最大似然檢測算法認(rèn)識與理解

　　最大似然檢測

　　最大似然檢測（Maximum Likelihood，ML）檢測，也被稱作最大似然序列估計(jì)（MLSE），從嚴(yán)格意義上講它不是均衡方案而是接收機(jī)方式，其中接收端的檢測處理顯式地考慮了無線信道時間彌散的影響。從根本上講，ML檢測器考慮了時間彌散對接收信號的影響，用整個接收信號來確定最有可能被發(fā)送的序列。為了實(shí)現(xiàn)最大似然檢測，通常使用Viterbi算法。然而，盡管基于Viterbi算法的最大似然檢測被廣泛應(yīng)用于諸如GSM的2G通信，該算法還是因?yàn)樘^復(fù)雜而無法應(yīng)用在LTE上，這是因?yàn)楦鼘挼膫鬏攷拰?dǎo)致更廣泛的信道頻率選擇性和更高的采樣速率。

　　總的來說，信號信息經(jīng)過信道估計(jì)和均衡后，通過資源逆映射映射到不同的物理信道上進(jìn)行處理

　　一、最大似然

　　假設(shè)我們需要調(diào)查我們學(xué)校的男生和女生的身高分布。你怎么做??？你說那么多人不可能一個一個去問吧，肯定是抽樣了。假設(shè)你在校園里隨便地活捉了100個男生和100個女生。他們共200個人（也就是200個身高的樣本數(shù)據(jù)，為了方便表示，下面，我說“人”的意思就是對應(yīng)的身高）都在教室里面了。那下一步怎么辦??？你開始喊：“男的左邊，女的右邊，其他的站中間！”。然后你就先統(tǒng)計(jì)抽樣得到的100個男生的身高。假設(shè)他們的身高是服從高斯分布的。但是這個分布的均值u和方差?2我們不知道，這兩個參數(shù)就是我們要估計(jì)的。記作θ=［u， ?］T。

　　用數(shù)學(xué)的語言來說就是：在學(xué)校那么多男生（身高）中，我們獨(dú)立地按照概率密度p（x|θ）抽取100了個（身高），組成樣本集X，我們想通過樣本集X來估計(jì)出未知參數(shù)θ。這里概率密度p（x|θ）我們知道了是高斯分布N（u，?）的形式，其中的未知參數(shù)是θ=［u， ?］T。抽到的樣本集是X={x1，x2，…，xN}，其中xi表示抽到的第i個人的身高，這里N就是100，表示抽到的樣本個數(shù)。

　　由于每個樣本都是獨(dú)立地從p（x|θ）中抽取的，換句話說這100個男生中的任何一個，都是我隨便捉的，從我的角度來看這些男生之間是沒有關(guān)系的。那么，我從學(xué)校那么多男生中為什么就恰好抽到了這100個人呢？抽到這100個人的概率是多少呢？因?yàn)檫@些男生（的身高）是服從同一個高斯分布p（x|θ）的。那么我抽到男生A（的身高）的概率是p（xA|θ），抽到男生B的概率是p（xB|θ），那因?yàn)樗麄兪仟?dú)立的，所以很明顯，我同時抽到男生A和男生B的概率是p（xA|θ）* p（xB|θ），同理，我同時抽到這100個男生的概率就是他們各自概率的乘積了。用數(shù)學(xué)家的口吻說就是從分布是p（x|θ）的總體樣本中抽取到這100個樣本的概率，也就是樣本集X中各個樣本的聯(lián)合概率，用下式表示：

　　這個概率反映了，在概率密度函數(shù)的參數(shù)是θ時，得到X這組樣本的概率。因?yàn)檫@里X是已知的，也就是說我抽取到的這100個人的身高可以測出來，也就是已知的了。而θ是未知了，則上面這個公式只有θ是未知數(shù)，所以它是θ的函數(shù)。這個函數(shù)放映的是在不同的參數(shù)θ取值下，取得當(dāng)前這個樣本集的可能性，因此稱為參數(shù)θ相對于樣本集X的似然函數(shù)（likehood function）。記為L（θ）。

　　這里出現(xiàn)了一個概念，似然函數(shù)。還記得我們的目標(biāo)嗎？我們需要在已經(jīng)抽到這一組樣本X的條件下，估計(jì)參數(shù)θ的值。怎么估計(jì)呢？似然函數(shù)有啥用呢？那咱們先來了解下似然的概念。

　　直接舉個例子：

　　某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵，一只野兔從前方竄過。只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲到下，如果要你推測，這一發(fā)命中的子彈是誰打的？你就會想，只發(fā)一槍便打中，由于獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率，看來這一槍是獵人射中的。

　　這個例子所作的推斷就體現(xiàn)了極大似然法的基本思想。

　　再例如：下課了，一群男女同學(xué)分別去廁所了。然后，你閑著無聊，想知道課間是男生上廁所的人多還是女生上廁所的人比較多，然后你就跑去蹲在男廁和女廁的門口。蹲了五分鐘，突然一個美女走出來，你狂喜，跑過來告訴我，課間女生上廁所的人比較多，你要不相信你可以進(jìn)去數(shù)數(shù)。呵呵，我才沒那么蠢跑進(jìn)去數(shù)呢，到時還不得上頭條。我問你是怎么知道的。你說：“5分鐘了，出來的是女生，女生啊，那么女生出來的概率肯定是最大的了，或者說比男生要大，那么女廁所的人肯定比男廁所的人多”?？吹搅藳]，你已經(jīng)運(yùn)用最大似然估計(jì)了。你通過觀察到女生先出來，那么什么情況下，女生會先出來呢？肯定是女生出來的概率最大的時候了，那什么時候女生出來的概率最大啊，那肯定是女廁所比男廁所多人的時候了，這個就是你估計(jì)到的參數(shù)了。

　　從上面這兩個例子，你得到了什么結(jié)論？

　　回到男生身高那個例子。在學(xué)校那么男生中，我一抽就抽到這100個男生（表示身高），而不是其他人，那是不是表示在整個學(xué)校中，這100個人（的身高）出現(xiàn)的概率最大啊。那么這個概率怎么表示？哦，就是上面那個似然函數(shù)L（θ）。所以，我們就只需要找到一個參數(shù)θ，其對應(yīng)的似然函數(shù)L（θ）最大，也就是說抽到這100個男生（的身高）概率最大。這個叫做θ的最大似然估計(jì)量，記為：

　　有時，可以看到L（θ）是連乘的，所以為了便于分析，還可以定義對數(shù)似然函數(shù)，將其變成連加的：

　　好了，現(xiàn)在我們知道了，要求θ，只需要使θ的似然函數(shù)L（θ）極大化，然后極大值對應(yīng)的θ就是我們的估計(jì)。這里就回到了求最值的問題了。怎么求一個函數(shù)的最值？當(dāng)然是求導(dǎo)，然后讓導(dǎo)數(shù)為0，那么解這個方程得到的θ就是了（當(dāng)然，前提是函數(shù)L（θ）連續(xù)可微）。那如果θ是包含多個參數(shù)的向量那怎么處理??？當(dāng)然是求L（θ）對所有參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，也就是梯度了，那么n個未知的參數(shù)，就有n個方程，方程組的解就是似然函數(shù)的極值點(diǎn)了，當(dāng)然就得到這n個參數(shù)了。

　　最大似然估計(jì)你可以把它看作是一個反推。多數(shù)情況下我們是根據(jù)已知條件來推算結(jié)果，而最大似然估計(jì)是已經(jīng)知道了結(jié)果，然后尋求使該結(jié)果出現(xiàn)的可能性最大的條件，以此作為估計(jì)值。比如，如果其他條件一定的話，抽煙者發(fā)生肺癌的危險(xiǎn)時不抽煙者的5倍，那么如果現(xiàn)在我已經(jīng)知道有個人是肺癌，我想問你這個人抽煙還是不抽煙。你怎么判斷？你可能對這個人一無所知，你所知道的只有一件事，那就是抽煙更容易發(fā)生肺癌，那么你會猜測這個人不抽煙嗎？我相信你更有可能會說，這個人抽煙。為什么？這就是“最大可能”，我只能說他“最有可能”是抽煙的，“他是抽煙的”這一估計(jì)值才是“最有可能”得到“肺癌”這樣的結(jié)果。這就是最大似然估計(jì)。

　　好了，極大似然估計(jì)就講到這，總結(jié)一下：

　　極大似然估計(jì)，只是一種概率論在統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用，它是參數(shù)估計(jì)的方法之一。說的是已知某個隨機(jī)樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計(jì)就是通過若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用結(jié)果推出參數(shù)的大概值。最大似然估計(jì)是建立在這樣的思想上：已知某個參數(shù)能使這個樣本出現(xiàn)的概率最大，我們當(dāng)然不會再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個參數(shù)作為估計(jì)的真實(shí)值。

　　求最大似然函數(shù)估計(jì)值的一般步驟：

　　（1）寫出似然函數(shù)；

　?。?）對似然函數(shù)取對數(shù)，并整理；

　?。?）求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，得到似然方程；

　?。?）解似然方程，得到的參數(shù)即為所求；
?

　　最大似然譯碼算法在LTE上的應(yīng)用

　　假定調(diào)制星座圖中的所有信號都是等概的，最大似然譯碼器對所有可能的見，和妥2值，從信號調(diào)制星座圖中選擇一對信號（二。，見2）使下面的距離量度最小

　　d2 r1，h1x 1+h2x 2 +d2 r2，?h1x 2?+h2x 1? =|h1?h1x 1?h2x 2|2+|r2，+h1x 2??h2x 1?|2

　　（1）

　　化簡得最大似然譯碼判決準(zhǔn)則為：

　　x 1，x 2 =argmin（x 1，x 2）?C（|h1|2+|h2|2?1）（|x1|2+|x 2|2）+d2 x1，x 1 +d2 x2，x 2

　?。?）

　　上式中：C為調(diào)制符號對（x 1，x 2）所有可能的集合; x 1和x 2是通過合并接收信號和信道狀態(tài)信息構(gòu)造產(chǎn)生的兩個判決統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以表示為

　　x1=h1?r1+h1r2?（3）

　　x2=h2?r1?h1r2? （4）

　　將式（3）和式（4）中的r1和r2分別代人式（5）中，統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以表示為

　　x1=（|h1|2+ h2|2 x1+h1?n1+h2n2? （5）

　　x2=（|h1|2+ h2|2 x2?h1n2?+h2?n1 （6）

　　對于給定信道實(shí)現(xiàn)h1和h2而言，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見xi（i=1，2）僅僅是xi（i=1，2）的函數(shù)，因此，可以將最大似然譯碼準(zhǔn)則式（4）分為對于x1和x2的2個獨(dú)立譯碼算法，即

　　x 1=argminx2∈S（|h1|2+|h2|2?1）×|x 1|2+d2 x1，x 1 （7）

　　和

　　x 2=argminx2∈S（|h1|2+|h2|2?1）×|x 2|2+d2 x2，x 2 （8）

　　對于M-PSK信號星座圖而言，在給定信號衰落系數(shù)的前提下，（|h1|2+|h2|2?1）×|x i|2（i=1，2）對于所有信號都是恒定的，因此可以將式（7）和式 （8）的判決準(zhǔn)則進(jìn)一步簡化為

　　x 1=argminx2∈S（x1，x 1）=argminx2∈S|h1?r1+h2r1??x 1|2

　　x 2=argminx2∈S（x2，x 2）=argminx2∈S|h2?r1?h1r2??x2|2

　　上述最大似然檢測算法可以推廣到多個接收天線的情況。