開槽波導(dǎo)3次諧波回旋行波放大管非線性理論與數(shù)值模擬

圖1　中空外開槽波導(dǎo)及電子注橫截面示意圖.虛圓為電子注橫截面示意圖

　　在Ⅰ區(qū)(0＜r＜a)中

　(1)
　(2)
Ez=0　(3)

在Ⅱ區(qū)(a＜r＜b)中

Ez=0　(4)
Er=0　(5)

　(6)

其中

　(7)
B0=［-J′0(kcb)/Y′0(kcb)］A0　(8)

　　在以上各式中，E0為高頻場(chǎng)振幅，Γ為角向諧波數(shù)，ΑΓ為角向Γ次諧波項(xiàng)的振幅系數(shù)，kc為截止波數(shù)，q為開槽序數(shù)(q=1,2,…,N)，m代表高頻場(chǎng)的角向模式(m=0,1,2,…,N-1).AΓ的值以及電路的色散關(guān)系可由電磁場(chǎng)在r=a處的邊界條件確定.

　(9)

色散關(guān)系為

　(10)

　　式(9)表明，只有當(dāng)空間諧波次數(shù)Γ=m+lN時(shí)，非零空間諧波項(xiàng)才存在.角向模式?jīng)Q定相鄰隙間高頻場(chǎng)的相位差，對(duì)于每一具體模式，此相位差值為m2π/N.每一角向模式均由無數(shù)個(gè)角向諧波項(xiàng)組成，其諧波振幅系數(shù)由式(9)決定.在所有角向模式中有兩個(gè)比較重要的模式，即π模式和2π模式，其角向諧波相對(duì)強(qiáng)弱分布情況見圖2.由圖2可知，2π模式的能量主要集中于零次諧波項(xiàng)中，而π模式的能量主要集中于±N/2次諧波項(xiàng)中.因此，π模式較2π模式更適合于高次回旋諧波互作用.如果電子注回旋諧波次數(shù)(用S表示)已經(jīng)設(shè)定，那么槽數(shù)N的選擇應(yīng)保證最強(qiáng)非零次角向諧波項(xiàng)的次數(shù)Г與回旋諧波次數(shù)S相等.如，對(duì)于π模式，槽數(shù)N應(yīng)等于2S.

圖2　角向諧波振幅對(duì)角向諧波數(shù)(Γ)的相對(duì)分布示意圖.(a)π模式(m=N/2,N=6,θ0=15°)，(b)2π模式(m=0,N=6,θ0=15°)

　　當(dāng)角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后，截止波數(shù)kc的值可由式(10)通過數(shù)值求解方法求得［6，8，9］.

三、自洽非線性理論
　　在熱腔中，高頻場(chǎng)沿軸向呈緩變分布狀況，其對(duì)橫坐標(biāo)(r,φ)的分布函數(shù)與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區(qū)中的熱腔高頻電場(chǎng)分量(TE波)表達(dá)式.

　(11)
　(12)
Ez=0　(13)

　　上述各式中，Cmn為電場(chǎng)歸一化系數(shù)，f(z)為一復(fù)函數(shù)，代表高頻場(chǎng)沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得

　(14)

　　以下是自洽非線性注波互作用常微分方程組.
　　從洛倫茲公式
出發(fā)［8］，可推得電子在高頻場(chǎng)(E,B)和直流磁場(chǎng)(B0)作用下的運(yùn)動(dòng)方程.每個(gè)電子有6個(gè)運(yùn)動(dòng)參量方程，這里僅給出了速度分量及動(dòng)量空間角3個(gè)運(yùn)動(dòng)參量方程.

　(15)
　(16)
　(17)

　　以上各式中，m0和γ分別為電子的靜止質(zhì)量和相對(duì)論因子，φ為動(dòng)量空間角，u=γv,v為電子的速度，如圖1所示.
　　從有源麥克斯韋方程出發(fā)，經(jīng)過一系列復(fù)雜的推導(dǎo)并對(duì)電流進(jìn)行離散化后得到非線性注波互作用場(chǎng)方程為

　(18)

上式中，P為在一個(gè)高頻場(chǎng)周期內(nèi)所取的電子注批數(shù)，M為考慮電子注厚度因數(shù)而將電子注化分的圈數(shù)，N為每圈上所取的宏電子數(shù)，S為諧波次數(shù).〈…〉表示對(duì)初始速度分布函數(shù)為g0(v⊥,vz)的速度空間進(jìn)行平均.設(shè)電子注為單能電子注，速度零散主要來自于橫縱向速度比值(V⊥/Vz)的零散，這里按正態(tài)分布規(guī)律來處理速度零散，即初始速度分布函數(shù)為

式中K為歸一化常數(shù),△vz為平均縱向速度零散，δ為狄拉克函數(shù)．
邊界條件

f(z)|z=0=f(0)　(19)
(20)

式中f(0)為輸入高頻場(chǎng)電場(chǎng)幅值.
　　方程(15)～(18)為自洽非線性注波互作用方程組.將電子注離散為NT個(gè)宏電子，則一共有6NT+2個(gè)一階非線性微分方程，結(jié)合邊界條件(19)、(20)，利用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)注波互作用進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算結(jié)果在下部分內(nèi)容中給出并討論.

四、結(jié)果與討論
　　表1給出了互作用電路參數(shù)，各圖表曲線相關(guān)參數(shù)見相應(yīng)圖表標(biāo)注.圖3給出了驅(qū)動(dòng)功率為20W情況下，效率與電子速度比值α的關(guān)系.圖中B0、Bg分別為直流磁場(chǎng)和共振點(diǎn)磁場(chǎng)，ω為高頻場(chǎng)頻率，ωc為波導(dǎo)截止頻率.由于在回旋行波管中波的能量取自于電子的橫向能，又由于當(dāng)α值增大，電子的橫向能量以及回旋半徑也隨著增大，因此互作用效率也就隨著α增大而增大.但當(dāng)α增大到一定值后，注波互作用達(dá)到飽和，同時(shí)由于電子注回旋半徑過大，電子在波導(dǎo)壁上產(chǎn)生截獲，這樣互作用效率又隨α值增大而減小.

表1　數(shù)值模擬參數(shù)與結(jié)果

圖3　效率與電子注速度比值α的關(guān)系(s=3,πmode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=1.032，
　　　B0/Bg=0.99)

　　圖4所示為飽和效率、飽和增益與B0/Bg值之間的關(guān)系，虛線為飽和增益曲線.圖中γz為縱向速度分量的相對(duì)論因子.圖示表明，一方面，降低B0/Bg值，有助于提高飽和互作用效率，但B0/Bg值不能太低，否則失諧加重，注波互作用難以達(dá)到同步，飽和效率便會(huì)迅速降低；另一方面，增加B0/Bg的值卻有利于提高飽和增益.總的來說，磁場(chǎng)失諧率的選擇應(yīng)在效率和增益之間作優(yōu)化折衷.

圖4　飽和效率及增益與B0/Bg值的關(guān)系(s=3,π mode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=γz,
　　　α=1.3)

　　圖5所示電流分別為3A、6A和9A情況下(a)飽和效率、(b)飽和增益隨頻率變化的關(guān)系.可以看出飽和效率、飽和增益以及飽和帶寬都隨電流的增長(zhǎng)而有所增加.在6A和圖示情況下，飽和帶寬為7%，電流為3A增大到9A時(shí)，飽和帶寬從4.6%增大到8.3%.

圖5　不同電流下，(a)飽和效率(b)飽和增益隨頻率變化的關(guān)系(s=3,π mode,V=60kV,α=1.3,B0/Bg=0.99)

　　圖6所示為幾個(gè)不同磁場(chǎng)失諧率下飽和增益以及飽和效率隨頻率變化的關(guān)系.由圖可見，磁場(chǎng)失諧率對(duì)飽和增益、飽和效率及飽和帶寬都有較大影響，B0/Bg值的提高有利于飽和增益及飽和帶寬的提高，但飽和效率卻有所降低.在圖示條件下，當(dāng)B0/Bg值從0.983增大到0.998時(shí)，飽和帶寬從4.8%增大到9.3%.

圖6　不同磁場(chǎng)失諧率下，(a)飽和增益及(b)飽和效率隨頻率變化的關(guān)系(s=3,π mode,I=6A,V=60kV,α=1.3)

　　圖7為在不同磁場(chǎng)失諧率下飽和效率隨諧波次數(shù)的變化關(guān)系.由圖表明，飽和效率隨諧波次數(shù)的增大而降低，B0/Bg值越低，諧波次數(shù)對(duì)飽和效率的影響越大.

圖7　飽和效率隨諧波次數(shù)的變化關(guān)系(π mode,I=6A,V=60kV,α=1.3,ω/ωc=γz,rL/a=0.7)

　　圖8所示為不同諧波次數(shù)下飽和效率隨頻率的變化關(guān)系.圖示表明諧波次數(shù)對(duì)飽和帶寬有較大影響.在圖示條件下，諧波次數(shù)從2增大到4時(shí)，飽和帶寬從10.3%減小到5.7%.

圖8　不同諧波次數(shù)下飽和效率隨頻率的變化關(guān)系(π mode,I=6A,V=60kV,α=1.3,B0/Bg=0.99,ω/ωc=γz,rL/a=0.7)

五、結(jié)束語(yǔ)
　　本文在單模和未考慮空間電荷效應(yīng)及波導(dǎo)壁損耗的情況下，對(duì)95GHz3次諧波回旋行波管注波互作用進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，得出了一些重要的互作用規(guī)律.研究結(jié)果表明，開槽波導(dǎo)高次諧波回旋行波管能在較低的磁場(chǎng)下和較寬的頻帶范圍內(nèi)，獲得較高的互作用效應(yīng).高次諧波互作用降低了管子對(duì)磁場(chǎng)的要求，使采用永久磁鐵成為可能，但諧波次數(shù)的增高會(huì)削弱注波互作用效率和帶寬.由于在π模式中，高頻場(chǎng)能量主要集中于高次諧波項(xiàng)中，而在2π模式中，能量主要集中于零次諧波項(xiàng)中，因此，π模式較2π模式更有利于高次諧波放大.適當(dāng)降低磁場(chǎng)失諧率B0/Bg的值，有利于提高飽和互作用效率，但飽和增益及帶寬卻有所降低.適當(dāng)提高橫縱向速度比值(V⊥/Vz)、電流值以及輸入功率，有利于帶寬、增益和互作用效應(yīng)的提高.另外，速度零散對(duì)注波互作用亦有較大影響，隨著速度零散的增加，注波互作用效率、增益都有所降低.