拉普拉斯變換的本質(zhì)意義

本文將從通俗的角度看待拉普拉斯變換。

發(fā)明者

奧列弗.赫維賽德，維多利亞時(shí)期英國(guó)人，全靠自學(xué)，聽力殘疾。很多人熟悉赫維賽德是因?yàn)?a href="http://ttokpm.com/tags/matlab/" target="_blank">MATLAB有一個(gè)赫維賽德（Heaviside）函數(shù)。

赫維賽德簡(jiǎn)化了麥克斯韋方程組：即變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。讓20個(gè)方程組便成了4個(gè)。

**赫維賽德另一個(gè)貢獻(xiàn)就是我們今天要說的運(yùn)算微積分-它可以將常微分方程轉(zhuǎn)換為普通代數(shù)方程。**赫維賽德是怎么解微分方程的呢？他把微分、積分運(yùn)算用一個(gè)簡(jiǎn)單的算子來代替。

也就是說，在某種算子下，積分和微分對(duì)應(yīng)的是倒數(shù)關(guān)系，至于算子 p 代表什么，赫維賽德也沒有多解釋，在缺乏嚴(yán)密數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的情況下，人家直接放在文章就用了，還發(fā)表了。比如常見的一個(gè)二階常微分方程，

如果用赫維賽德的微分算子變換一下，就變成了代數(shù)表達(dá)式。

赫維賽德之所以這么做，是因?yàn)樗摹拔锢碇庇X”告訴他這么做，就是這么硬。這顯然是一種開外掛的行為，因此也受到當(dāng)時(shí)的主流數(shù)學(xué)家們們的攻訐，他們認(rèn)為赫維賽德就是十足的“民科”，文章沒什么理論依據(jù)，自己在那空想呢。當(dāng)然，赫維賽德也不是弱雞，科學(xué)家懟起人來，也是毫不含糊：“因?yàn)槲也荒芾斫庀^程就拒絕晚餐嗎？不，只要我滿意這個(gè)結(jié)果?！?/span>

好了，扯了那么遠(yuǎn)，有童鞋已經(jīng)不耐心了：這些和拉普拉斯變換有什么關(guān)系？謎底就是：赫維賽德的微積分算子，就是拉普拉斯變換的前身。

傅里葉變換（輕量版拉普拉斯變換）

在說拉普拉斯變換以前，我們要先提一下傅里葉變換，這可以看成是輕量版的拉普拉斯變換。傅里葉變換說的是什么事？說的是自然界的很多現(xiàn)象，都可以用三角函數(shù)進(jìn)行分解。

clc;clear;
h = animatedline;
xl=xlabel('cos(omegat)');% 
yl=ylabel('sin(omegat)');% 
grid on;
title('omega = 1rad/s   Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1]);
axis square;
N = 100;
t=linspace(0,2*pi,N);
w=1;
x=cos(w*t);
y=sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:N
    addpoints(h,x(k),y(k));
    hold on
    quiver(0,0,x(k)*1.1,y(k)*1.1)
    b = toc(a); % check timer
    if b > (1/90)
        drawnow % update screen every 1/30 seconds
        a = tic; % reset timer after updating
    end
end

你能想象到很多曲線，都可以用這些不同頻率，連續(xù)旋轉(zhuǎn)的圓，通過線性疊加得到，而傅里葉定律，就是對(duì)這個(gè)結(jié)論的數(shù)學(xué)描述。

傅里葉定律說：只要一個(gè)函數(shù)滿足如狄利赫里條件，都能分解為復(fù)指數(shù)函數(shù)之和，哪怕是如拉格朗日提到的帶有棱角的方波函數(shù)。狄利赫里條件為：

其中可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)屬于第一類間斷點(diǎn)

于是就可以很好的解釋拉格朗日和傅里葉之間的爭(zhēng)論了——拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)，棱角處會(huì)有很小高頻波動(dòng)（吉布斯現(xiàn)象）。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅里葉也是對(duì)的。一個(gè)從數(shù)學(xué)家的角度，一個(gè)從工程師的角度。

拉普拉斯變換-原來就是這么回事

傅里葉變換能幫我們解決很多問題，一經(jīng)問世后便受到廣大工程師們的喜愛，因?yàn)樗o人們提供了一扇不同的窗戶來觀察世界，從這個(gè)窗戶來看，很多事情往往變得簡(jiǎn)單多了。但是，別忘了，傅里葉變換有一個(gè)很大局限性，那就是信號(hào)必須滿足狄利赫里條件才行，特別是那個(gè)絕對(duì)可積的條件，一下子就攔截掉了一大批函數(shù)。比如函數(shù) f(t)=t^2 就無法進(jìn)行傅里葉變換。這點(diǎn)難度當(dāng)然拿不到聰明的數(shù)學(xué)家們，他們想到了一個(gè)絕佳的主意：把不滿足絕對(duì)的可積的函數(shù)乘以一個(gè)快速衰減的函數(shù)，這樣在趨于無窮 時(shí)原函數(shù)也衰減到零了，從而滿足絕對(duì)可積。

這里我要補(bǔ)充一下，不是為了保證一直為衰減，指數(shù)函數(shù)，要衰減，在負(fù)半軸也是衰減的，要增加，在正負(fù)半軸都是增加的。是因?yàn)樵谖覀冴P(guān)心的系統(tǒng)中，不對(duì)時(shí)間的負(fù)半軸作分析。因此，我們更多使用單邊的拉普拉斯變換，而不是使用雙邊的拉普拉斯變換，這樣的系統(tǒng)稱之為因果系統(tǒng)不需要考慮 t=0 時(shí)的系統(tǒng)初始條件。

我知道大部分人前面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)沒什么興趣，接下來就是放彩蛋的時(shí)刻了，很多童鞋會(huì)說不管傅里葉變換或者拉普拉斯變換是什么細(xì)節(jié)，你能說點(diǎn)有意思的，讓人能記憶深刻的信息嗎？

clc;clear;
h = animatedline;
h1=gcf;
view(3);
xl=xlabel('cos(omegat)');% 
yl=ylabel('sin(omegat)');% 
zl=zlabel('t');% 
set(xl,'Rotation',30);% 
set(yl,'Rotation',-30);%
grid on;
title('omega = 1rad/s   Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])
N = 200;
t=linspace(0,4*pi,N);
w=1;
x=cos(w*t);
y=sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:N
    addpoints(h,x(k),y(k),t(k));
    hold on
    line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')
    b = toc(a); % check timer
    if b > (1/90)
        drawnow % update screen every 1/30 seconds
        a = tic; % reset timer after updating
    end
end

clc;clear;
h = animatedline;
h1=gcf;
view(3);
xl=xlabel('cos(omegat)');% 
yl=ylabel('sin(omegat)');% 
zl=zlabel('t');% 
set(xl,'Rotation',30);% 
set(yl,'Rotation',-30);%
grid on;
title('omega = 1rad/s   Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])
N = 200;
t=linspace(0,4*pi,N);
w=1;sig=-0.2;
x=exp(sig*t).*cos(w*t);
y=exp(sig*t).*sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:N
    addpoints(h,x(k),y(k),t(k));
    hold on
    line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')
    b = toc(a); % check timer
    if b > (1/90)
        drawnow % update screen every 1/30 seconds
        a = tic; % reset timer after updating
    end
end

螺旋曲線和衰減函數(shù)的乘積：一個(gè)半徑不斷減小的螺旋曲線。從不同的平面看，就是不斷衰減的正弦或者余弦曲線，從復(fù)平面來看，是一個(gè)半徑不斷減小的圓。

總結(jié)一下：傅里葉變換是將函數(shù)分解到頻率不同、幅值恒為1的單位圓上；拉普拉斯變換是將函數(shù)分解到頻率幅值都在變化的圓上。因?yàn)槔绽棺儞Q的基有兩個(gè)變量，因此更靈活，適用范圍更廣。