頻譜知識：“時域加窗”和“頻域加窗”的對比

現(xiàn)代雷達對接收信號都進行了一些形式的采樣，而對信號序列x(n)的截短也是不可避免，通常使用乘積來實現(xiàn)。為了減少頻譜能量泄漏，可采用不同的截取函數(shù)w(n)對信號進行截斷，通常稱為加窗序列，簡稱為窗。

不同的窗函數(shù)對信號頻譜的影響是不一樣的，這主要是因為不同的窗函數(shù)產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。為了不影響截短序列的相位響應(yīng)，通常需要窗函數(shù)保持線性相位。 ? ?

典型窗函數(shù)

常用的窗有：矩形窗、漢明窗(Hamming)、漢寧窗(Hanning)、布萊克曼(Blackman)等。我們可以通過Matlab很容易的對序列進行加窗，也可以簡單的看到窗函數(shù)的頻率響應(yīng)。

矩形窗的優(yōu)點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，并有負旁瓣，導(dǎo)致加窗過程中帶進了高頻干擾和頻譜泄漏 漢寧窗又稱升余弦窗，漢寧窗使主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗使主瓣加寬，相當于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。漢寧窗函數(shù)的最大旁瓣值衰減-31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了1倍。 漢明窗也是余弦窗的一種，又稱改進的升余弦窗，與漢寧窗的加權(quán)系數(shù)不同。漢明窗加權(quán)的系數(shù)能使旁瓣達到更小。漢明窗的第一旁瓣衰減為-42dB，其旁瓣衰減速度比漢寧窗衰減速度慢。漢明窗與漢寧窗都是很有用的窗函數(shù)。

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為什么要加窗？

在時域上看，加窗其實就是將窗函數(shù)作為調(diào)制波，輸入信號作為載波進行振幅調(diào)制。矩形窗對截取的時間窗內(nèi)的波形未做任何改變，即只是截斷信號原樣輸出。 更普遍地，絕大部分窗函數(shù)形狀都具有類似從中間到兩邊逐漸下降的形狀，只是下降的速度等細節(jié)上有所區(qū)別。降低截斷引起的泄漏，所有窗函數(shù)都是通過降低起始和結(jié)束處的信號幅度，來減小截斷邊沿處信號突變產(chǎn)生的額外頻譜。 不同的窗函數(shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號的截斷產(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數(shù)對它們的影響進行抑制。 ? ?

時域加窗

通常時域上加窗更為普遍，時域截斷效應(yīng)帶來了頻譜的泄漏，窗函數(shù)是為了減小這個截斷效應(yīng)，被設(shè)計成一組加權(quán)系數(shù)w(n)。 域加窗在時域上表現(xiàn)的是點乘，因此在頻域上則表現(xiàn)為卷積。卷積可以被看成是一個平滑的過程，相當于一組具有特定函數(shù)形狀的濾波器，因此，原始信號中在某一頻率點上的能量會結(jié)合濾波器的形狀表現(xiàn)出來，從而減小泄漏。

從上圖可以看出對線性調(diào)頻信號(LFM)的時域加窗會導(dǎo)致主瓣變寬而旁瓣得到明顯降低，并且最大幅值也有所降低。 ? ?

頻域加窗

頻域加窗在頻域上表現(xiàn)為點乘，這是為了減小脈沖壓縮后時域的距離向旁瓣，而對匹配濾波器的頻率響應(yīng)加窗。我們知道線性調(diào)頻脈沖的頻率響應(yīng)近似為矩形，對其乘以窗函數(shù)可得到修正后的頻率響應(yīng)。

修正后的頻率響應(yīng)不再與發(fā)射的LFM信號匹配，因此輸出峰值和信噪比都會有一定減小。 從下圖可以看出頻域加窗對脈沖壓縮結(jié)果的影響，導(dǎo)致主瓣變寬而旁瓣得到明顯降低，并且最大幅值也有所降低。

從下圖可以對比發(fā)現(xiàn)時域加窗和頻域加窗有一些共同的效果，也有一些不同的區(qū)別，例如旁瓣大小不同，旁瓣結(jié)構(gòu)也有所不同等。其中藍色是頻域加窗后脈沖壓縮后的結(jié)果，綠色是時域加窗后的結(jié)果。 ? ?

加窗對頻率和幅值的影響

傅里葉變換后主要的特征有頻率、幅值和相位，而加窗對相位的影響是線性的，所以一般不用考慮，下面主要討論加窗對頻率和幅值的影響。 加窗對頻率和幅值的影響是關(guān)聯(lián)的，對于時域的單個頻率信號，加窗之后的頻譜就是將窗譜的譜峰位置平移到信號的頻率處，然后進行垂直縮放。說明加窗的影響取決于窗的功率譜，也就容易理解為什么總?？吹綄Υ疤卣髦靼?、旁瓣等的描述。 主瓣變寬就可能與附近的頻率的譜相疊加，意味著更難找到疊加后功率譜中最大的頻率點，即降低了頻率分辨率，較難定位中心頻率。旁瓣多意味著信號功率泄露多，主瓣被削弱了，即幅值精度降低了。由于加窗計算中衰減了原始信號的部分能量，因此對于最后的結(jié)果還需要加上修正系數(shù)。 ? ?

如何選擇“窗函數(shù)”？

對于一次過程時間小于窗口的暫態(tài)信號或沖擊波形，信號開始和結(jié)束處本身就是零，不存在截斷引起的泄露，不需要加窗抑制，因此只需要用矩形窗即可。 在需要頻率分辨率高時，使用旁瓣少的窗口，如漢寧窗，而矩形窗旁瓣太高，泄漏太大；在需要幅值準確時，還可以使用平頂窗。對于連續(xù)的周期性波形，可以結(jié)合不同的窗口獲得所關(guān)注的結(jié)果。

編輯：黃飛