介紹計算電磁學(xué)基礎(chǔ)知識及數(shù)值方法匯總

一。 計算電磁學(xué)的重要性

在現(xiàn)代科學(xué)研究中，“科學(xué)試驗，理論分析，高性能計算”已經(jīng)成為三種重要的研究手段。在電磁學(xué)領(lǐng)域中，經(jīng)典電磁理論只能在11 種可分離變量坐標(biāo)系中求解麥克斯韋方程組或者其退化形式，最后得到解析解。解析解的優(yōu)點在于：

①可將解答表示為己知函數(shù)的顯式，從而可計算出精確的數(shù)值結(jié)果;

②可以作為近似解和數(shù)值解的檢驗標(biāo)準(zhǔn);

③在解析過程中和在解的顯式中可以觀察到問題的內(nèi)在聯(lián)系和各個參數(shù)對數(shù)值結(jié)果所起的作用。

這種方法可以得到問題的準(zhǔn)確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有規(guī)則邊界的簡單問題。當(dāng)遇到不規(guī)則形狀或者任意形狀邊界問題時，則需要比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧，甚至無法求得解析解。20 世紀(jì)60 年代以來，隨著電子計算機技術(shù)的發(fā)展，一些電磁場的數(shù)值計算方法也迅速發(fā)展起來，并在實際工程問題中得到了廣泛地應(yīng)用，形成了計算電磁學(xué)研究領(lǐng)域，已經(jīng)成為現(xiàn)代電磁理論研究的主流。簡而言之，計算電磁學(xué)是在電磁場與微波技術(shù)學(xué)科中發(fā)展起來的，建立在電磁場理論基礎(chǔ)上，以高性能計算機技術(shù)為工具，運用計算數(shù)學(xué)方法，專門解決復(fù)雜電磁場與微波工程問題的應(yīng)用科學(xué)。相對于經(jīng)典電磁理論分析而言，應(yīng)用計算電磁學(xué)來解決電磁學(xué)問題時受邊界約束大為減少，可以解決各種類型的復(fù)雜問題。原則上來講，從直流到光的寬廣頻率范圍都屬于該學(xué)科的研究范圍。近幾年來，電磁場工程在以電磁能量或信息的傳輸、轉(zhuǎn)換過程為核心的強電與弱電領(lǐng)域中顯示了重要作用。

二。 電磁問題的分析過程

電磁工程問題分析時所經(jīng)歷的一般過程為：

三。 計算電磁學(xué)的分類

（1） 時域方法與譜域方法

電磁學(xué)的數(shù)值計算方法可以分為時域方法（Time Domain或TD）和頻域方法（Frequeney Domain或FD）兩大類。

時域方法對Maxwell方程按時間步進(jìn)后求解有關(guān)場量。最著名的時域方法是時域有限差分法（Finite Difference Time Domain或FDTD）。這種方法通常適用于求解在外界激勵下場的瞬態(tài)變化過程。若使用脈沖激勵源，一次求解可以得到一個很寬頻帶范圍內(nèi)的響應(yīng)。時域方法具有可靠的精度，更快的計算速度，并能夠真實地反應(yīng)電磁現(xiàn)象的本質(zhì)，特別是在諸如短脈沖雷達(dá)目標(biāo)識別、時域測量、寬帶無線電通訊等研究領(lǐng)域更是具有不可估量的作用。

頻域方法是基于時諧微分、積分方程，通過對N個均勻頻率采樣值的傅立葉逆變換得到所需的脈沖響應(yīng)，即研究時諧（Time Harmonic）激勵條件下經(jīng)過無限長時間后的穩(wěn)態(tài)場分布的情況，使用這種方法，每次計算只能求得一個頻率點上的響應(yīng)。過去這種方法被大量使用，多半是因為信號、雷達(dá)一般工作在窄帶。

當(dāng)要獲取復(fù)雜結(jié)構(gòu)時域超寬帶響應(yīng)時，如果采用頻域方法，則需要在很大帶寬內(nèi)的不同頻率點上的進(jìn)行多次計算，然后利用傅立葉變換來獲得時域響應(yīng)數(shù)據(jù)，計算量較大；如果直接采用時域方法，則可以一次性獲得時域超寬帶響應(yīng)數(shù)據(jù)，大大提高計算效率。特別是時域方法還能直接處理非線性媒質(zhì)和時變媒質(zhì)問題，具有很大的優(yōu)越性。時域方法使電磁場的理論與計算從處理穩(wěn)態(tài)問題發(fā)展到能夠處理瞬態(tài)問題，使人們處理電磁現(xiàn)象的范圍得到了極大的擴展。

頻域方法可以分成基于射線的方法（Ray-based）和基于電流的方法（Current-based）。前者包括幾何光學(xué)法（GO）、幾何繞射理論（GTD）和一致性繞射理論（UTD）等等。后者主要包括矩量法（MoM）和物理光學(xué)法（PO）等等?；谏渚€的方法通常用光的傳播方式來近似電磁波的行為，考慮射向平面后的反射、經(jīng)過邊緣、尖劈和曲面后的繞射。當(dāng)然這些方法都是高頻近似方法，主要適用于那些目標(biāo)表面光滑，其細(xì)節(jié)對于工作頻率而言可以忽略的情況。同時，它們對于近場的模擬也不夠精確。另一方面，基于電流的方法一般通過求解目標(biāo)在外界激勵下的感應(yīng)電流進(jìn)而再求解感應(yīng)電流產(chǎn)生的散射場，而真實的場為激勵場與散射場之和?；陔娏鞯姆椒ㄖ凶钪氖蔷亓糠?。矩量法嚴(yán)格建立在積分方程基礎(chǔ)上，在數(shù)字上是精確的。其實，我們并不能判斷它是一種低頻方法或者是高頻方法，只是矩量法所需要的存儲空間和計算時間隨未知元數(shù)的快速增長阻止了其對高頻情況的應(yīng)用，因而它只好被限定在低頻至中頻的應(yīng)用上。物理光學(xué)法可以認(rèn)為是矩量法的一種近似，它忽略了各子散射元間的相互禍合作用，這種近似對大而平滑的目標(biāo)是適用的，但是目標(biāo)上含有邊緣、尖劈和拐角等外形的部件時，它就失效了。當(dāng)然，對于簡單形狀的物體，PO法還是一個常用的方法，畢竟，它的求解過程很迅速，并且所需的存儲空間也非常少（O（N））。

（2）積分方程法與微分方程法

從求解的方程形式又可以分成積分方程法（IF）和微分方程法（DE）。IE法與DE法相比，特點如下：（1）IE法的求解區(qū)域維數(shù)比DE法少一維，誤差僅限于求解區(qū)域的邊界，故精度高；（2）IE法適宜于求解無限域問題，而DE法用于無限域問題的求解時則要遇到網(wǎng)格截斷問題；（3）IE法產(chǎn)生的矩陣是滿的，階數(shù)小，DE法所產(chǎn)生的矩陣是稀疏的，但階數(shù)大；（4）IE法難處理非均勻、非線性和時變煤質(zhì)問題，而DE法則可以直接用于這類問題。因此，求解電磁場工程問題的出發(fā)點有四種方式：頻域積分方程（FDIE）、頻域微分方程（FDDE）、時域微分方程（TDDE）和時域積分方程（TDIE）。

計算電磁學(xué)也可以分成基于微分方程的方法（Differential Equation）和基于積分方程的方法（Integral Equation）兩類。前者包括FDTD、時域有限體積法FVTD、頻域有限差分法FDFD、有限元法FEM。在微分方程類數(shù)值方法中，其未知數(shù)理論上講應(yīng)定義在整個自由空間以滿足電磁場在無限遠(yuǎn)處的輻射條件。但是由于計算機只有有限的存貯量，人們引入了吸收邊界條件來等效無限遠(yuǎn)處的輻射條件，使未知數(shù)局限于有限空間內(nèi)。即便如此，其所涉及的未知數(shù)數(shù)目依然龐大（相比于邊界積分方程而言）。同時，由于偏微分方程的局域性，使得場在數(shù)值網(wǎng)格的傳播過程中形成色散誤差。所研究的區(qū)域越大，色散的積累越大。數(shù)目龐大的未知數(shù)和數(shù)值耗散問題使得微分方程類方法在分析電大尺寸目標(biāo)時遇到了困難。對于FEM方法，早期基于節(jié)點（Node-based）的處理方式非常有可能由于插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不滿足連續(xù)性而導(dǎo)致不可預(yù)知的偽解問題，使得這種在工程力學(xué)中非常成功的方法在電磁學(xué)領(lǐng)域內(nèi)無法大展身手，直到一種基于棱邊（Edge-based）的處理方式的出現(xiàn)后，這個問題才得以解決。