淺談奈奎斯特定理和信號(hào)采樣

奈奎斯特定理和采樣

在著眼于軟件無線電及其各種嵌入式的應(yīng)用之前，我們先來回顧一個(gè)基本的定理，它應(yīng)用于像軟件無線電那樣的數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)。

請(qǐng)注意我們強(qiáng)調(diào)是帶寬而不是頻率。下面我們將展示這個(gè)定理的應(yīng)用，以及采樣頻率也叫采樣率的正確理解。

一個(gè)將采樣形象化的小技巧

為了形象化的展示采樣時(shí)發(fā)生了什么，假想你有一個(gè)透明的折疊式打印紙，紙的水平邊作為頻率軸，將紙的折疊處對(duì)應(yīng)二分之一采樣率的整數(shù)倍，這樣每一片紙就代表了一個(gè)“奈奎斯特區(qū)”，如圖1所示。

采樣基礎(chǔ)知識(shí)

使用折疊紙的縱軸表示信號(hào)能量，畫出待采樣信號(hào)的頻譜，如圖2所示，將透明折疊紙合起來看一下采樣帶來的效果。

我們透過合起來的紙看過去，就會(huì)看到采樣所導(dǎo)致的頻譜，每一片紙上也就是每一個(gè)奈奎斯特區(qū)上的信號(hào)都合到了一起，不能再被區(qū)分開來，這個(gè)現(xiàn)象也稱作“混疊”。 一旦采樣時(shí)發(fā)生了混疊，采樣結(jié)果將是損壞的不能恢復(fù)。“混疊”這個(gè)詞很恰當(dāng)，高奈奎斯特區(qū)的信號(hào)采樣后出現(xiàn)在一個(gè)不同的頻率。

基帶采樣

一個(gè)基帶信號(hào)的頻譜起始于零頻，終止于其最高頻率。為了防止采樣基帶信號(hào)時(shí)損壞數(shù)據(jù)，需要確保所有的信號(hào)頻譜只落在第一個(gè)奈奎斯特區(qū)，如圖4所示，有兩種方式來實(shí)現(xiàn)：一是使用低通濾波器來濾除高于fs/2的信號(hào)，二是提高采樣率使得所有信號(hào)頻譜落入fs/2以內(nèi)。注意fs/2也稱作“折疊頻率”。

帶通信號(hào)采樣

讓我們考慮一個(gè)帶通信號(hào)，比如一個(gè)通信接收機(jī)的中頻信號(hào)，它的中心頻率為70MHz，帶寬為10MHz，那么這個(gè)信號(hào)的頻譜在65～75MHz。如果我們按照基帶采樣的規(guī)則，必須在信號(hào)最高頻率的兩倍以上進(jìn)行采樣，也就是采樣率至少為150MHz。但是，利用一種“欠采樣”的技術(shù)，我們就可以使用更低的采樣率。

欠采樣

欠采樣允許我們利用混疊，假設(shè)我們遵循奈奎斯特定理的嚴(yán)格要求。對(duì)于上述中頻信號(hào)，設(shè)想我們嘗試40MHz的采樣率，那么折疊紙的圖像就是圖5所示，可以看到60～80MHz的第4奈奎斯特區(qū)，恰好包含了整個(gè)65～75MHz的中頻信號(hào)。

現(xiàn)在將紙折疊起來的結(jié)果如圖6所示，可見采樣后中頻信號(hào)保持了下來，因?yàn)樵谄渌慰固貐^(qū)沒有信號(hào)頻譜。

注意在奇數(shù)區(qū)的頻譜折疊后低頻在左端（正常頻譜），在偶數(shù)區(qū)的頻譜折疊后低頻在右端（頻譜反轉(zhuǎn)），在本例中，第4奈奎斯特區(qū)的信號(hào)頻譜被反轉(zhuǎn)了，不過在軟件無線電系統(tǒng)的后續(xù)階段很容易對(duì)其進(jìn)行調(diào)整。

實(shí)現(xiàn)成功欠采樣的主要的規(guī)則是確保信號(hào)頻譜完全在一個(gè)奈奎斯特區(qū)，有兩種方法來實(shí)現(xiàn)：一是使用帶通濾波器濾除奈奎斯特區(qū)以外的信號(hào)，二是提高采樣率使得所有信號(hào)頻譜落入一個(gè)奈奎斯特區(qū)內(nèi)。

總結(jié)

基帶采樣要求采樣率至少為信號(hào)帶寬的兩倍，也就是說信號(hào)頻譜都在第一奈奎斯特區(qū)。實(shí)際應(yīng)用中的經(jīng)驗(yàn)是：帶寬=0.8*fs/2=0.4*fs。欠采樣允許更低的采樣率，即使信號(hào)頻率比較高，前提是信號(hào)頻譜都在一個(gè)奈奎斯特區(qū)內(nèi)。

最后再重復(fù)一下奈奎斯特定理：采樣率至少為信號(hào)帶寬的兩倍——而不是信號(hào)頻率的兩倍。