由傳感器所檢測(cè)到的奇異信號(hào)往往載有設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)特征的重要信息。判斷狀態(tài)信號(hào)的奇異點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)刻，并對(duì)信號(hào)奇異性實(shí)現(xiàn)定量描述，在信號(hào)處理和故障診斷等領(lǐng)域有著重要的意義。
信號(hào)的奇異性分析是提取信號(hào)特征的重要手段，傅里葉變換一直是研究信號(hào)奇異性的經(jīng)典工具，但是由于傅里葉變換對(duì)信號(hào)的表示要么在時(shí)域，要么在頻域，缺乏空間局部特性，因而只能確定信號(hào)奇異性的整體信息，無(wú)法確定奇異點(diǎn)的空間分布。小波變換具有時(shí)－頻局部化特性，能夠有效地分析信號(hào)的奇異性，確定奇異點(diǎn)的位置與奇異度的大小，為信號(hào)奇異性分析提供了有力的工具。
一 基本理論
?。?） 小波分析概況
小波分析是自1986年以來(lái)由Meyer，Mallat及Daubechies等的研究工作為基礎(chǔ)而迅速發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興學(xué)科，他是傅里葉分析（Fourier Analysis） 劃時(shí)代的發(fā)展結(jié)果，是目前數(shù)學(xué)分析和信號(hào)處理領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的一套新理論、新方法，如：信號(hào)分析、圖像處理、量子力學(xué)、軍事電子對(duì)抗與武器的智能化、計(jì)算機(jī)分類(lèi)與識(shí)別、數(shù)據(jù)壓縮、醫(yī)學(xué)成像與診斷、地震勘探數(shù)據(jù)處理、邊緣檢測(cè)、音樂(lè)與語(yǔ)音人工合成、大型機(jī)械的故障診斷、大氣與海洋波的分析、分形力學(xué)、流體湍流以及天體力學(xué)等。但以上大多數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問(wèn)題，故本文才重點(diǎn)介紹小波分析在信號(hào)處理方面的應(yīng)用。
在信號(hào)處理領(lǐng)域，對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行變換，從變換的結(jié)果和過(guò)程中提取信號(hào)的特征，獲得更多的信息，而這些信息是原來(lái)信號(hào)沒(méi)有直接提供的（隱含的），目前，已經(jīng)有許多變換應(yīng)用于信號(hào)處理，最基本的是頻域變換和時(shí)域變換，最熟悉的莫過(guò)于傅里葉變換（Fourier Transform），然而，傅里葉變換只能分別對(duì)信號(hào)的時(shí)域和頻域進(jìn)行觀察，不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。為了解決此問(wèn)題，引入了短時(shí)傅里葉變換（Short-time Fourier Transform），該變換能夠給出信號(hào)的時(shí)間和頻率的二維分布，在短時(shí)傅里葉變換中，其窗口寬度是一個(gè)恒定的值，不能根據(jù)信號(hào)局部特征調(diào)整其窗口寬度。為此，引入了小波變換，解決了以上問(wèn)題。
小波分析方法是一種窗口大小（即窗口面積）固定但其形狀可改變、時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較
低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡。在大尺度下，可以將信號(hào)的低頻信息（全局）表現(xiàn)出來(lái)，在小尺度下，可以將信號(hào)的高頻（局部）特征反映出來(lái)。 （2） 信號(hào)奇異性的有關(guān)定義
數(shù)學(xué)上稱(chēng)無(wú)限次可導(dǎo)函數(shù)是光滑的或沒(méi)有奇異性，若函數(shù)在某處有間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在此處有奇異性，該點(diǎn)就是奇異點(diǎn)。信號(hào)的突變點(diǎn)往往包含重要的信息。宇宙射線(xiàn)和太陽(yáng)黑子爆發(fā)，空間核磁暴，對(duì)于在太空飛行的衛(wèi)星和飛船安全構(gòu)成重大威脅，影響太空飛行器的使用壽命。通過(guò)處理采集的空間數(shù)據(jù)，檢測(cè)到奇變點(diǎn)，找到太空天氣異動(dòng)的時(shí)刻，做出科學(xué)的判斷，及時(shí)調(diào)整飛行器姿態(tài)，以保護(hù)飛行器的安全。尋找變化周期，總結(jié)規(guī)律，可為進(jìn)行太空天氣預(yù)報(bào)提供依據(jù)。
假設(shè)一維信號(hào)s（t）=s0（t）+n（t），n（t）為噪聲。s0（t）在t的某一鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，
一階導(dǎo)數(shù)‘
0（）St的極值代表了在極值某一相鄰區(qū)間內(nèi)，信號(hào)線(xiàn)性變化最劇烈的時(shí)刻。我們往往對(duì)信號(hào)變化最劇烈的時(shí)刻，也就是’0（）St的?！?（）St最大值所在時(shí)刻感興趣?！?（）St極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于s0（t）的拐點(diǎn)。s0（t）的拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)于二階導(dǎo)數(shù)‘’0（）St的零點(diǎn)位置。‘’0（）St的零點(diǎn)不一定是‘0（）St的極值點(diǎn)。通過(guò)’‘0（）St的零點(diǎn)位置以及零點(diǎn)鄰域內(nèi)值的正負(fù)性質(zhì)，可以判斷出s0（t）變化的凹凸特性，也可以判斷該點(diǎn)是否是’0（）St在某一鄰域內(nèi)的極值（極大值或極小值）。但是‘0（）St的極小值并不一定成為’0（）
St的最大值。
二 小波分析基礎(chǔ)
從以上分析，用觀測(cè)信號(hào)的平滑版本stt取代原信號(hào)s0（t）、??1Wst和2Wst取代s0（t）的一階和二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析。表1比較了含有噪聲的信號(hào)和不含噪聲突變點(diǎn)和拐點(diǎn)的區(qū)別。為了使結(jié)果更準(zhǔn)確，綜合考慮??1Wst和??2Wst多尺度計(jì)算的結(jié)果，來(lái)判斷信號(hào)的突變點(diǎn)
三 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析
當(dāng)小波函數(shù)可看作某一平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，信號(hào)小波變換模的局部極值
點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于信號(hào)的突變點(diǎn)；當(dāng)小波函數(shù)可看作某一平滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，信號(hào)小波變換的過(guò)零點(diǎn)應(yīng)于信號(hào)的突變點(diǎn)。因此，采用小波變換模的過(guò)零點(diǎn)和局部極值點(diǎn)的方法可以檢測(cè)信號(hào)的突變點(diǎn)。比較來(lái)說(shuō)，用局部極值點(diǎn)的方法進(jìn)行檢測(cè)更具優(yōu)越性。
一般信號(hào)奇異性分為兩種情況：①信號(hào)在某一時(shí)刻其幅值發(fā)生突變，引起信號(hào)的不連續(xù)，這種類(lèi)型的突變稱(chēng)為第一種類(lèi)型的間斷點(diǎn)；②信號(hào)外觀上很光滑，幅值沒(méi)有發(fā)生突變，但是信號(hào)的一階微分有突變發(fā)生且一階不連續(xù)，這種類(lèi)型的突變稱(chēng)為第二種類(lèi)型的間斷點(diǎn)。
應(yīng)用小波分析可以檢測(cè)出信號(hào)中突變點(diǎn)的位置、類(lèi)型以及變化的幅度。下面的例子將介紹用小波分析檢測(cè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，信號(hào)幅值變化的準(zhǔn)確時(shí)間，即間斷點(diǎn)的準(zhǔn)確位置。在這個(gè)例子中信號(hào)的不連續(xù)是由于低頻特征的正弦信號(hào)在后半部分突然加入高頻特征的正弦信號(hào)的緣故，分析的目的是將加入高頻特征的正弦信號(hào)的時(shí)間檢測(cè)出來(lái)。在MATLAB的命令窗口擬進(jìn)行如下編程：
load freqbrk; %裝載文件名為freqbrk的信號(hào)
該程序是用db（Daubechies）小波對(duì)信號(hào)第一類(lèi)間斷點(diǎn)進(jìn)行分析，結(jié)果如下：
從結(jié)果波形圖上可以看出，信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)在500t?。使用db6小波將信
號(hào)進(jìn)行6層分解，來(lái)檢測(cè)第一種類(lèi)型的間斷點(diǎn)，可以非常清楚地觀察到信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，即高頻特征的正弦信號(hào)的加入點(diǎn)，這是因?yàn)殚g斷點(diǎn)包含了高頻信息。如果只需要識(shí)別第一種類(lèi)型的間斷點(diǎn)，則可以非常清楚地觀察到信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，即高頻特征的正弦信號(hào)的加入點(diǎn)，這是因?yàn)殚g斷點(diǎn)包含了高頻信息。如果只需要識(shí)別信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，用db1小波比用db6小波效果好。
原始信號(hào)是由兩個(gè)獨(dú)立的滿(mǎn)足指數(shù)方程的信號(hào)在t=500處連接起來(lái)的，因此它看上去是光滑的，但它的一階微分有突變。采用db6小波對(duì)信號(hào)分解后，在信號(hào)的第一層高頻系數(shù)d1中可以明顯的看到t=500的間斷點(diǎn)。要注意的是，在信號(hào)奇異點(diǎn)的檢測(cè)中，選擇小波的正則性非常重要，因?yàn)檫@時(shí)小波可實(shí)現(xiàn)一個(gè)長(zhǎng)的沖
激響應(yīng)濾波器。
四 結(jié)束語(yǔ)
從實(shí)際數(shù)據(jù)的圖形結(jié)果，可看出：??2Wst的結(jié)果能夠精確定位拐點(diǎn)，但是拐點(diǎn)不一定是突變點(diǎn)，只有表現(xiàn)為凸特性的拐點(diǎn)才是突變點(diǎn)；而突變點(diǎn)一定是拐點(diǎn)。??1Wst和??1Wst是很難精確定位突變點(diǎn)的位置，但是可以判斷拐點(diǎn)是否為突變點(diǎn)。所以，要綜合考慮??1Wst和??2Wst在尺度上的計(jì)算結(jié)果，??2Wst用于精確定位拐點(diǎn)（鑒別凸性的拐點(diǎn)），而??1Wst和??1Wst用于判斷該拐點(diǎn)是否是模極大，是否是突變點(diǎn)。這樣既可以保證結(jié)果穩(wěn)健，又能精確定位奇異點(diǎn)的位置。 信號(hào)奇異點(diǎn)可通過(guò)信號(hào)的小波變換局部極大值來(lái)定位，而奇異性運(yùn)用該點(diǎn)的Lipschitz α來(lái)定量描述。運(yùn)用該理論來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的奇異性檢測(cè)，比常規(guī)手段更優(yōu)越。需要注意的是：選擇不同的小波分析信號(hào)的奇異性及奇異性位置和奇異度的大小，其檢測(cè)效果也不一樣，因此，選擇合適的小波非常重要。