guī)律。變化規(guī)律常用函數(shù)來表示，最簡單就是一元函數(shù) y ? f （x） ，一個自變量 x 與一個因變量 y 之間的函數(shù)。它是高等數(shù)學(xué)研究的基本對象。給定了一元函數(shù) y ? f （x） ，怎樣分析它的特性？是否連續(xù)、增長趨勢及快慢、有無極值點(diǎn)、函數(shù)曲線圍成的面積等等？逐一計(jì)算函數(shù)值，把函數(shù)圖形畫出來，可以大致了解函數(shù)的這些特性，這是初等數(shù)學(xué)能做到的。但是，怎樣嚴(yán)密準(zhǔn)確地描述這些特性？初等數(shù)學(xué)可以做到否？是何樣的數(shù)學(xué)工具能做到？這是本章的主要內(nèi)容。 2.1 極限客觀事物的變化趨勢是工程實(shí)際中最關(guān)心的問題。如果函數(shù) y ? f （x） 在整個實(shí)數(shù)域上都有定義，則自變量 x 只要取“有限”數(shù)，總能根據(jù)函數(shù)式求出因變量 y 的值。因此，函數(shù)在有限區(qū)間的變化特性，可以通過求出每一點(diǎn)的函數(shù)值來研究。但是，如果自變量趨于無窮 x ? ? ，因變量 y 會怎樣？在那個不可企及的遙遠(yuǎn)之處，函數(shù)是個怎樣的表現(xiàn)？能否從數(shù)學(xué)意義上嚴(yán)密準(zhǔn)確地刻畫？這是一個“有點(diǎn)玄”的問題。另外，即便自變量是在有限區(qū)間取值，因變量的取值也可能會進(jìn)入“無窮”的領(lǐng)域，如當(dāng) x ?1時， 1 1 y x ? ? ??。因此，無論是自變量還是因變量，當(dāng)它們?nèi)≈颠M(jìn)入“無窮” 領(lǐng)域時，初等數(shù)學(xué)就難以從心了，因?yàn)槌醯葦?shù)學(xué)研究的是“有限”數(shù)及其運(yùn)算。再有，即便是“有限”數(shù)及其運(yùn)算，但需要進(jìn)行“無窮”次的話，初等數(shù)學(xué)也無力回答它最終結(jié)果。上述新問題必然要催生新概念，“極限”概念便應(yīng)運(yùn)而生。它是初等數(shù)學(xué)的方法與結(jié)論在高等數(shù)學(xué)的自然延伸。所以，怎樣用“有窮”的初等數(shù)學(xué)去解構(gòu)“無窮”帶來的問題，是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的分水嶺，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時刻要警醒的，弄清楚這一點(diǎn)才不會感覺高等數(shù)學(xué)是“懸浮”的。