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阻抗匹配與史密斯(Smith)圓圖: 基本原理 |
| 本文利用史密斯圓圖作為RF阻抗匹配的設(shè)計(jì)指南。文中給出了反射系數(shù)、阻抗和導(dǎo)納的作圖范例，并用作圖法設(shè)計(jì)了一個(gè)頻率為60MHz的匹配網(wǎng)絡(luò)。 實(shí)踐證明：史密斯圓圖仍然是計(jì)算傳輸線阻抗的基本工具。 在處理RF系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，總會(huì)遇到一些非常困難的工作，對各部分級聯(lián)電路的不同阻抗進(jìn)行匹配就是其中之一。一般情況下，需要進(jìn)行匹配的電路包括天線與低噪聲放大器(LNA)之間的匹配、功率放大器輸出(RFOUT)與天線之間的匹配、LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配。匹配的目的是為了保證信號(hào)或能量有效地從“信號(hào)源”傳送到“負(fù)載”。 在高頻端，寄生元件(比如連線上的電感、板層之間的電容和導(dǎo)體的電阻)對匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的、不可預(yù)知的影響。頻率在數(shù)十兆赫茲以上時(shí)，理論計(jì)算和仿真已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足要求，為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果，還必須考慮在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行的RF測試、并進(jìn)行適當(dāng)調(diào)諧。需要用計(jì)算值確定電路的結(jié)構(gòu)類型和相應(yīng)的目標(biāo)元件值。 有很多種阻抗匹配的方法，包括:
本文的主要目的是復(fù)習(xí)史密斯圓圖的結(jié)構(gòu)和背景知識(shí)，并且總結(jié)它在實(shí)際中的應(yīng)用方法。討論的主題包括參數(shù)的實(shí)際范例，比如找出匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值。當(dāng)然，史密斯圓圖不僅能夠?yàn)槲覀冋页鲎畲蠊β蕚鬏數(shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò)，還能幫助設(shè)計(jì)者優(yōu)化噪聲系數(shù)，確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進(jìn)行穩(wěn)定性分析。
圖1. 阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ) 基礎(chǔ)知識(shí) 在介紹史密斯圓圖的使用之前，最好回顧一下RF環(huán)境下(大于100MHz) IC連線的電磁波傳播現(xiàn)象。這對RS-485傳輸線、PA和天線之間的連接、LNA和下變頻器/混頻器之間的連接等應(yīng)用都是有效的。 大家都知道，要使信號(hào)源傳送到負(fù)載的功率最大，信號(hào)源阻抗必須等于負(fù)載的共軛阻抗，即：
圖2. 表達(dá)式Rs + jXs = RL - jXL的等效圖 在這個(gè)條件下，從信號(hào)源到負(fù)載傳輸?shù)哪芰孔畲?。另外，為有效傳輸功率，滿足這個(gè)條件可以避免能量從負(fù)載反射到信號(hào)源，尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此。 史密斯圓圖 史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個(gè)圖。正確的使用它，可以在不作任何計(jì)算的前提下得到一個(gè)表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并跟蹤數(shù)據(jù)。 史密斯圓圖是反射系數(shù)(伽馬，以符號(hào)表示)的極座標(biāo)圖。反射系數(shù)也可以從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù)，即s11。 史密斯圓圖是通過驗(yàn)證阻抗匹配的負(fù)載產(chǎn)生的。這里我們不直接考慮阻抗，而是用反射系數(shù)L，反射系數(shù)可以反映負(fù)載的特性(如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo))，在處理RF頻率的問題時(shí)，L更加有用。 我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比:
圖3. 負(fù)載阻抗 負(fù)載反射信號(hào)的強(qiáng)度取決于信號(hào)源阻抗與負(fù)載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達(dá)式定義為： 由于阻抗是復(fù)數(shù)，反射系數(shù)也是復(fù)數(shù)。 為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Zo (特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù)，是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值，如50、75、100和600。于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗： 據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫為： 從上式我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系。但是這個(gè)關(guān)系式是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以并不實(shí)用。我們可以把史密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示。 為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形式(如圓或射線)。 首先，由方程2.3求解出； 并且 令等式2.5的實(shí)部和虛部相等，得到兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式： 重新整理等式2.6，經(jīng)過等式2.8至2.13得到最終的方程2.14。這個(gè)方程是在復(fù)平面(r, i)上、圓的參數(shù)方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2，它以(r/r+1, 0)為圓心，半徑為1/1+r. 更多細(xì)節(jié)參見圖4a。
圖4a. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同實(shí)部的阻抗。例如，R＝1的圓，以(0.5, 0)為圓心，半徑為0.5。它包含了代表反射零點(diǎn)的原點(diǎn)(0, 0) (負(fù)載與特性阻抗相匹配）。以(0，0)為圓心、半徑為1的圓代表負(fù)載短路。負(fù)載開路時(shí)，圓退化為一個(gè)點(diǎn)(以1，0為圓心，半徑為零)。與此對應(yīng)的是最大的反射系數(shù)1，即所有的入射波都被反射回來。 在作史密斯圓圖時(shí)，有一些需要注意的問題。下面是最重要的幾個(gè)方面：
作圖 經(jīng)過等式2.15至2.18的變換，2.7式可以推導(dǎo)出另一個(gè)參數(shù)方程，方程2.19。 同樣，2.19也是在復(fù)平面(r, i)上的圓的參數(shù)方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2,它的圓心為(1, 1/x)，半徑1/x。 更多細(xì)節(jié)參見圖4b。
圖4b. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同虛部x的阻抗。例如，x=1的圓以(1, 1)為圓心，半徑為1。所有的圓(x為常數(shù))都包括點(diǎn)(1, 0)。與實(shí)部圓周不同的是，x既可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。這說明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經(jīng)過橫軸上1點(diǎn)的垂直線上。 完成圓圖 為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起。可以發(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會(huì)與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為r + jx，只需要找到對應(yīng)于r和x的兩個(gè)圓周的交點(diǎn)就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù)。 可互換性 上述過程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個(gè)圓周的交點(diǎn)從而讀取相應(yīng)的r和x的值。過程如下：
推論 因?yàn)槭访芩箞A圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度。下面是一個(gè)用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實(shí)例： 例: 已知特性阻抗為50，負(fù)載阻抗如下：
對上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中(見圖5)：
圖5. 史密斯圓圖上的點(diǎn) 現(xiàn)在可以通過圖5的圓圖直接解出反射系數(shù)。畫出阻抗點(diǎn)(等阻抗圓和等電抗圓的交點(diǎn))，只要讀出它們在直角坐標(biāo)水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實(shí)部r和虛部i (見圖6)。 該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對應(yīng)的反射系數(shù)：
圖6. 從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)的實(shí)部和虛部 用導(dǎo)納表示 史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的。一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)。可以添加新的串聯(lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動(dòng)到它們相應(yīng)的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時(shí)分析過程就不是這么簡單了，需要考慮其它的參數(shù)。通常，利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件。 我們知道，根據(jù)定義Y = 1/Z，Z = 1/Y。導(dǎo)納的單位是姆歐或者-1 (早些時(shí)候?qū)Ъ{的單位是西門子或S)。并且，如果Z是復(fù)數(shù)，則Y也一定是復(fù)數(shù)。 所以Y = G + jB (2.20),其中G叫作元件的“電導(dǎo)”，B稱“電納”。在演算的時(shí)候應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，按照似乎合乎邏輯的假設(shè)，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而實(shí)際情況并非如此，這樣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。 用導(dǎo)納表示時(shí)，第一件要做的事是歸一化， y = Y/Yo，得出 y = g + jb。但是如何計(jì)算反射系數(shù)呢？通過下面的式子進(jìn)行推導(dǎo)： 結(jié)果是G的表達(dá)式符號(hào)與z相反，并有(y) = -(z). 如果知道z，就能通過將的符號(hào)取反找到一個(gè)與(0，0)的距離相等但在反方向的點(diǎn)。圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°可以得到同樣的結(jié)果。(見圖7).
圖7. 180°度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果 當(dāng)然，表面上看新的點(diǎn)好像是一個(gè)不同的阻抗，實(shí)際上Z和1/Z表示的是同一個(gè)元件。(在史密斯圓圖上，不同的值對應(yīng)不同的點(diǎn)并具有不同的反射系數(shù)，依次類推)出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個(gè)阻抗圖，而新的點(diǎn)代表的是一個(gè)導(dǎo)納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是姆歐。 盡管用這種方法就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問題時(shí)仍不適用。 導(dǎo)納圓圖 在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以通過以復(fù)平面原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180°后得到與之對應(yīng)的導(dǎo)納點(diǎn)。于是，將整個(gè)阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180°就得到了導(dǎo)納圓圖。這種方法十分方便，它使我們不用建立一個(gè)新圖。所有圓周的交點(diǎn)(等電導(dǎo)圓和等電納圓)自然出現(xiàn)在點(diǎn)(-1, 0)。使用導(dǎo)納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造： 解這個(gè)方程 接下來，令方程3.3的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個(gè)新的獨(dú)立的關(guān)系： 從等式3.4，我們可以推導(dǎo)出下面的式子： 它也是復(fù)平面 (r, i)上圓的參數(shù)方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2 (方程3.12)，以(-g/g+1, 0)為圓心，半徑為1/(1+g)。 從等式3.5，我們可以推導(dǎo)出下面的式子： 同樣得到(x-a)2 + (y-b)2 = R2型的參數(shù)方程(方程3.17)。 求解等效阻抗 當(dāng)解決同時(shí)存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時(shí)，可以使用同一個(gè)史密斯圓圖，在需要進(jìn)行從z到y(tǒng)或從y到z的轉(zhuǎn)換時(shí)將圖形旋轉(zhuǎn)。 考慮圖8所示網(wǎng)絡(luò)(其中的元件以Zo=50進(jìn)行了歸一化)。串聯(lián)電抗(x)對電感元件而言為正數(shù)，對電容元件而言為負(fù)數(shù)。而電納(b)對電容元件而言為正數(shù)，對電感元件而言為負(fù)數(shù)。 圖8. 一個(gè)多元件電路 這個(gè)電路需要進(jìn)行簡化(見圖9)。從最右邊開始，有一個(gè)電阻和一個(gè)電感，數(shù)值都是1，我們可以在r＝1的圓周和I＝1的圓周的交點(diǎn)處得到一個(gè)串聯(lián)等效點(diǎn)，即點(diǎn)A。下一個(gè)元件是并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖(將整個(gè)平面旋轉(zhuǎn)180°)，此時(shí)需要將前面的那個(gè)點(diǎn)變成導(dǎo)納，記為A'?，F(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180°，于是我們在導(dǎo)納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導(dǎo)圓逆時(shí)針方向(負(fù)值)移動(dòng)距離0.3，得到點(diǎn)B。然后又是一個(gè)串聯(lián)元件?，F(xiàn)在我們再回到阻抗圓圖。 圖9. 將圖8網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開進(jìn)行分析 在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成阻抗(此前是導(dǎo)納)，變換之后得到的點(diǎn)記為B'，用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn)180°回到阻抗模式。沿著電阻圓周移動(dòng)距離1.4得到點(diǎn)C就增加了一個(gè)串聯(lián)元件，注意是逆時(shí)針移動(dòng)(負(fù)值)。進(jìn)行同樣的操作可增加下一個(gè)元件(進(jìn)行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納)，沿著等電導(dǎo)圓順時(shí)針方向(因?yàn)槭钦?移動(dòng)指定的距離(1.1)。這個(gè)點(diǎn)記為D。最后，我們回到阻抗模式增加最后一個(gè)元件(串聯(lián)電感)。于是我們得到所需的值，z，位于0.2電阻圓和0.5電抗圓的交點(diǎn)。至此，得出z＝0.2 + j0.5。如果系統(tǒng)的特性阻抗是50,有 Z = 10 + j25 (見圖10)。 圖10. 在史密斯圓圖上畫出的網(wǎng)絡(luò)元件 逐步進(jìn)行阻抗匹配 史密斯圓圖的另一個(gè)用處是進(jìn)行阻抗匹配。這和找出一個(gè)已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過程。此時(shí)，兩端(通常是信號(hào)源和負(fù)載)阻抗是固定的，如圖12所示。我們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個(gè)設(shè)計(jì)好的網(wǎng)絡(luò)已達(dá)到合適的阻抗匹配。
圖11. 阻抗已知而元件未知的典型電路 初看起來好像并不比找到等效阻抗復(fù)雜。但是問題在于有無限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類似的效果，而且還需考慮其它因素(比如濾波器的結(jié)構(gòu)類型、品質(zhì)因數(shù)和有限的可選元件)。 實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得到我們想要的阻抗。從圖形上看，就是找到一條途徑來連接史密斯圓圖上的點(diǎn)。同樣，說明這種方法的最好辦法是給出一個(gè)實(shí)例。 我們的目標(biāo)是在60MHz工作頻率下匹配源阻抗(ZS)和負(fù)載阻抗(ZL) (見圖12)。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通，L型(也可以把問題看作是如何使負(fù)載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于ZS的阻抗，即ZS復(fù)共軛)。下面是解的過程： 圖12. 圖11的網(wǎng)絡(luò)，將其對應(yīng)的點(diǎn)畫在史密斯圓圖上 要做的第一件事是將各阻抗值歸一化。如果沒有給出特性阻抗，選擇一個(gè)與負(fù)載/信號(hào)源的數(shù)值在同一量級的阻抗值。假設(shè) Zo為50。于是 zS = 0.5 -j0.3, z*S = 0.5 + j0.3, ZL = 2 -j0.5。 下一步，在圖上標(biāo)出這兩個(gè)點(diǎn)，A代表zL，D代表Z*S 然后判別與負(fù)載連接的第一個(gè)元件(并聯(lián)電容)，先把zL轉(zhuǎn)化為導(dǎo)納，得到點(diǎn)A'。 確定連接電容C后下一個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)在圓弧上的位置。由于不知道C的值，所以我們不知道具體的位置，然而我們確實(shí)知道移動(dòng)的方向。并聯(lián)的電容應(yīng)該在導(dǎo)納圓圖上沿順時(shí)針方向移動(dòng)、直到找到對應(yīng)的數(shù)值，得到點(diǎn)B (導(dǎo)納)。下一個(gè)元件是串聯(lián)元件，所以必需把B轉(zhuǎn)換到阻抗平面上去，得到B'。B'必需和D位于同一個(gè)電阻圓上。從圖形上看，從A'到D只有一條路徑，但是如果要經(jīng)過中間的B點(diǎn)(也就是B')，就需要經(jīng)過多次的嘗試和檢驗(yàn)。在找到點(diǎn)B和B'后，我們就能夠測量A'到B和B'到D的弧長，前者就是C的歸一化電納值，后者為L的歸一化電抗值。A'到B的弧長為b = 0.78，則B = 0.78 x Yo = 0.0156姆歐。因?yàn)镃 = B,所以 C = B/ = B/(2 f) = 0.0156/(2 607) = 41.4pF。B到D的弧長為 x = 1.2,于是 X = 1.2 × Zo = 60.由L = X, 得 L = X/ = X/(2 f) = 60/(2 607) = 159nH。 總結(jié) 在擁有功能強(qiáng)大的軟件和高速、高性能計(jì)算機(jī)的今天，人們會(huì)懷疑在解決電路基本問題的時(shí)候是否還需要這樣一種基礎(chǔ)和初級的方法。 實(shí)際上，一個(gè)真正的工程師不僅應(yīng)該擁有理論知識(shí)，更應(yīng)該具有利用各種資源解決問題的能力。在程序中加入幾個(gè)數(shù)字然后得出結(jié)果的確是件容易的事情，當(dāng)問題的解十分復(fù)雜、并且不唯一時(shí)，讓計(jì)算機(jī)作這樣的工作尤其方便。然而，如果能夠理解計(jì)算機(jī)的工作平臺(tái)所使用的基本理論和原理，知道它們的由來，這樣的工程師或設(shè)計(jì)者就能夠成為更加全面和值得信賴的專家，得到的結(jié)果也更加可靠。
本文的相似版本發(fā)表在2000年7月的RF Design上。 |
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